Пример.3.1. Решить уравнение

Перенесем все члены уравнения в левую часть

разложим знаменатель второй дроби на множители, воспользовавшись формулой ах²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂), где x_1, х_{2 –} корни многочлена.

Так как 2х²+7х-4=2(х+4)(х-1/2)=(х+4)(2х-1), то уравнение принимает вид

Приведем его к общему знаменателю:

После приведения подобных получим уравнение

Из уравнения 6х²-х-1=0 находим х₁=-1/3; х₂=1/2.

При х=1/2 знаменатель обращается в нуль; значит 1/2 не является корнем уравнения.

Ответ:

3.1.2.Разложение на множители: применяется, если в уравнении Р(х)=0, где Р(х) – многочлен степени n>2 удается разложить Р(х) на многочлены Р₁(х), Р₂(х),…Р_k(х) более низкой степени чем n, тогда уравнение примет вид Р₁(х)^.Р₂(х)…Р_k(x)=0 и равносильно совокупности уравнений Р₁(х)=0; Р₂(х)=0;…Р_k(х)=0.

При решении рациональных уравнений с действительными коэффициентами целесообразно применять следующие теоремы.

1.Если коэффициенты уравнения – целые числа и коэффициент при высшей степени равен единице, то рациональными корнями такого уравнения могут быть только целые числа.

2. Если коэффициенты уравнения – целые числа, то его целые корни являются делителями свободного члена уравнения.

3.Если х=а (а – действительное число) является корнем рационального уравнения, то многочлен Р(х) делится на разность х-а

Пример 3.2. Решить уравнение

Будем искать целые корни данного уравнения. Ими могут быть только делители свободного члена 3, т.е. числа ±1, ±3. Непосредственной подстановкой убеждаемся, х₁=-1 и х₂=3 – корни уравнения, так как

Р(1)=1-8-4+30, Р(3)= 3⁴-8^.3²-4^.3+3=81-72-12+3=0,

Р(-1)=1-8+4+3=0, Р(-3)=(-3)⁴-8(-3)²-4(-3)+3=81-72+12+30.

Следовательно, многочлен х⁴-8х²-4х+3 разделится на х+1 и на х-3, а значит и на их произведение (х+1)(х-3)=х²-2х-3. Выполним это деление

х⁴ -8х² -4х+3 х²-2х-3

х⁴-2х³-3х² х²+2х-1

2х³-5х²-4х

2х³-4х²-6х

-х²+2х+3

-х²+2х+3

0

Таким образом, исходное уравнение принимает вид

(х+1)(х-3)(х²+2х-1)=0

Это уравнение равносильно совокупности уравнений

х+1=0, х₁=-1,

х-3=0, или х₂=3,

х²+2х-1=0, х₃= -1+ ,

х₄= -1- .

Ответ: х₁=-1; х₂=3; х₃= -1+ ; х₄= -1- .

Пример 3.3. Решить уравнение х⁴+4х³+3х²+2х-1=0.

Это уравнение четвертой степени, которое можно разложить на множители путем выделения полного квадрата.

Выделим в левой части полный квадрат, получим

(х⁴+4х³+4х²)-х²+2х-1=0 или

(х²+2х)²-(х²-2х+1)=0 или

(х²+2х)²-(х-1)²=0.

Раскладывая левую часть уравнения на множители, как разность квадратов, получаем

(х²+2х+х-1)(х²+2х-х+1)=0, т.е.

(х²+3х-1)(х²+х+1)=0.

Произведение двух действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю.

Решим совокупность уравнений

х ²+х+1=0, т.к. Д=1-40, то нет действительных корней;

х²+3х-1=0,

Ответ:

3.1.3. Введение новой переменной: применяется, если в уравнении есть некоторое повторяющееся выражение, замена которого новой переменной значительно упрощает уравнение.

Пример 3.4. Решить уравнение

О.д.з.: х-1, х0.

Уравнения, содержащие взаимно обратные выражения решаются введением новой переменной.

Обозначим тогда

Уравнение принимает вид или откуда находим

поэтому

это уравнение не имеет действительных решений.

решая эти уравнения, находим

Ответ:

В более сложных случаях при введении новой переменной замена возможна лишь после преобразований:

3.1.3.1. Уравнение вида (х+а)(х+b)(х+c)(х+d)=l, где а+b=c+d.

Пример 3.5. Решить уравнение (х-2)(х-3)(х-4)(х-5)=24.

Имеем (х-2)(х-5)=х²-7х+10; (х-3)(х-4)=х²-7х+12.

Перепишем уравнение в виде (х²-7х+10)(х²-7х+12)=24.

Введем новую переменную, полагая, что х²-7х+10=у,

тогда х²-7х+12=у+2.

Получим у(у+2)=24 или у²+2у-24=0; откуда или

у₁=-1+5=4; у₂=-1-5=-6.

Следовательно, решение данного уравнения сводится к решению совокупности уравнений

х ²-7х+10=4, х²-7х+6=0, х₁=1; х₂=6.

х²-7х+10=-6, или х²-7х+16=0, нет действительных корней

т.к. D<0.

Ответ: х₁=1; х₂=6.