Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

426.doc

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

4.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

4.1.4.Нестандартные методы решения

Пример 4.8. Решить систему уравнений

Разложим левую часть второго уравнения системы на множители. Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно х:

х²+(у-3)х-2у²+3у=0;

решив его, найдем х₁=у и х₂=3-2у. Тогда второе уравнение системы можно переписать как (х-у)(х-3+2у)=0, равносильное двум уравнениям:

х-у=0 и х+2у-3=0.

Следовательно, данная система равносильна совокупности двух систем уравнений:

решив ее, найдем

Ответ: (1;1); (5; -1); (8/3; 8/3).

Пример 4.9. Решить систему уравнений

Перемножим левые и правые части уравнений системы, получим x²y²z²=3600, или xyz=60. Разделив полученное уравнение на каждое из заданных, получим x₁= 3, y₁= 4, z₁= 5; х₂=-3, у₂=-4, z₂=-5.

Ответ: (3; 4; 5); (-3,-4,-5).

4.2. Рациональные неравенства

Неравенства с одной переменной имеют вид

f(х)g(х); f(х)<g(х); f(х) g(х); f(х) g(х).

Решением неравенства называется множество значений переменной, при которых данное неравенство становится верным числовым неравенством.

Методы решения неравенств

Эти методы зависят в основном от того, к какому классу относятся функции, составляющие неравенство.

4.2.1. Линейные неравенства, т.е. неравенства вида ах+b>0 (<0, 0,0).

Если а>0, то х>-b/a, если а<0, то х<-b/a, если а=0, b>0, то хR, а если а=0, b0, то х.

Пример 4.10. Решить неравенство

Освободимся от знаменателей, для чего умножим обе части неравенства на положительное число 6, оставив без изменения знак неравенства:

72х-2(х-2)+12(х+1)30(3х-1)-3(2х+3)-2х.

Далее, последовательно получаем

72х-2х+4+12х+1290х-30-6х-9-2х;

82х+1682х-39; 82х-82х-39-16; 0^.х-55.

Последнее неравенство верно при любом значении х, поэтому множеством его решений (а значит, и множеством решений заданного неравенства) служит вся числовая прямая: х(-,+).

Ответ : х(-,+).

4.2.2. Квадратные неравенства, т.е. неравенства вида ах²+bx+c>0 (<0, 0, 0), где а0. При решении неравенства ах²+bx+c>0 возможны следующие случаи.

D0, тогда ах²+bx+с=а(х-х₁)(х-х₂), где х₁и х₂– действительные различные корни (х₁ х₂).

Если а>0 то (х-х₁)(х-х₂)>0 и х(-,х₁) (х₂,+ ).

Если а<0, то (х-х₁)(х-х₂)>0 и х(х₁, х₂) .

D<0, тогда, если а>0, хR и если а<0, х.
D=0, тогда х₁=х₂ и а(х-х₁)²0,если а>0, (х-х₁)²0 и х(-,х₁)(х₁,+ ), если же а<0, (х-х₁)²<0, х.

Пример 4.11. Решить неравенства:

а) 2х²-5х+2>0; б) –2х²+х-1<0; в) 4х²-12х+9 0.

Решим неравенства графическим методом.

а ) 2х²-5х+2>0, т.к. D=25-16=9>0, корни квадратного трехчлена действительны и различны, следовательно , 2х²-5х+2=2(х-2)(х-1/2). Неравенство 2(х-2)(х-1/2)>0 или (х-2)(х-1/2)>0 имеет решения х(-, -1/2)(2,+), т.к.

½ 2

Ответ: х(-, -1/2)(2,+).

б) Умножим левую и правую части неравенства на –1, получим

2х²-х+1>0. Так как D=1-4^.1^.2<0, то уравнение 2х²-х+1=0 не имеет действительных корней, график функции у=2х²-х+1 не пересекает ось Ох, он целиком расположен выше оси Ох, т.е. у>0 при хR.

Ответ: хR.

в ) Уравнение 4х²-12х+9=0 имеет два равных действительных корня х₁=х₂=3/2, поскольку D=0. График функции у=4х²-12х+9 касается оси ОХ в точке х=3/2, все остальные точки графика расположены выше этой оси, поэтому 4х²-12х+9  0 при х=3/2.

3/2

Ответ: х=3/2.

4.2.3. Рациональные неравенства высших степеней, т.е. неравенства вида a_nxⁿ+a_n_-1xⁿ^-1+…+a₁x+a₀>0 (<0, 0, 0), n>2.

С помощью методов решения рациональных уравнений многочлен степени n>2 надо разложить на множители, т.е. неравенство записать в виде

a_n(x-x₁)(x-x₂)…(x-x_n)>0 (<0, 0, 0).

Для решения полученного неравенства использовать метод интервалов.

Пример 4.12. Решить неравенство (х+5)²(х+4)(х-1)⁴(х-3)³(х-6)<0.

Разделим обе части неравенства на (х+5)²>0 при условии х-5 и на (х-1)⁴ при х1. Множитель (х-3)³ заменим на х-3, так как при любых значениях х эти выражения имеют одинаковые знаки. Получим неравенство

(х+4)(х-3)(х-6)<0, равносильное исходному при всех х, кроме х=-5 и х=1.

Применим метод интервалов, разбив числовую ось точками х=-4, х=3, х=6, в которых левая часть неравенства обращается в нуль; изменение знаков левой части неравенства проиллюстрируем с помощью «кривой знаков».

+ +

- -5 -4 1 3 - 6

Так как при х>6 все множители положительны, то левая часть неравенства положительна, при переходе через нули левой части неравенства знак

меняется на противоположный, кроме того «выколим» на числовой прямой точки х=-5 и х=1, получим х(-;-5)(-5;-4)(3;6).

Ответ: х(-;-5)(-5;-4)(3;6).

Пример 4.13. Решить неравенство х³-6х²+11х-6<0.

Разложим левую часть неравенства на множители х³-6х²+11х-6=(х³-х²-

-5х²+5х+6х-6)=(х²(х-1)-5х(х-1)+6(х-1))=(х-1)(х²-5х+6)=(х-1)(х-2)(х-3).

Таким образом, неравенство примет вид (х-1)(х-2)(х-3)<0.

Решим его методом интервалов:

+ + ,

- 1 2 - 3

откуда х(-;1)(2;3).

Ответ: х(-;1)(2;3).

4.2.4. Дробно-рациональные неравенства, т.е. неравенства вида

многочлены.

При решении дробно-рациональных неравенств можно придерживаться следующей схемы:

1)перенести все члены неравенства в левую часть;

2)привести в левой части полученного неравенства все члены к общему знаменателю. В результате получим неравенство вида

3)заменить дробное неравенство целым, т.е. записать его в виде

4)решить полученное неравенство по правилу решения рациональных неравенств высших степеней (см. п.4.2.3).

Пример 4.14. Решить неравенство

Применим приведенную выше схему решения дробно-рационального неравенства: перенесем все члены неравенства в левую часть приведем к общему знаменателю приведем подобные Заменим дробное неравенство целым -(2х+9)(х+2)(х-3)<0,