5.2. Задачи на работу и производительность труда.

Принятые обозначения: работа – А, V; производительность труда (работа в единицу времени) – N; время работы–t. При этомA=Nt.

В качестве неизвестных обычно выбирают работу и производительность труда.

Пример 5.3. Первый рабочий может выполнить некоторую работу на 4 ч раньше, чем второй. Вначале они 2 ч работали вместе, после чего оставшуюся работу выполнил один первый рабочий за час. За какое время может выполнить всю работу второй рабочий?

Пусть объём всей работы A, производительность труда первого рабочего , второго – .Тогда первый рабочий выполнит всю работу за время , второй – . Получаем уравнение:

Запишем второе условие задачи. За два часа совместного труда рабочие сделали , за час первый рабочий сделал , в итоге работа была выполнена: .

Получаем систему уравнений:

из которого надо найти . Из второго уравнения имеем:

.

Подставив это выражение в первое уравнение, получим:

или

Отсюда имеем

; .

Второе решение, очевидно, не подходит, так как если один второй рабочий может сделать всю работу за 1 час, то это противоречит условиям задачи. Итак, второй рабочий сделает всю работу за 8 часов.

5.4. Задачи на процентное содержание и концентрацию

Пример 5.4. Расстояние от Москвы до Ленинграда составляет 650 км, а расстояние от Москвы до Тулы 30% предыдущего расстояния. Найти расстояние от Москвы до Тулы.

Прежде всего, найдём 1% от 650 км. Так как 1% - сотая доля этой величины, то 1% от 650 км составляет 6,5 км. Тогда 30% от 650 км будут равны величине в 30 раз большей, т. е. . Итак, расстояние от Москвы до Тулы 195 км.

Пример 5.5. Один сплав содержит два металла, массы которых относятся как 2:3, а в другом сплаве массы этих же металлов относятся как 3:7. Какие массы первого и второго сплавов надо сплавить вместе, чтобы получить третий сплав, массой 1,5 кг, в котором эти металлы (по массе) находились бы в отношении 1:2?

Пусть сплавы состоят из металлов А и Б. Для удобства дальнейшие рассуждения будем иллюстрировать диаграммой.

А	Б	1-й сплав x (кг)
A	Б	2-й сплав y (кг)
A 0,5	Б 1,0	3-й сплав (1,5 кг)

Пусть 1-й сплав содержит xкг, 2-й сплав – yкг обоих металлов.

Найдём вес каждого из металлов в отдельности в этих сплавах.

Рассмотрим сначала первый сплав. Пусть, и – вес каждого и металлов в этом сплаве. Тогда по условию задачи имеем:

,

.

Отсюда:

.

Отсюда

и тогда

.

Полностью аналогично находятся веса металлов во 2-м и 3-м сплавах.

Так как третий сплав был получен из первых двух, то соответствующие металлы А и Б перешли из первого и второго сплавов в третий. Поэтому запишем эти условия:

Заметим, что вместо второго уравнения системы можно было записать и более простое условие на вес сплавов: x + y= 1,5(в нашем случае это условие получается при сложении уравнений системы). Решив полученную систему линейных уравнений найдём единственное решение: x=0,5; y= 1.

В тех случаях, когда задача содержит параметры, необходимо учитывать те ограничения на параметры, которые следуют из условий задачи.