7. Тригонометрия

7.1. Тригонометрические выражения.

7.1.1. Основные понятия

О бобщенным углом АОА¹ называется угол поворота луча ОА¹ вокруг точки О от своего начального положения ОА. Углы, полученные вращением угла ОА¹ против часовой стрелки, считаются положительными, по часовой стрелке – отрицательными.

А¹

α

А

В тригонометрии величины углов, как правило, измеряются в радианах и значительно реже в градусах. При этом за угол в 1 радиан (1рад; слово «рад» обычно не пишут) принимают центральный угол, опирающий на дугу окружности длиной, равной радиусу окружности; за угол в 1 градус (1°) – центральный угол, опирающийся на дугу окружности длиной, равной 1/360 длины окружности. Между этими мерами существует простое соотношение.

Так как значения тригонометрических функций не зависят от радиуса R рассматриваемой окружности, то обычно длину радиуса выбирают равной единице. В таком случае окружность называют единичной. Тогда тригонометрические функции имеют наглядный смысл

y=sin y=cos

1

y

y

1

А¹

А¹

y

y

α

А

А

x

x

α

1

-1

0

0

1

-1

X

-1

-1

Синус угла α равен ординате у конца подвижного единичного радиуса – вектора ОА¹ , образующего угол α с положительной полуосью абсцисс.

К осинус угла α равен абсциссе х конца подвижного единичного радиуса-вектора ОА¹, образующего угол α с положительной полуосью абсцисс.

Линией тангенсов называется прямая, заданная уравнением х = 1.

Т

y

y

ангенс угла α равен ординате у точки М пересечения линии тангенсов и продолжения

подвижного единичного радиуса – вектора ОА¹, образующего угол α с положительной полуосью абсцисс.

1

1

А¹

M

M

y

α

А

А¹

x

x

α

1

-1

0

0

1

-1

А

xᴹ

-1

-1

Линией котангенсов называется прямая, заданная уравнением y = 1.

К отангенсом угла α равен абсциссе х точки М пересечения линии котангенсов и

продолжения подвижного радиуса вектора ОА¹, образующего угол α с положительной полуосью абсцисс.

Пример 7.1. Найти

,

если

.

Найдем связь между sinα и cos α, используя условие задачи: sin α + cos α = 2sin α – 4cos α или 5cos α = sin α.

Подставив sin α в выражение А, получим

Рассмотрим новое свойство функций – периодичность.

Функция у(х) называется периодичной с периодом Т (Т – число, Т≠ 0), если для любого

х Х (Х – область определения функции) выполнены для условия:

а) точка (х + Т) Х,

б) у(х + Т) = у(х ), т.е. значения функции у(х) в точках х = х + Т

и х = х совпадают.

Понятие периодичности означает, что функция у(х) регулярно повторяется.

На рисунке схематично изображен график периодичной функции у(х). Видно, что при х = х + Т и при х = х значения функции у(х) одинаковы.

у

Т

y(х )

х

х - Т

х

х +Т

Приведем в таблице основные свойства тригонометрических функций.

Свойства Функции у(х)	Функции у(х)
	y=sinx	y=cosx	y = tg x	y=ctgx
Область определения	R	R
Область изменения	[-1;1]	[-1;1]	R	R
Ограниченность	ограничена	ограничена	не ограничена	не ограничена
Честность	нечетная sin(-x) = = -sin x	четная cos(-x) = = cos x	нечетная tg(-x) = = -tg x	нечетная сtg(-x) = = -ctg x
Периодичность	Т = 2π sin(x + 2π)= = sin x	Т = 2π cos(x + 2π)= = cos x	Т = π tg(x + π)= =tg x	Т = π ctg(x + π)= = ctg x
Нули функции (у = 0)	x = πn	x = + πn	x = πn	x = + πn