Согласно определению модуля имеем

Разобьем числовую прямую точками, в которых каждое слагаемое обращается в нуль.

Х

-2 3

х+2 - + +

х-3 - - +

Эти точки разбивают числовую прямую на следующие промежутки:

1) х<-2; 2) -2<x<3; 3)x3.

Исследуем уравнение в каждом из полученных интервалов:

1)если х<-2, то х+2<0, х-3<0 и уравнение принимает вид –(х+2)-(х-3)=5 или –х-2-х+3=5, т.е. х=-2(-,-2);

2)если -2<х<3, то х+20, х-3<0 и получаем х+2-(х-3)=5, т.е. 5=5, значит х – любое из [-2,3];

3)если х3, то х+2+х-3=5, 2х=6 и х=3 [3,+].

Таким образом, решение данного уравнения х= [-2,3]U{3},

т.е. х= [-2,3].

Ответ: х= [-2,3]

Пример 3.12. Решить уравнение

По определению

Корни квадратного трехчлена х²+х-1найдем,решив уравнение х²+х-1=0,

Тогда

Очевидно, поэтому исходное уравнение эквивалентно совокупности систем:

Ответ:

3.3. Иррациональные уравнения

Иррациональными называются уравнения, содержащие неизвестное под знаком корня. Они решаются чаще всего методами уединения радикала и подстановки (введение вспомогательной переменной). В обоих случаях необходимо возводить уравнение в соответствующую степень один или несколько раз. О.д.з. получающегося рационального уравнения, как правило, шире исходного, а поэтому решения его нуждаются в проверке. (Если новое уравнение получается путем возведения данного только в нечетную степень, то оно эквивалентно исходному).

Напоминание: 1) где nN, n>1;

2) из равенства следует а) х0, б) а0, в)х²ⁿ=а.

Основные методы решения иррациональных уравнений

3.3.1. Простейшие: приступая к решению иррационального уравнения, целесообразно предварительно определить О.д.з., так как может оказаться, что это уравнение не определено в области действительных чисел.

Пример 3.13. Решить уравнение

Область определения этого уравнения определяется системой неравенств

х-100, х10

1-х0, или х1,

которая решений не имеет. Уравнение не определено в множестве действительных чисел.

Ответ: хØ.

Пример 3.14. Решить уравнение

Поскольку корни арифметические, то левая часть уравнения неотрицательна, а правая отрицательная; следовательно, данное уравнение решений не имеет.

Ответ: хØ.

3.3.2. Уравнения, в которых одно или несколько подкоренных выражений – точные квадраты

Пример 3.15. Решить уравнение

Приведем уравнение к виду или

Рассмотрим последнее уравнение, т.к. а то решение будем искать на промежутках

х

-2 5

-

или

Ответ: х₁=-3,5; х₂=6,5.