7.2Генерация оптических гармоник, суммарных и разностных частот

Пусть на квадратично-нелинейный диэлектрик падает световая волна с частотой , а напряженность электрического поля в кристалле задается выражением: E= E₀cos(ωt -kx). (7.8)

Тогда подставляя (7.8) в уравнение (7.7) получаем:

Р⁽²⁾=Е²=χE₀²cos²(ωt -kx)= + cos(2ωt -2kx). (7.9)

Здесь первое слагаемое связано с эффектом оптического выпрямления, а второе слагаемое описывает волну поляризации на частоте 2. Волна поляризации на частоте 2 может привести к переизлучению света на этой же частоте, т.е. к генерации второй оптической гармоники. В результате этого явления в данной среде распространяются две волны - на частоте ω и на частоте 2ω. Схематично процесс генерации второй оптической гармоники показан на рис. 7.1.

Рис. 7.1. Схема генерации второй оптической гармоники в квадратично-нелинейном кристалле.

В свою очередь вследствие взаимодействия этих двух волн в квадратично-нелинейном кристалле возможна генерация на суммарных и разностных частотах.

Пусть теперь в квадратично-нелинейный кристалл входят две волны одинаковой амплитуды на частотах ω₁ и ω₂. Рассмотрим поле создаваемое этими волнами: E= E₀[cos(ω₁t –k₁x)+ cos(ω₂t –k₂x)]. (7.10)

Подставляя (7.10) в выражение для квадратичной поляризации Р⁽²⁾=Е², и, проведя несложные алгебраические преобразования, получим:

Р⁽²⁾=Е₀²[cos(ω₁t –k₁x)+ cos(ω₂t –k₂x)]²=Е₀²[cos²(ω₁t –k₁x)+ cos²(ω₂t –k₂x)+ 2cos(ω₁t –k₁x)cos(ω₂t –k₂x)]=Е₀²[1+ cos(2ω₁t –2k₁x)/2+ cos(2ω₂t –2k₂x)+cos[(ω₁+ω₂)t –(k₁+ k₂)x)]+ cos[(ω₁–ω₂)t –(k₁ – k₂)x)].

В полученном выражении первое слагаемое суммы связано эффектом оптического выпрямления, второе и третье слагаемые описывают волны поляризации на частотах 2ω₁ и 2ω₂, а четвертое и пятое слагаемые относятся к волнам поляризации на частотах (ω₁+ω₂) и (ω₁-ω₂), т.е. на суммарных и разностных частотах. В частности, при распространении и взаимодействии в квадратично – нелинейной среде двух волн на частотах ω и 2ω возможна генерация третьей оптической гармоники на частоте 3ω, генерация четвертой оптической гармоники на частоте 4ω и т.д. (рис.7.2.). В принципе, при необходимости получения высших гармоник, можно добавить третий и четвертый каскады преобразования.

Рис.7.2. Схема генерация в нелинейной среде суммарных и разностных частот.

Аналогичным образом, рассматривая распространение интенсивной световой волны (7.8) на частоте ω в кубично – нелинейной среде, получим для кубичной поляризации:

Р⁽³⁾=Е³= E₀³cos³(ωt -kx)= cos(ωt –kx)+ cos(3ωt –3kx). (7.11)

В этом случае, наряду с основной частотой, в полученном выражении присутствует волна поляризации на частоте 3ω, которая приводит к генерации третьей оптической гармоники. Волна поляризации на частоте  обуславливает, как будет показано далее, эффект самофокусировки света.

7.3Фазовый синхронизм в одноосных кристаллах

Итак, согласно предыдущему параграфу, используя нелинейные среды в принципе можно преобразовать частоту исходной световой волны.

Известно, что в среде с дисперсией показателя преломления световые волны различной частоты имеют различные скорости распространения.

Если в кристалле распространяется плоская волна с частотой ω

E₁ = E₁₀cos(ωt –k₁z), (7.12)

и ее вторая гармоника с частотой 2ω: E₂ = E₂₀cos(2ωt –k₂z), (7.13)

то соответствующие этим волнам фазовые скорости равны:

₁=с/n_= /k₁ и ₂=с/n_2=2 /k₂. (7.14)

Вследствие дисперсии показателя преломления в среде n_≠n_2, и, следовательно, ₁ ≠₂.

Из неравенства фазовых скоростей с учетом (7.15) получаем k₁≠k₂, или,

2 k₁-k₂=Δk (7.15)

Эта разность волновых чисел Δk носит название волновой расстройки.

Амплитуда волны второй гармоники в точке z, генерируемой в среде с дисперсией, дается выражением: A_2(z)=(2A/Δk)sin(Δkz/2), (7.16)

и она достигает своего первого максимума на расстоянии, называемой длиной когерентности: l_ког=/Δk=4(n_ -n_2), (7.17)

где =(2с/) -длина волны основной волны в вакууме. Выбрав, например, 1мкм и n10^-2, получим l_ког25мкм.

Экспериментальная зависимость интенсивности второй гармоники в кристалле кварца от угла поворота пластинки показана на рис.7.3.

Рис.7.3. Зависимость интенсивности второй гармоники в кристалле кварца от угла поворота пластинки.

Как видим из этого рисунка, после достижения максимального значения интенсивность второй гармоники начинает уменьшаться.

Если zl_ког, то амплитуда волны второй гармоники имеет характер биений согласно выражению (7.16). Однако повышение эффективности преобразования во второй гармонике возможно при выполнении так называемого условия фазового синхронизма, если выполняется условие: Δk=0, или k₂=2k₁. (7.18)

Условие (7.18) называется условием волнового или фазового синхронизма, и оно эквивалентно условию равенства фазовых скоростей волны второй гармоники и исходной волны.

Выполнить условие равенства фазовых скоростей для взаимодействующих волн удается в оптически анизотропных кристаллах с двулучепреломлением. Известно, что в одноосном кристалле могут распространяться две монохроматические волны ортогональных поляризаций (обыкновенная и необыкновенная) с одинаковыми частотами, но с разными фазовыми скоростями, т.е. с разными показателями преломления. Рассмотрим сечение индикатрисы показателя преломления отрицательного одноосного кристалла (n_o>n_e) для волны основной частоты  и ее второй гармоники частоты 2.

Как видно из рисунка 7.4., в направлениях ОА, образующих угол _c с оптической осью Z, выполняется равенство показателей преломления обыкновенной волны на частоте  и необыкновенной волны на частоте 2

т.е.: n_^о=n_2^e . (7.19)

Рис.7.4. Сечение оптической индикатрисы отрицательного одноосного кристалла для обыкновенной волны частоты  и необыкновенной волны частоты 2ω.

Равенство (7.19) является условием фазового синхронизма для генерации второй гармоники. Для выполнения синхронизма волновые векторы должны быть ориентированы по направлению ОА. Эти направления называются направлениями синхронизма, а угол _с - углом синхронизма. Показатель преломления для необыкновенной волны можно изменять, меняя угол между волновой нормалью и оптической осью и вычислить из выражения n^e()=n_en_о/[n_о²-(n_о²-n_e²)cos²]^1/2 , (7.20)

где n₀ и n_e- главные значения показателя преломления на частоте .

Используя выражение (7.20) можно легко вычислить угол синхронного взаимодействия волн в нелинейном кристалле.