Дослідження закону збереження імпульсу й визначення коефіцієнта відновлення енергії

Мета роботи

Визначити коефіцієнт відновлення енергії та дослідити виконання закону збереження імпульсу при центральному ударі двох куль.

Прилади та обладнання.

Дві кулі на підвісі з масами ; лінійка для вимірювання кута відхилення підвісу.

Коротка теорія.

Центральний удар двох куль детально розглянуто в Додатку (§ 9) Існують два граничних випадки удару: абсолютно пружний і абсолютно не пружний. Якщо в результаті удару механічна енергія не переходить в інші види енергії, то удар вважається абсолютно пружним. При такому ударі кінетична енергія переходить ( цілком чи частково) у потенційну енергію пружної деформації. Через якийсь час, відштовхуючись одне від другого, тіла здобувають первісну форму. При цьому потенційна енергія пружної деформації знову переходить у кінетичну енергію й тіла розлітаються зі швидкостями, значення й напрямок яких визначаються умовами збереження повної механічної енергії і повного імпульсу.

При абсолютно не пружному ударі відбувається пластична деформація куль і кінетична енергія частково чи цілком перетворюється у внутрішню енергію. Закон збереження механічної енергії при цьому не виконується, а виконується тільки закон збереження імпульсу.

Рівняння збереження імпульсу та енергії для куль, що мали пружне співударяння мають вигляд

, (1)

. (2)

Їх розв'язок такий

. (3)

. (4)

У наведених рівняннях і розв’язках  маси, швидкості куль до удару та їх швидкості після удару.

Рівняння збереження імпульсу при не пружному ударі має вигляд

, (5)

і звідси одержимо

. (6)

Робота, витрачена на деформацію, дорівнює різниці енергій куль до удару і після удару:

, (7)

і після підстановки значення (6) в (7) одержимо

А= . (8)

В наведених рівняннях і розв’язках  маси, швидкості до удару та після удару.

Д ля перевірки закону збереження імпульсу необхідно визначити швидкості руху куль. У даному досліді кулі підвішені як маятники на нитках так, що у вихідному положенні їх центри лежать на одній горизонтальнійпрямій і вони дотикаються поверхнями (див.Мал.1б). Зіткнення між ними відбувається в положенні, що відповідає положенню рівноваги. Тому швидкості, що входять у рівності (1) і (2), можна визначити по висоті h, із якої кулі опускаються чи на яку вони піднімаються після удару.

Дійсно, відповідно до закону збереження енергії повна механічна енергія замкнутої консервативної системи зберігається , тобто

Е₁=Е₂,

де - кінетична енергія кульки у нижньому положенні, а - її потенційна енергії у верхньому положенні (див.Мал.1а). Із закону збереження енергії випливає

(9)

звідкіля

(10)

З геометричних міркувань (Мал.1а) одержимо рівняння для визначення висоти h через довжину підвісу L та кут відхилення 

OA=OB-h=L-h, OA=OCcos, (11)

або

. (12)

У досліді ударною є кулька маси , яка відхиляється на кут , на висоту h. Після удару перша кулька відхиляється на кут , піднімаючись на висоту , а друга відповідно на кут  та h₂. Співвідношення між названими кутами та висотами мають вид

, , . (13)

Отже, остаточно із (10) з урахуванням (13) можна записати співвідношення для швидкостей кульок до удару V₁ і після удару U₁ та U₂ через відповідні кути

, , . (14)

Закон збереження імпульсу (1) для випадку пружного удару з урахуванням напрямків швидкостей куль, виразів (6) та умови m₂>m₁ приводиться до виду

. (15)

У випадку не пружного удару закон збереження імпульсу (5) має вигляд

. (16)

Енергія куль перед пружним ударом має величину

, (17)

а після удару

(18)

Коефіцієнт відновлення енергії для пружного удару з урахуванням формул (17, 18) має вид

або

. (19)

Енергія куль перед не пружним ударом має величину

, (20)

а після удару

(21)

Коефіцієнт відновлення енергії для не пружного удару з урахуванням формул (20, 21) буде таким

(22)

Границя довірчого інтервалу для коефіцієнта відновлення енергії у випадку пружного удару може бути обчислена за формулою

, (23)

а для не пружного удару за формулою

. (24)

Для перевірки закону збереження імпульсу для пружного удару ліву та праву частини виразу (7) скоротимо на і позначимо їх так

, . (25)

Границі довірчого інтервалу для Q та R будемо розраховувати за формулою

(26)

Для перевірки закону збереження імпульсу для не пружного удару ліву та праву частини виразу (8) скоротимо на і позначимо аналогічно (25)

, . (27)

Границі довірчого інтервалу для Q та R будемо розраховувати за формулою

. (28)

В исновок щодо виконання закону збереження імпульсу може бути одержаний із порівняння величин Q та R. Із закону збереження імпульсу випливає, що при пружному зіткненні повинна дотримуватися рівність величин Q та R. Використавши результати розрахунків, перевіримо вірність цього співвідношення. Для цього на числовій осі відкладемо інтервал значення та інтервал . Співвідношення Q=R будемо вважати вірним, якщо довірчі інтервали перекриваються (див.Мал.2).