§ 2. Швидкість

Рух тіла в різні моменти часу може відрізнятися величиною та напрямом переміщення. Для визначення цих змін, вводиться поняття швидкості тіла.

Швидкість (миттєва швидкість) - це вектор, який дорівнює похідній від радіус-вектора положення тіла в просторі по часу

.

Величина швидкості (величина миттєвої швидкості) є похідною від шляху, пройденого тілом по часу . Ми зважили на той факт, що нескінченно мала дуга кола дорівнює довжині хорди, що стягує цю дугу |dr|=dS, і тоді . Вектор швидкості лежить на дотичній до траєкторії, так як (див. Мал. 5).

Середня швидкість - вектор, який дорівнює відношенню вектора переміщення r тіла в просторі до скінченого проміжку часу t, за який це переміщення сталося .

Середня за величиною швидкість нерівномірного руху дорівнює відношенню шляху , пройденого тілом до часу руху

,

тобто це є швидкість такого рівномірного прямолінійного руху, коли за час t тіло проходить шлях S.

Одиницею вимірювання швидкості є м/с.

Рух тіла може бути зі сталою швидкістю - рівномірний і прямолінійний, із швидкістю, що змінюється за величиною й напрямком - прискорений, криволінійний рух.

§ 3. Прискорення, кривина траєкторії

Прискорення криволінійного руху визначає зміну швидкості за напрямом та величиною. Прискорення (миттєве прискорення) - вектор, який є похідною від швидкості тіла по часу . Кут між прискоренням матеріальної точки, що рухається по кривій, і її швидкістю може змінюватися від 0 до 180 градусів. Одиницею вимірювання прискорення є .

С ереднє прискорення - вектор, який дорівнює відношенню приросту швидкості V до часу t, за який цей приріст стався .

Прискорення визначає зміну вектора швидкості за величиною - тангенціальна складова прискорення та за напрямком - нормальна складова . Розглянемо докладніше це питання. Швидкості та є дотичними до траєкторії (див. Мал. 6) і точка перетину нормалей до них визначає центр кола О, дуга якого dS співпадає з траєкторією dS. За радіус кола можна взяти R чи R₁, величини яких практично однакові і які називаються радіусами кривизни траєкторії. Приріст вектора швидкості dV можна розкласти на два вектори: по нормалі - dV_n та по дотичній до траєкторії - dV_. Ці складові називаються нормальною та тангенціальною відповідно. Вектор прискорення тепер можна записати у вигляді а=a_n+а_, де - нормальне i - тангенціальне прискорення. З малюнка видно, що dV_n=Vd, а і тому

Кривина траєкторії за визначенням є С= , d - кутова величина дуги dL. Для малих d маємо dS=R·d i кривина траєкторії може бути записана у вигляді .

§ 4. Кінематика обертового руху

Обертовий рух точки (див. Мал. 7) визначається кутом повороту радіус-вектора положення тіла r(t). Елементарний поворот d визначається як вектор, що лежить на осі обертання, причому обертання тіла відбувається проти годинникової стрілки, якщо його спостерігати з кінця вектора d.

Цей вектор задовольняє аксіомам алгебри векторів. Однак, скінчені повороти  не задовольняють цим аксіомам і не можуть представлятися векторами. Вектор переміщення dr за величиною можна визначити як dr=rd.

К утова швидкість є похідною від кута повороту радіус-вектора r(t)

,

її вектор лежить на вісі обертання і паралельний вектору . Кутове прискорення визначається як

і є вектором, паралельним вектору кутової швидкості.

Одиницею вимірювання величини кутової швидкості є , а кутового прискорення - .

Лінійна швидкість V обертового руху дорівнює векторному добуткові кутової швидкості  і радіуса обертання : . Дійсно, величина швидкості V= , а за напрямком .

Величина тангенціального прискорення обертового руху дорівнює добуткові кутового прискорення  i радіуса кривизни r a_=r. Дійсно, a_= = =r· =r (r=const) , причому .

Час повного обороту (кут обертання 360 градусів) називається періодом T, а число повних оборотів за одиницю часу - частотою n=1/T, причому кут повороту за одиницю часу  = 2n. Одиницею вимірювання швидкості  є рад/c, а прискорення  - рад/c².