§ 8. Закон збереження енергії

Закон збереження енергії: величина повної механічної енергії замкненої консервативної системи, що є сумою потенціальної та кінетичної енергій E_k+E_п, зберігається, тобто Е=E_k+E_п=const у будь-який момент часу, до і після будь-яких внутрішніх взаємодій між складовими системи.

Запишемо рівняння руху і-го тіла консервативної системи з N тіл в загальному виді:

, (1)

де  зовнішня сила,  сила внутрішньої дії j-го тіла. Помножимо скалярно ліву та праву частини рівняння відповідно на ліву та праву частини виразу для переміщення і одержимо

,

і далі

. (2)

В (2)

(3)

приріст кінетичної енергії,

(4)

 елементарна робота зовнішньої сили,

. (5)

 робота внутрішніх сил, яка виконується за рахунок зменшення потенціальної енергії тіла .

Тепер, використовуючи (3-5), (2) можна записати таким чином

,

,

. (6)

В (6)

 приріст повної механічної енертії і-го тіла.

Взявши в (6) суму по усім тілам системи, одержимо

,

де Е  повна механічна енергія системи, А  робота зовнішніх сил над системою. Якщо система тіл замкнена, тобто усі , то А=0 і Е=const  енергія замкненої системи тіл зберігається.

§ 9. Центральний удар двох не взаємодіючих куль

1. Центральний абсолютно пружний удар двох не взаємодіючих куль. Нехай дві кулі з масами m₁ та m₂ рухаються горизонтально (перпендикулярно прискоренню сили тяжінні) із швидкостями та . Їх енергія складається з кінетичної та відповідно. Після співударяння кулі знову будуть рухатися горизонтально із швидкостями U₁ та U₂, маючи лише кінетичну енергію та відповідно. Запишемо рівняння збереження імпульсу та енергії для куль, що мали співударяння

, (1)

. (2)

Проведемо ряд очевидних послідовних перетворень цих рівнянь

, (3)

. (4)

Розділивши ліві та праві частини (3) та(4), маємо:

, (5)

. (6)

Вираз (6) визначає, що відносні швидкості тіл до і після удару однакові. Підставимо з (5) у (1) і послідовними перетвореннями знайдемо

, (7)

. (8)

Знайдемо з (7-8) швидкості тіл після удару, коли V₂=0 і m₂ > m₁

, .

В цьому випадку перша куля відскочить від другої і у протилежному напрямку.

2. Центральний не пружний удар двох не взаємодіючих куль.

При цьому ударі тіла деформуються в точці дотику і потім рухаються з однаковою швидкістю U. Рівняння збереження імпульсу має вигляд

,

і звідси

. (9)

Робота А, витрачена на деформацію, дорівнює різниці енергій шарів до удару і після удару

,

і після підстановки значення з (9) одержимо

.

§ 10. Динаміка обертового руху

В обертовому русі замість сили використовується момент сили , а замість імпульсу вживається момент імпульсу . Момент сили дорівнює векторному добутку радіус-вектора точки прикладання сили відносно початку відліку О (див. Мал. 14) й вектора сили

. (1)

У виразі (1) l  плече сили F.

Момент імпульсу тіла дорівнює векторному добутку радіус-вектора (див. Мал. 15) положення тіла й вектора імпульсу тіла

. (2)

Нехай точкове тіло обертається по колу з радіусом-вектором положення тіла  лінійній швидкості . Вираз (1) в цьому випадку можна послідовно перетворити у вигляд:

(3)

,

і остаточно

, (4)

де J  величина моменту інерції тіла.

В (3) ми використали відому формулу для подвійного векторного добутку (див. Математичний додаток)

.

Вираз (4) можна одержати у інший спосіб. Величина моменту імпульсу дорівнює

. (5)

За визначенням момент імпульсу паралельний кутовій швидкості, а тому з (5) слідує (4).