- •Застосування статистичних методів та методу найменших квадратів у фізичних вимірюваннях
- •Приклад 1
- •Хід виконання статистичної обробки прямих вимірювань.
- •5.Співвідношення величин та s.
- •6.Границі довірчого інтервалу .
- •Хід виконання статистичної обробки непрямих вимірювань.
- •1.Обчислення середнього значення густини.
- •Дослідження закону збереження імпульсу й визначення коефіцієнта відновлення енергії
- •Хід виконання роботи Завдання 1. Пружне зіткнення куль.
- •Методика обробки результатів вимірювання
- •З авдання 2. Не пружне зіткнення куль
- •Методика обробки результатів вимірювання
- •Контрольні питання
- •Вивчення законів обертового руху на прикладі маятника обербека
- •Визначення моменту сил тертя.
- •2. Визначення моменту інерції маятника.
- •Хід виконання роботи. Завдання 1. Вимірювання моменту сили тертя
- •Результати вимірів занести в Таблицю 1.
- •Завдання 2. Вимірювання моменту інерції маятника.
- •Завдання 3. Визначення моменту інерції маятника j0 .
- •Контрольні питання
- •Визначення моменту інерції тіла методом крутильних коливань
- •Хід виконання роботи
- •Вимірювання прискорення сили тяжіння за допомогою математичного маятника
- •Х ід виконання роботи
- •Методика обробки результатів вимірювання
- •Визначення характеристик вільних згасаючих коливань фізичного маятника
- •Х ід виконання роботи
- •Методика обробки результатів вимірювання
- •Визначення швидкості звуку та сталої адіабати у повітрі
- •Хід виконання роботи
- •Обробка результатів вимірів.
- •Контрольні питання
- •Хід виконання роботи.
- •Обробка результатів вимірів
- •Термодинаміка
- •Лабораторна робота № 12
- •Визначення деяких молекулярно-кінетичних характеристик повітря
- •Мета роботи.
- •Прилади та обладнання
- •Коротка теорія.
- •Хід виконання роботи
- •О бробка результатів вимірювання Обчислити
- •Визначення коефіцієнта в'язкості рідини методом Стокса.
- •Визначення сталої адіабати повітря атмосфери.
- •Х ід виконання роботи та обробка результатів вимірювання.
- •Методика обробки результатів вимірювання
- •Визначення коефіцієнта поверхневого натягу рідини
- •Хід виконання роботи
- •Визначення сталої Больцмана
- •Хід виконання роботи
- •Методика обробки результатів вимірювання
- •Контрольні запитання
- •Додаток Механіка § 1. Основні поняття механіки
- •§ 2. Швидкість
- •§ 3. Прискорення, кривина траєкторії
- •§ 4. Кінематика обертового руху
- •§ 5. Закони Ньютона
- •§ 6. Імпульс тіла та імпульс сили. Закон збереження імпульсу
- •§ 7. Робота сили та її обчислення. Потужність. Енергія
- •§ 8. Закон збереження енергії
- •§ 9. Центральний удар двох не взаємодіючих куль
- •§ 10. Динаміка обертового руху
- •§ 11. Другий закон Ньютона для обертового руху
- •§ 12. Момент інерції деяких тіл
- •§ 13. Маятник Обербека
- •Коливання та хвилі § 12. Коливальний рух
- •§ 13. Математичний маятник
- •§ 14. Фізичний маятник
- •§ 15. Крутильний маятник
- •§ 16. Вільні незгасаючі коливання
- •§ 17. Вільні згасаючі коливання
- •§ 18. Характеристики вільних згасаючих коливань
- •§ 19. Стоячі хвилі
- •§ 20. Спектр власних частот одновимірних середовищ
- •§ 21. Ультразвук
- •Статистична фізика та термодинаміка § 22. Cередня довжина вільного пробігу частинки ідеального газу
- •§ 23. Явища переносу
- •§ 24. Ідеальний газ та термодинамічні процеси в ньому
- •§ 25. Теорема Больцмана про рівнорозподіл енергії
- •§ 26. Робота термодинамічної системи
- •§ 27. Перший закон (начало) термодинаміки
- •§ 28. Адіабатичний процес
- •§ 29. Теплоємність ідеального газу
- •§ 30. Рідини
- •4. Стискальність
- •§ 31. Стаціонарна течія рідини та газу в циліндрі
§ 15. Крутильний маятник
Крутильний маятник макроскопічне тіло з моментом інерції J, закріплене нерухомо на пружному стержні. Коливання визначаються кутом відхилення тіла від положення рівноваги, вектором кутової швидкості та вектором кутового прискорення . Тіло здійснює малі періодичні коливання під дією моменту зовнішньої сили , моменту сили опору та моменту пружної сили деформації кручення . Кефіцієнт f називається модулем кручення. Лінійна залежність моменту сил кручення від кута повороту виконується лише для малих коливань.
З а другим законом Ньютона для обертового руху, рівняння коливань маятника можна записати так:
. (1)
Вектори лежать на одній прямій, а тому, взявши напрямок кутового прискорення за додатній, векторне рівняння (1) можна записати в алгебраїчній формі:
,
і в канонічному вигляді:
, (2)
де коефіцієнт згасання коливань, , 0 частота вільних незгасаючих коливань. Період малих власних коливань маятника
.
§ 16. Вільні незгасаючі коливання
Якщо знехтувати силами опору (=0) при відсутності зовнішних сил, то рівняння вільних згасаючих коливань перетвориться в рівняння вільних незгасаючих коливань:
+ 02 = 0. (1)
Його розв'язок представляє гармонічні коливання і матиме вигляд:
(t) = а0cos(0t+). (2)
В (2) амплітуда коливань - максимальне відхилення тіла з положення рівноваги. Амплітуда є додатною величиною. В (2) косинус є періодичню величиною з періодом і періодом T, тому
. (3)
В (3)
.
§ 17. Вільні згасаючі коливання
Коливання, що відбуваються у відсутність зовнішніх сил F, називаються вільними. Якщо при цьому існують сили опору, коливання будуть вільними згасаючими.
Для прикладу розглянемо вільні згасаючі коливання фізичного маятника. Рівняння згасаючих коливань є однорідним диференціальним рівнянням, яке враховує сили опору
. (1)
Розв'язок (1) шукаємо підстановкою Ейлера =et. Знайдемо перші дві похідні від по часу
et, = 2et. (2)
Підставляючи похідні (2) в (1), одержимо:
et ( 2 + 2 + 02 ) = 0. (3)
Квадратне рівняння 2 + 2 + 02 = 0 в (3) називається характеристичним. Його розв'язок
, (4)
дає два фундаментальні розв'язки диференціального рівняння
1 = exp(1t), 2 = exp(2t), (5)
з яких утворюється загальний розв'язок. Загальним розв'язком однорідного рівняння (1) буде лінійна комбінація фундаментальних розв'язків
= Аexp(1t) + Bexp(2t) (6)
з дійсними коефіцієнтами А, В.
Можливі два випадки руху маятника:
1 ) При > 0 аперіодичний рух. При цьому 1,2 < 0 дійсні числа. Функція є спадною функцією часу (1,2<0) і описує асимптотичне, експоненціальної залежності від часу, повернення маятника в стан рівноваги. При цьому коливальний рух не здійснюється. Якщо за початкових умов (у момент часу t = 0), початкове зміщення (0) = 0, а початкова швидкість t=0 = V0, то два рівняння
0 = А + В; V0 = A1 + B2 (7)
мають розв'язком
А = (2 0 - V0)/(2 - 1), B = ( 1 0 - V0)/(1 - 2). (8)
Залежно від початкових умов, можливі два випадки аперіодичного повернення маятника до стану рівноваги (див. Малюнок 27). При 0 > 0 i V0 < 0 із V0 < 10 коефіцієнт B буде менше нуля, а з ним
= Аexp(1t) + Bexp(2t) < 0 (9)
повернення (див. Малюнок 27) має тип а), тобто можливе проміжне відхилення маятника зі стану рівноваги в протилежному напрямкові, а в усіх інших випадках тип б) безпосереднє повернення до стану рівноваги.
2) Якщо < 0, маятник буде здійснювати коливальний рух. При цьому
1 = - +і, 1 = - +і, (10)
де і = уявна одиниця, = частота вільних згасаючих коливань. Загальний розв'язок буде мати вигляд:
= e-t(Aeit + Be-it) (11)
з комплексними коефіцієнтами А, В. Для знаходження величин А та В зауважимо, що функція є дійсною функцією часу, і за цим вона має дорівнювати своїй комплексно спряженій функції = *
e-t(Aeit+Be-it) = e-t(A*e-it +B*eit). (12)
Прирівнюючи в (12) коефіцієнти при однакових експонентах, одержимо В=А*. Для зручності комплексну сталу А візьмемо в експоненціальному вигляді А = а0ei/2, де а0 дійсна величина. Тепер
= а0/2·e-t (ei(t+) +e-i(t+)) (13)
і , користуючись формулою Ейлера eix = cosx isinx, вираз в дужках запишемо у вигляді:
= а0e-t [cos(t+)+isin(t+)+cos(t+)-isin(t+)]
= 0(t)cos(t+). (14)
В (14) 0(t) = a0e-t амплітуда коливань спадна функція часу, Ф = t+ фаза коливань, Ф0 = початкова фаза.
На малюнку представлена залежність кута відхилення фізичного маятника при вільних згасаючих коливаннях з сталою згасання .