§ 18. Характеристики вільних згасаючих коливань

Вільні згасаючі коливання мають своїми характеристиками

• час релаксації,

• кількість повних коливань за час релаксації.

• декремент згасання,

• логарифмічний декремент згасання,

• добротність коливальної системи,

Час релаксації   це час, за який амплітуда коливання зменшується в е раз

_o(t) = Aexp(-t) 

e = _o(t) / _o(t+)= exp() 

 = 1/. (1)

За час релаксації система здійснить N_e=/T=1/(T) повних коливань.

Декремент згасання за визначенням є відношення амплітуд через період

,

а логарифмічний декремент згасання за визначенням є

і в іншому виді .

Енергію коливальної системи можна знайти на прикладі пружинного маятника масою m із сталою пружності k. Нехай його згасаючі коливання описуються функцією

,

де . Повна енергія маятника в кожний момент часу визначається амплітудою

,

зокрема, для t = 0 . В довільний час t потенціальна енергія

,

а кінетична енергія

.

У випадку фізичного маятника потрібно в одержаних результатах замінити х₀(t) на _o(t), а масу маятника m на момент інерції J.

Добротність коливальної системи за визначенням є

,

де E(t)  енергія системи в час t,  робота системи проти сил опору за період Т. Прийнявши до уваги, що енергія пропорційна квадрату амплітуди, можемо записати вираз для добротності у вигляді:



.

Для малих сил опору <<1 і з достатньою точністю можна записати:

.

Тепер добротність коливальної системи з незначними силами опору можна записати у такий спосіб:

Q= .

§ 19. Стоячі хвилі

Якщо всі частинки середовища коливаються в фазі а амплітуда коливань залежить від координати точки, то кажуть, що в середовищі виникла стояча хвиля.

Для простоти розглянемо результат взаємодії двох зустрічних хвиль з однаковими частотами й амплітудами. Нехай :

, (1)

де

, (2)

, (3)

причому

, (4)

В (4) А(х) є амплітудою стоячої хвилі, причому

. (5)

З (4) видно, що фаза стоячої хвилі Ф не залежить від координати точки середовища, і всі його точки коливаються з однаковою фазою Ф=t+/2, але різними амплітудами.

Точки середовища, в яких А(х) мінімальна, називаються вузлами, а точки, в яких А(х) максимальна за величиною  пучностями стоячої хвилі. Нехай , тоді координати пучностей та вузлів визначаться так: пучність  А=2а при ; вузли  А_ст=0 при .

Відстань між двома сусідніми вузлами або пучностями називається довжиною стоячої хвилі і вона дорівнює .

§ 20. Спектр власних частот одновимірних середовищ

Граничні умови для стоячих хвиль у випадку закритого стовпа повітря в скляній трубці довжиною L полягають в тому, що при жорстких закріпленнях, на кінцях трубки розміщуються вузли стоячої хвилі, що можливо за умови, коли , n = 1, 2, 3, ... . Така сама умова буде, коли кінці трубки будуть відкриті, і на них будуть утворюватися пучності. Якщо трубка з одного боку відкрита, а з іншого закрита, то на відкритому кінці утворяться пучності, а на закритому  вузли. Це можливо при , n = 0, 1, 2, ... Частоти , що відповідають наведеним умовам називаються власними і їх величина для закритої або відкритої з двох кінців трубки становить

,

а для напівзакритої трубки 

,

де V  фазова швидкість хвилі.