§ 11. Другий закон Ньютона для обертового руху

Візьмемо похідну від по часу

. (1)

Перший доданок у правій частині (1) дорівнює 0, тому що маємо векторний добуток паралельних векторів - швидкості тіла та його імпульсу. У другому доданкові за другим законом Ньютона . Тепер остаточно маємо

. (2)

Підставивши в (2) вираз для моменту імпульсу одержимо

. (3)

Прирівнюючи праві частини (2) та (3), одержимо

. (4)

Вирази (3) та (4) представляють собою рівняння другого закону Ньютона для обертового руху. З (4) можна зробити висновок про фізичний зміст моменту інерції J, а саме, момент інерції є мірою інертності тіла відносно моменту сили, що діє на нього. При дії на тіло моменту сили воно буде обертатися з більшим кутовим прискоренням при меншому моментові інерції J.

§ 12. Момент інерції деяких тіл

Момент інерції макроскопічного тіла можна знайти розбиттям тіла на нескінченно малі маси і розглянути їх як точкові. При цьому момент інерції тіла дорівнює сумі моментів інерції його складових

або

.

Застосовуючи цей метод, розглянемо момент інерції деяких тіл.

а). Момент інерції J тонкого обруча маси m і радіусом R відносно осі, що проходить через центр, перпендикулярно його площині, дорівнює J=mR². Дійсно, якщо розбити обруч на нескінченно малі дуги з масами dm, які мають радіус обертання , то . При R=0, J=0 і тоді С=0, а .

б). Момент інерції J циліндра маси m із радіусом основи R відносно його осі дорівнює J=mR²/2.

Дійсно, розіб'ємо циліндр на концентричні обручі радіуса х з нескінченно малою товщиною dx момент інекції яких буде дорівнювати dJ=x²dm, де dm=2xdxh  елемент маси обруча, h  висота циліндра,   його густина. Тепер момент інерції циліндра можна обчислити так:

J= hR⁴= (R²h)R²= mR².

Момент інерції J диска маси m із радіусом основи R відносно осі, що проходить через центр мас, перпендикулярно його площині, дорівнює J= mR². Ми зважили, що диск за формою є циліндром.

в). Момент інерції циліндричного кільця маси m з внутрішнім радіусом R₁ і зовнішнім R₂ відносно його осі дорівнює:

,

і остаточно

,

де  маса циліндра з радіусом основи R₁,  маса циліндра з радіусом основи R₂, а m=m₂-m₁-маса кільця.

Теорема Штейнера: момент інерції J_a тіла відносно осі ОО_а паралельній осі ОО_с, яка проходить через центр мас тіла на відстані а від неї, дорівнює J_a=J_c+ma², де J_c  момент інерції тіла відносно осі ОО_с (див. Мал. 16).

§ 13. Маятник Обербека

Для ілюстрації сумісного розв'язку рівнянь поступального та обертового руху, розглянемо маятник Обербека. Маятник Обербека являє собою циліндричне тіло із шківом на осі радіусу r та 4-ма однаковими взаємно перпендикулярними стержнями. На стержнях пристосовані пересувні тягарці масою m₀ кожний. Вони розташовані на відстані R від центру маятника (див. Мал. 17).

Стержні лежать у площині  осі циліндра і проходять через центр маятника. Маятник приводиться в обертовий рух тягарцем m із ниткою, намотаною на шків. Вісь обертання співпадає з віссю циліндра. Спочатку тягарець за рахунок сили натягу нитки розкручує маятник на всю довжину нитки h₁ і в нижній точці ривком маятника починає підніматися в гору. Після підняття тягарця на висоту h₂<h₁, маятник зупиняється й починає обертовий рух у протилежному початковому напрямкові.

За час опускання t та підйому t маятник повертається на кут

,

д е r  радіус шківа. Запишемо рівняння руху тягарця та маятника, виходячи з наступного. При опусканні тягарця, маятник приводиться в обертовий рух моментом сили натягу , де  радіус-вектор точки прикладання сили відносно центра обертання, а момент сили тертя гальмує цей рух (див. Мал. 17). Вектор кутового прискорення лежить на осі обертання і , причому . Усі три вектори лежать на осі обертання і тому, вибравши напрям вектора кутового прискорення за додатній, векторне рівняння другого закону Ньютона для обертового руху маятника

можна записати в алгебраїчному вигляді

.

В цьому рівнянні  модуль моменту сили натягу підвісу.

При опусканні тягарця, на нього діють прискорююча сила тяжіння та гальмуюча сила натягу , причому . Вектор прискорення . Усі три вектори лежать на одній прямій і тому, вибравши за додатній напрямок вектора прискорення, векторне рівняння другого закону Ньютона для прискореного руху тягарця

можна записати в алгебраїчному вигляді

.

Таким чином ми одержали першу пару рівнянь руху маятника Обербека:

, (1)

_. (2)

Рух тягарця рівноприскорений і тому

. (3)

Для знаходження моменту інерції маятника J, помножимо рівняння (2) на r і додамо ліві та праві частини рівнянь (1-2). В результаті одержимо

rmg- . (4)

Підставимо в (4) і знайдемо J:

. (5)

В (5) залишається невідомим момент сили тертя. Знайдемо його з того, що робота проти сили тертя дорівнює

, (6)

Робота виконується за рахунок зменшення потенціальної енергії тягарця на величину . Після підстановки в (6) значень кута повороту та енергії одержимо значення моменту сили тертя

. (7)

Момент інерції J є сумою моменту інерції власне маятника J₀ та моменту інерції 4-х тягарців m, які можна вважати точковими, і тоді

. (8)