917
.pdf
|
∙ |
̅ |
̅ |
̅ |
|
|
|
|||
|
∙ |
̅ |
∙ пр ̅, |
|
|
|
||||
где |
̅ |
|
, – площадь параллелограмма, построенного на векто- |
|||||||
рах |
и ; пр |
̅ |
для правой тройки векторов и пр |
̅ |
для левой |
|||||
тройки векторов, – высота параллелепипеда. |
|
|
|
|||||||
|
Получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
̅ |
∙ |
|
, |
|
|
|
|
|
где |
– объ м параллелепипеда, построенного на векторах |
, , |
̅. |
|||||||
|
Таким образом, |
объ м параллелепипеда, построенного на векторах , |
||||||||
, |
̅, вычисляется по формуле: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
парал. |
. |
|
|
||
|
В частности, объ м пирамиды, построенной на векторах |
, , ̅ |
||||||||
(рис. 2.45) вычисляется по формуле: |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
пир. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̅
Рис. 2.45. Пирамида, построенная на векторах , , |
̅ |
2. Если смешанное произведение ненулевых векторов |
, , ̅, равно |
нулю, то векторы компланарны. |
|
Доказательство. Допустим, что это не так, то есть смешанное произведение равно нулю, но векторы не компланарны. Тогда можно было бы по-
строить параллелепипед с ненулевым объ мом. Но так как |
∙ ̅ |
||||||
, то |
∙ |
̅ 0, что противоречит условию. |
|
||||
3. Если ненулевые векторы , |
, |
̅компланарны, то их смешанное про- |
|||||
изведение равно нулю. |
|
|
|
|
|
||
Доказательство. Пусть векторы |
, |
, |
̅компланарны. |
Тогда вектор |
|||
̅ |
будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы , , |
||||||
̅, и, следовательно, |
̅ |
̅ |
̅ |
0 и |
∙ ̅ 0. |
|
|
̅. Поэтому |
∙ |
|
Алгебраические свойства смешанного произведения векторов
1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей: ∙ ̅ ̅∙ ̅ ∙ .
Доказательство. В этом случае объ м параллелепипеда и ориентация его р бер не меняются.
80
2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков
векторного и скалярного умножения: |
∙ ̅ ∙ |
̅. |
|||||
Доказательство. Из геометрических свойств можно записать: |
|||||||
|
∙ |
̅ |
|
и ∙ |
̅ |
̅∙ |
. |
Знак в правой части этих равенств бер м один и тот же, так как тройки |
|||||||
векторов |
, , |
̅и , |
̅, |
одной ориентации. Следовательно, |
|||
∙ |
̅ |
∙ |
|
̅. Это позволяет записывать смешанное произведе- |
|||
ние векторов |
|
∙ |
̅в виде |
|
̅без знаков векторного и скалярного |
||
умножения. |
|
|
|
|
|
|
3. Смешанное произведение меняет знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей: ̅ ̅ , ̅ ̅, ̅
̅ .
Доказательство. Такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.
Выражение смешанного произведения через координаты пере-
множаемых векторов |
|
|
||
Векторы |
, , |
̅заданы своими координатами: |
; ; |
, |
; ; , ̅ |
; |
; . Найд м смешанное произведение векторов , |
, ̅, учитывая определение смешанного произведения векторов, формулу нахождения векторного и скалярного произведения векторов через их координаты и формулу разложения вектора по ортам координатных осей:
|
̅ |
̅ |
|
|
̅ |
∙ ̅ |
∙ |
̅ |
̅ |
̅ |
̅ |
∙ |
̅ |
̅ |
∙ |
∙ |
∙ |
|
. |
Получили следующую формулу нахождения смешанного произведения векторов через координаты перемножаемых векторов:
.
Таким образом, смешанное произведение векторов, заданных своими координатами, находят с помощью определителя третьего порядка, элементами первой строки которого являются координаты первого вектора, элементами второй строки являются координаты второго вектора, элементами третьей строки являются координаты третьего вектора.
Пример 2.63. Даны векторы 7 ̅ 2 ̅ 3 , ̅ 3 ̅ 4 и ̅ 9 ̅ 3 ̅ . Найти их смешанное произведение.
Решение. Используя формулу нахождения смешанного произведения векторов через координаты этих векторов, получаем:
81
|
7 |
2 |
3 |
|
̅ |
1 |
3 |
4 |
61. |
|
9 |
3 |
1 |
|
Ответ: 61. |
|
Пример 2.64. Выяснить, компланарны ли векторы |
3 ̅ ̅ 7 , |
5 ̅ 4 ̅ 3 и ̅ 2 ̅ 5 ̅ 4 .
Решение. Векторы компланарны, если их смешанное произведение равно нулю. Найд м смешанное произведение векторов , , ̅, используя формулу нахождения смешанного произведения векторов через координаты перемножаемых векторов:
|
3 |
1 |
7 |
|
|
|
̅ |
5 |
4 |
3 |
0. |
|
|
|
2 |
5 |
4 |
|
|
|
Так как смешанное произведение векторов равно нулю, то эти векторы |
||||||
компланарны. |
|
|
|
|
|
|
Ответ: векторы компланарны. |
|
|
|
|
||
Пример 2.65. При каком значении |
векторы |
̅ ̅ , |
,̅ ̅ |
3 ̅ компланарны?
Решение. Векторы компланарны, если их смешанное произведение равно нулю. Найд м смешанное произведение векторов , , ̅, используя формулу нахождения смешанного произведения векторов через координаты перемножаемых векторов:
|
1 |
1 |
|
|
|
̅ |
0 |
1 |
0 |
1 |
3 . |
|
3 |
0 |
1 |
|
|
Приравниваем полученное выражение к нулю: 1 |
3 |
0. Отсюда |
|
. |
|||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
|
Ответ: |
|
. |
|
Даны |
точки |
|
2; 3; 1 , |
4; 1; |
2 , |
6; 3; 7 |
и |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Пример 2.66. |
|
|||||||||||||||||||
5; |
|
4; 8 . Найти объ м пирамиды |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Решение. Объ м пирамиды, построенной на векторах, привед нных к |
||||||||||||||||||||
общему началу, |
равен |
|
|
модуля смешанного произведения этих векторов. |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
Рассмотрим векторы |
, |
|
и |
, на которых построена пирамида |
|
||||||||||||||||
(рис. 2.46). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
В условиях примера |
пир. |
|
|
| |
|
|
|. Найд м координаты векто- |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ров |
, |
и |
, учитывая, |
что при нахождении координат вектора нужно |
|||||||||||||||||
из координат конца вектора вычесть координаты его начала: |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
2; 1 |
3; |
2 |
1 |
|
|
2; |
2; |
3 ; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
6 |
|
2; 3 |
3; 7 |
|
1 |
4; 0; 6 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
5 |
2; |
4 |
3; 8 |
1 |
|
|
7; |
7; 7 . |
|
|
|
|
|
||||||
|
Далее находим смешанное произведение векторов |
, |
и : |
|
82
|
|
|
|
|
̅ |
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
1 |
̅ 7 ̅ 10 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда площадь треугольника |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
√1 |
7 |
10 |
|
|
|
|
|
√150 |
|
√6. |
||||||||||||
|
|
∙ |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Находим искомую высоту: |
|
пир |
|
|
|
|
√ |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
осн |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
√ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2.16. Векторы в прикладных задачах |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Задача 2.1. Дана сила |
10; 11; |
2 . Найти величину и направле- |
ние силы .
Решение. Величину силы определяет модуль вектора этой силы, то есть модуль вектора . Используя формулу нахождения модуля вектора че-
рез его координаты, получаем: |
|
|
|
| | |
10 11 |
2 |
15. |
Направление силы определяют направляющие косинусы вектора этой силы. Используя формулы нахождения направляющих косинусов вектора через его координаты и модуль, получаем:
|
cos |
|
|
|
|
|
, cos |
|
|
|
|
|
, cos |
|
|
|
|
. |
|
|
|
| | |
|
|
| |
| |
|
| | |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Ответ: величина силы равна 15; направление силы определяют |
||||||||||||||||||||
направляющие косинусы вектора этой силы: cos |
|
|
, cos |
|
, cos |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7; 5; |
2 и |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Задача 2.2. На точку действуют две силы: |
|
|
||||||||||||||||||
3; 3; 1 . Найти величину и направление равнодействующей . |
|
||||||||||||||||||||
|
Решение. Равнодействующая |
|
|
равна сумме заданных векторов сил |
и. Используя правило сложения векторов в координатной форме, полу-
чаем: |
7 3; 5 3; |
2 |
1 |
4; 2; |
1 . |
|
|
|||
Величину равнодействующей определяет модуль вектора этой равно- |
||||||||||
действующей, то есть модуль вектора |
. Используя формулу нахождения мо- |
|||||||||
дуля вектора через его координаты, получаем: |
|
|
|
|
||||||
| |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
4 |
2 |
1 |
√21. |
Направление равнодействующей определяют направляющие косинусы вектора этой равнодействующей. Используя формулы нахождения направляющих косинусов вектора через его координаты и модуль, получаем:
cos
cos
cos
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
| |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
√ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
| |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
√ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
| |
| |
|
|
|
|
|
|||||
|
√ |
,
,
.
84
Ответ: величина равнодействующей равна √21; направление равнодействующей определяют направляющие косинусы вектора этой равнодей-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ствующей: cos |
√ |
|
, cos |
√ |
, cos |
√ |
. |
||
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 2.3. Три силы , , |
приложены к одной точке, имеют вза- |
имно перпендикулярные направления. Найти величину их равнодействую-
щей , если известны величины сил: | |
| 3, | | 7, | | 4. |
Решение. Так как по условию силы имеют взаимно перпендикулярные |
|
направления, то векторы сил , , |
направлены по р брам прямоуголь- |
ного параллелепипеда, выходящим из одной точки (рис. 2.47).
Из элементарной геометрии известно, что квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин тр х его р -
бер, выходящих из одной точки. В условиях задачи получаем: |
|
|||||||
| | |
| |
| |
|
| | |
|
| | . |
|
|
Подставляем значения величин сил: |
|
|||||||
| | |
3 |
7 |
4 |
74. |
|
|||
Отсюда | |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
√74. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: √74. |
|
|
|
|
|
|||
Задача 2.4. Найти величину равнодействующей сил |
и , если |
|||||||
| | 7, | |
| |
4; угол между силами и равен 120 . |
|
Рис. 2.47. Равнодействующая тр х взаимно перпендикулярных сил , ,
|
(к Задаче 2.4) |
Решение. Равнодействующая равна сумме заданных векторов сил |
|
и : |
. Найд м квадрат равнодействующей , используя алгеб- |
раические и геометрические свойства скалярного произведения векторов, а также определение скалярного произведения векторов:
| | |
|
|
| | 2 |
| | |
| | 2| | ∙ | | cos , |
| | .
Подставляя числовые значения, получаем:
| | |
7 |
2 ∙ 7 ∙ 4 cos 120 4 |
37. |
||
|
|
|
|||
Отсюда | |
| √ |
37 |
. |
|
|
|
|
85 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: √37. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 2.5. Найти работу силы , если точка, на которую действует |
||||||||||||
сила, совершила перемещение в направлении вектора |
̅. Известно, что | | |
|||||||||||
8, | ̅| 3, |
, ̅ 30 . Указание. Работа силы |
, когда точка, на которую |
||||||||||
действует сила, совершила перемещение |
|
̅, равна скалярному произве- |
||||||||||
дению вектора силы на вектор перемещения |
̅: |
|
∙ ̅. |
|
|
|
||||||
Решение. Работа |
, совершаемая силой |
в направлении вектора ̅ |
||||||||||
определяется как скалярное произведение векторов |
и |
̅: |
∙ ̅. Исполь- |
|||||||||
зуя определение скалярного произведения векторов, получаем: |
||||||||||||
| |
| ∙ | ̅| ∙ cos |
, ̅. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставляем числовые значения: |
8 ∙ 3 ∙ cos 30 |
12√3. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: 12√3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 2.6. Найти работу силы |
6; |
3; |
5 , |
если точка, на кото- |
рую действует сила, совершила перемещение в направлении вектора ̅
9; 7; |
4 . Указание. Работа силы , когда точка, на которую действует сила, |
|||
совершила перемещение |
̅, равна скалярному произведению вектора |
|||
силы |
на вектор перемещения ̅: |
∙ ̅. |
|
|
|
Решение. Работа |
, совершаемая силой в направлении вектора ̅ |
||
определяется как скалярное произведение векторов и ̅: |
̅. Используя |
формулу нахождения скалярного произведения векторов через их коорди-
наты, получаем: |
6 ∙ 9 |
3 ∙ 7 |
5 ∙ |
4 |
53. |
|
Ответ: 53. |
|
|
|
|
|
|
Задача 2.7. Какую работу производит сила |
7; 5; |
2 , когда точка |
||||
е приложения перемещается из точки |
1; |
5; 1 |
в точку |
2; 6; 4 ? Ука- |
зание. Работа силы , когда точка, на которую действует сила, совершила
перемещение |
̅, равна скалярному произведению вектора силы на |
|||||
вектор перемещения |
̅: |
∙ ̅. |
|
|
|
|
Решение. Найд м координаты вектора |
, |
вычитая из координат |
||||
конца вектора соответствующие координаты его начала: |
3; 11; 3 . Ра- |
|||||
бота , совершаемая силой |
в направлении вектора |
определяется как |
||||
скалярное произведение векторов и |
: |
∙ |
. Используя формулу |
нахождения скалярного произведения векторов через их координаты, полу-
чаем: |
7 ∙ 3 |
5 ∙ 11 |
2 |
∙ 3 |
70. |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 70. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2.8. Найти работу равнодействующей |
сил |
3 ̅ 6 ̅ 2 |
||||||||
и |
5 ̅ 4 ̅ |
при |
перемещении |
е |
точки |
приложения |
из точки |
||||
6; 2; 5 в точку 7; 3; 2 . Указание. Работа силы |
, когда точка, на ко- |
||||||||||
торую действует сила, совершила перемещение |
|
̅, |
равна скалярному |
||||||||
произведению вектора силы |
на вектор перемещения |
̅: |
∙ |
̅. |
|||||||
|
Решение. Равнодействующая |
равна сумме заданных векторов сил |
|||||||||
и |
: |
. Векторы |
и заданы через разложение по ортам ко- |
||||||||
ординатных осей. Запишем координаты векторов |
|
и |
: |
3; 6; 2 , |
|||||||
|
5; 4; 1 . Далее воспользуемся правилом сложения векторов через их |
||||||||||
координаты. Получаем: |
|
3 5; 6 |
4; |
2 |
1 |
|
8; 10; |
3 . |
|||
|
|
|
|
|
86 |
|
|
|
|
|
|
|
Найд м координаты вектора |
, вычитая из координат конца вектора |
|||||
соответствующие координаты его начала: |
|
13; 1; 7 . Работа |
, совер- |
||||
шаемая силой |
в направлении вектора |
определяется как скалярное про- |
|||||
изведение векторов и : |
∙ . Используя формулу нахождения ска- |
||||||
лярного произведения векторов через их координаты, получаем: |
8 ∙ 13 |
||||||
10 ∙ 1 |
3 ∙ 7 |
93. |
|
|
|
|
|
|
Ответ: 93. |
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2.9. Сила |
2; 4; 5 |
приложена к точке 4; 2; 3 . Опре- |
||||
делить момент этой силы относительно точки |
3; 2; 1 . Указание. Если |
||||||
сила |
приложена к точке |
, то моментом силы |
относительно точки |
называется вектор , определяемый как векторное произведение вектора
на вектор силы |
: |
. |
|
|
|
|
Решение. |
Найд м координаты вектора |
, вычитая из координат |
||||
конца вектора соответствующие координаты его начала: |
1; 4; 4 . |
|||||
Момент силы |
|
, приложенной к точке |
, относительно точки |
равен век- |
||
торному произведению векторов |
и |
: |
. Используя формулу |
нахождения векторного произведения векторов через их координаты, получаем:
̅ |
|
̅ |
|
|
1 |
|
4 |
4 |
4 ̅ 3 ̅ 4 . |
2 |
|
4 |
5 |
|
Получаем: |
4; 3; 4 . |
|
||
Ответ: 4; 3; 4 . |
|
|
|
|
Задача 2.10. Сила |
|
3; 4; |
2 приложена к точке 2; 1; 2 . |
Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы отно-
сительно начала координат. Указание. Если сила |
приложена к точке , то |
|
моментом силы относительно точки |
называется вектор , определяемый |
|
как векторное произведение вектора |
на вектор силы : |
|
. |
|
|
Решение. Начало координат – это точка |
0; 0; 0 . Найд м коорди- |
наты вектора , вычитая из координат конца вектора соответствующие ко-
ординаты его начала: |
2; 1; 2 . Момент силы , приложенной к |
точке , относительно точки |
равен векторному произведению векторов |
и . В условиях задачи: |
. Используя формулу нахождения век- |
торного произведения векторов через их координаты, получаем:
|
̅ |
̅ |
|
|
|
2 |
1 |
2 |
10 ̅ 2 ̅ 11 . |
|
3 |
4 |
2 |
|
Получаем: |
10; |
2; 11 . |
|
Величину момента силы определяет модуль вектора момента силы, то есть модуль вектора . Используя формулу нахождения модуля вектора через его координаты, получаем:
| | |
10 |
2 |
11 |
15. |
87