917
.pdf
21. |
|
|
|
|
|
. 22. 2 |
3 |
4 |
1 0. 23. |
2 |
3 |
0. |
||
|
|
|
|
|
||||||||||
24. |
3. 25. |
|
2. 26. |
3, |
|
|
. 27. 3; |
2; 4 . 28. |
2; 1; 0 . |
|||||
|
|
|||||||||||||
29. |
3; 3; 3 . 30. |
4; 1; |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответы к Дополнительным упражнениям
Глава 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве
1. См. рис. 1.1–1.6.
6 |
5 |
3
5 |
8 |
|
|
4 |
|
|
Рис. 1.2. |
Рис. 1.1. |
|
6
1
2 |
4 |
|
|
|
2 |
|
Рис. 1.4. |
6
Рис. 1.3.
210
5
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. 7. 3. |
|
|
1; |
|
; |
|
6 |
. 4. |
|
|
|
|
; |
|
|
|
; |
|
|
. 5. |
|
√ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 2. Векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1. |
3; |
|
|
|
9; 5 . 2. 7. 3. cos |
|
|
|
|
|
|
|
, cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 4. |
|
|
|
|
|
|
|
5 ̅ |
|
|
̅ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 . 5. 1) |
1; |
|
3; 4 ; 2) |
|
|
5; 11; 14 ; 3) |
8; |
|
16; |
36 ; 4) |
|
|
|
|
; |
|
|
|
; |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6. |
124. |
7. |
|
|
32 ̅ 4 ̅ 23 . 8. 172. |
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 11. |
|
|
|
√53. |
12. |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
13. |
√ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 3. Плоскость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5; |
7; 9 . 2. 2 |
|
|
|
4 |
16 |
|
|
0. 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. 5. |
|
√ |
|
|
. 6. 22 |
67 |
|
|
|
|
29 |
5 0. 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
8. |
|
|
√ |
. 9. 22 |
|
7 |
3 |
|
|
|
21 |
|
|
0. 10. 19 |
|
|
|
|
|
|
37 |
|
96 |
|
|
|
|
|
|
|
121 |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 4. Прямая в пространстве |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 2. |
|
|
|
6 , |
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 5. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
5; 10; 16 . 6. |
|
17; |
|
28; 17 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Ответы к Прикладным задачам для самостоятельного решения Глава 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве
1. |
|
; |
|
|
; |
|
. 2. |
|
; |
|
|
; |
|
|
. 3. |
|
|
, |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
. 4. |
0; 0; 0 , |
7; |
|
1; 3 , 11; |
4; 2 , 6; 3; |
1 . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Глава 2. Векторы
211
1. Величина силы равна 7; направление силы определяют направляющие косинусы вектора этой силы: cos , cos , cos . 2. Величина
равнодействующей равна 3√6; направление равнодействующей определяют направляющие косинусы вектора этой равнодействующей: cos
√ , cos √ , cos √ . 3. Величина равнодействующей равна √35; направление равнодействующей определяют направляющие косинусы век-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тора этой равнодействующей: cos |
√ |
|
, cos |
√ |
, cos |
√ |
. |
||
|
|
|
|
|
|
||||
4. 15. 5. 7. 6. 18√2. 7. 46. 8. 19. 9. 2. 10. 20; 17; 21 . 11. Величина момента
силы равна 28; направляющие косинусы момента силы: cos |
|
|
|
|
, cos |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
, cos |
|
|
. 12. Величина момента силы равна √66; направляющие коси- |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
нусы момента равнодействующей сил: cos |
√ |
, cos |
√ |
, cos |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Глава 4. Прямая в пространстве |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3 |
6 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. 13. 2. |
1 |
18 , 3. 1) 7; 20; 3 ; 2) 2; 3) 3; 4) 28 и 39. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
9 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. 1) |
|
2; 2; 3 ; 2) 4; 3) 50. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответы к Тестам
Глава 1. Простейшие задачи аналитической геометрии |
|||||||
|
|
|
в пространстве |
|
|
||
Вариант 1. |
|
|
|
|
|
|
|
Номер задания |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
Номер ответа |
4 |
3 |
5 |
2 |
5 |
1 |
|
Вариант 2. |
|
|
|
|
|
|
|
Номер задания |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
Номер ответа |
5 |
2 |
1 |
1 |
3 |
4 |
|
Глава 2. Векторы
Вариант 1.
Номер задания |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Номер ответа |
2 |
5 |
1 |
3 |
1 |
4 |
2 |
4 |
5 |
2 |
Вариант 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер задания |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Номер ответа |
4 |
1 |
3 |
5 |
4 |
2 |
2 |
1 |
3 |
5 |
212
Глава 3. Плоскость
Вариант 1.
Номер задания |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Номер ответа |
5 |
3 |
5 |
2 |
3 |
Вариант 2. |
|
|
|
|
|
Номер задания |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Номер ответа |
2 |
5 |
3 |
1 |
4 |
Глава 4. Прямая в пространстве
Вариант 1.
Номер задания |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Номер ответа |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
Вариант 2. |
|
|
|
|
|
Номер задания |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Номер ответа |
5 |
3 |
2 |
2 |
1 |
213
Заключение
В настоящее время агропромышленный комплекс невозможен без современной техники, оборудования и технологий, что вызывает необходимость подготовки инженерных кадров, способных не только эффективно использовать имеющиеся технологии, но и создавать новые. В образовании инженера большую роль играет математическая подготовка, возможность средствами математики решать профессиональные задачи. В связи с этим данное учебное пособие посвящено аналитической геометрии в пространстве, имеющей множество приложений в науке и технике.
Аналитическая геометрия в пространстве применяется в машиностроении, приборостроении, в строительстве зданий и сооружений. Так векторы являются инструментом решения задач физики, когда приходится иметь дело с направленными величинами, такими как сила, скорость, ускорение. Оптические свойства поверхностей второго порядка лежат в основе работы оптических приборов. Поверхности второго порядка являются важным элементом общей культуры. Нередко архитекторы обращаются к этим поверхностям, позволяющим сочетать хорошие технические характеристики возводимого объекта с эстетическими, вызванными особенностями геометрической формы объекта.
Данное пособие позволит обучающимся получить основательные и системные знания и умения в области аналитической геометрии в пространстве, применять их при изучении технических дисциплин, с пониманием читать математическую и техническую литературу, решать профессиональные задачи, подготовиться к текущему и итоговому контролю.
Содержание и форма предлагаемого учебного материала являются механизмом мотивации обучающегося к дальнейшему изучению как аналитической геометрии в пространстве так и в целом дисциплин Математика и Высшая математика. В зависимости от потребностей, дальнейшее изучение возможно в области теории или в области приложений.
Данное пособие предназначено для обучающихся инженерно-техни- ческих направлений подготовки. Также будет полезно всем, кто изучает аналитическую геометрию в рамках вузовского курса математики, а также тем, кто занимается самообразованием. Может быть использовано преподавателями высших и средних учебных заведений, а также учителями школ с целью углубл нного изучения математики.
214
