917

26.

Установить, какие из следующих пар уравнений определяют

перпендикулярные плоскости:

1) 3

2

5 0,

9

3

2 0;

2) 2

3

3

0,

5

0;

3) 2

5

0,

2

3

0.

27.

Определить, при каких значениях

и

плоскости 3

9 0 и 2

2

3

0 параллельны.

28.

Определить, при каком значении

плоскости 5

3

0 и

2

3

1

0 перпендикулярны.

29.

Вычислить расстояние от точки

6;

5; 1 до плоскости 2

2

11

0.

30.

Вычислить расстояние

от точки

1; 1;

2

до плоскости,

проходящей через точки

1;

1; 1 ,

2; 1; 3 ,

4;

5;

2 .

31.

Вычислить

величину отклонения

точки

2; 1; 1

от

плоскости 16

12

15

4

0.

32.

Вычислить

расстояние

между

параллельными

плоскостями

2

2

9 0 и 4

2

4

21 0.

33.

На оси

найти точку,

равноудал нную от двух плоскостей

12

16

15

1 0 и 2

2

1 0.

которых от плоскости 4

4

2

3

0 равно 2.

35.

Составить

уравнения

плоскостей, параллельных плоскости

2

2

3 0 и отстоящих от не

на расстоянии

5.

л нных от двух параллельных плоскостей 3

2

3 0 и 3

2

ный угол, образованный двумя пересекающимися плоскостями 5

5

2

3 0 и

7

2

1 0.

мую пересечения плоскостей 3

2

9 0,

3 0: 1) и через

точку

4; 2; 3 ; 2) параллельно оси .

ресечения плоскостей 2

3

5 0,

2

2 0 параллельно

вектору ̅ 2; 1; 2 .

стей 3

4

6

λ 2

3

2

0 и равноудал нной от точек

3;

4;

6

и

1; 2; 2 .

41. Написать уравнение плоскости, принадлежащей пучку плоскостей

10

8

15

56

λ 4

3

1

0 и отстоящей от точки

3;

2;

3

на расстоянии

7.

костей 4

13

2

60 λ 4

3

3

30

0 и отсекает от коор-

динатного угла

треугольник с площадью, равной 6.

1.19. 2

4

5

3

0.

1.20. 7

3

4

2

0.

1.21. 6

3

5

0.

1.22.

5

3

3

0.

1.23. 8

2

4

1

0.

1.24. 5

3

9

0.

1.25. 3

6

8

0.

1.26. 6

2

3

4

0.

1.27.

4

3

7

0.

1.28. 9

4

7

2

0.

1.29. 5

6

8

2

0.

1.30. 4

3

2

7

0.

1.31. 2

2

7

5

0.

1.32. 6

2

3

8

0.

1.33. 4

9

5

2

0.

1.34. 5

3

4

2

0.

1.35. 3

5

6

4

0.

1.36. 7

4

8

5

0.

2. Составление общего уравнения плоскости

по е данной точке и нормальному вектору

Задание 2. Составить уравнение плоскости, которая проходит через

точку

и имеет нормальный вектор .

2.1.

1;

5; 3 ,

5; 2; 0 .

2.2.

4;

2; 7 ,

3;

1; 2 .

2.3.

5; 3;

9 ,

1; 4;

1 .

2.4.

2; 7;

3 ,

6; 2; 5 .

2.5.

6; 2; 0 ,

3; 8; 1 .

2.6.

1; 5; 6 ,

4;

5;

1 .

2.7.

8;

1; 2 ,

1; 5; 2 .

2.8.

3;

4;

3 ,

2;

3; 4 .

2.9.

5; 3; 2 ,

1; 0;

7 .

2.10.

2;

5; 3 ,

9; 2;

1 .

2.11.

4; 6;

1

,

3;

5;

3 .

2.12.

3; 1;

5 ,

2;

4; 5 .

2.13.

6; 0; 2 ,

5; 6;

7 .

2.14.

5; 1;

4

,

2;

7;

1 .

2.15.

8;

4; 3 ,

6;

4; 2 .

2.16.

3;

5;

2

,

4;

2; 3 .

2.17.

2;

6;

4

,

2;

1; 5 .

2.18.

6;

3; 8 ,

5;

3; 1 .

2.19.

4;

1;

9

,

2; 1; 0 .

2.20.

1;

3; 2 ,

6; 2;

4 .

2.21.

4; 1; 0 ,

2;

5; 3 .

2.22.

3;

5; 6 ,

2;

4; 1 .

2.23.

5; 3;

1

,

6;

2; 4 .

2.24.

1; 0;

3 ,

5;

9; 3 .

2.25.

2;

6; 2 ,

7;

3;

1 .

2.26.

4;

5;

3 ,

2; 3;

4 .

2.27.

1; 8;

2

,

5; 0;

6 .

2.28.

9;

3;

4

,

2;

4; 2 .

2.29.

0; 7; 3 ,

4;

3;

9 .

2.30.

2;

3; 5 ,

2; 5; 1 .

2.31.

1;

6;

2

,

3; 4; 0 .

2.32.

8; 5;

1

,

2; 6; 1 .

142

2.33.

2;

4; 6

,

5; 2;

3 .

2.34.

5; 9; 2

,

4; 0;

1 .

2.35.

1; 2;

3

,

6;

3; 5 .

2.36.

3;

1; 0

,

5;

4;

8 .

3.1. 4

19

2

0.

3.2. 8

4

3

11

0.

3.3. 2

5

12

1

0.

3.4. 6

17

3

4

0.

3.5. 5

8

2

3

0.

3.6. 7

5

2

13

0.

3.7.

2

10

5

0.

3.8. 6

3

15

0.

3.9. 4

7

8

12

0.

3.10. 9

2

4

2

0.

3.11. 18

5

2

1

0.

3.12. 2

3

9

7

0.

3.13. 5

7

4

4

0.

3.14. 10

3

7

1

0.

3.15. 4

9

9

5

0.

3.16. 3

2

5

13

0.

3.17. 2

5

4

17

0.

3.18. 4

6

5

11

0.

3.19. 6

5

8

10

0.

3.20. 5

4

9

12

0.

3.21. 8

4

7

0.

3.22. 2

6

8

2

0.

3.23. 5

3

8

16

0.

3.24. 4

5

9

2

0.

3.25. 14

3

3

1

0.

3.26. 2

7

5

19

0.

3.27. 4

5

8

10

0.

3.28. 5

2

3

13

0.

3.29. 17

2

3

9

0.

3.30. 2

16

5

2

0.

3.31. 4

6

15

7

0.

3.32. 7

11

3

0.

3.33. 5

2

18

0.

3.34. 8

14

2

5

0.

3.35. 9

2

10

0.

3.36. 6

2

19

2

0.

4.1. 4

12

6

3

0.

4.2. 16

16

8

5

0.

4.3.

2

2

17

0.

4.4. 11

10

2

9

0.

4.5. 6

3

2

14

0.

4.6. 3

4

12

7

0.

4.7. 6

8

13

0.

4.8. 8

8

4

17

0.

4.9. 2

2

10

0.

4.10. 3

2

6

15

0.

4.11. 15

16

12

2

0.

4.12. 4

3

12

3

0.

4.13. 12

4

6

1

0.

4.14. 24

12

8

5

0.

4.15. 2

2

10

0.

4.16. 8

4

8

7

0.

4.17. 4

6

12

5

0.

4.18. 3

2

6

13

0.

4.19. 12

16

15

1

0.

4.20. 2

2

8 0.

4.21. 2

11

10

2

0.

4.22. 3

4

15

0.

4.23. 24

8

12

3

0.

4.24. 4

2

4

15

0.

4.25. 3

2

6

17

0.

4.26. 8

16

16

9

0.

4.27. 4

2

4

11

0.

4.28. 12

4

3

5

0.

143

4.29.

2

2

11

0.

4.30. 6

12

4

3

0.

4.31. 8

4

8

13

0.

4.32. 3

2

6

10

0.

4.33. 2

11

10

5

0.

4.34. 4

6

12

7

0.

4.35. 3

4

12

3

0.

4.36. 16

16

8

1

0.

5. Вычисление расстояния от точки до плоскости.

Задание 5. Вычислить расстояние от точки

до плоскости .

5.1.

8;

5; 2 ,

: 2

6

9

6

0.

5.2.

4;

1; 7 ,

: 4

6

12

7

0.

5.3.

1; 9;

4 ,

: 12

15

16

6

0.

5.4.

2;

6; 7 ,

:

2

2

4

0.

5.5.

6;

3;

3 ,

: 11

10

2

2

0.

5.6.

3;

2; 1 ,

: 16

16

8

9

0.

5.7.

9;

5; 4 ,

: 2

4

4

1

0.

5.8.

2; 3; 0 ,

: 8

4

8

5

0.

5.9.

4; 1;

5 ,

: 3

2

6

7

0.

5.10.

3;

6; 7 ,

: 12

4

6

3

0.

5.11.

2;

8;

3 ,

: 9

6

2

7

0.

5.12.

1;

2; 9 ,

: 4

2

4

1

0.

5.13.

5;

3; 4 ,

: 3

4

12

5

0.

5.14.

2;

4;

7 ,

: 6

2

9

1

0.

5.15.

3;

2; 5 ,

: 11

10

2

3

0.

5.16.

4;

1; 0 ,

: 6

8

3

0.

5.17.

1; 2; 5 ,

: 12

24

8

5 0.

5.18.

2; 3;

6

,

: 4

12

6

3

0.

5.19.

5;

4; 1 ,

: 3

4

10

2

0.

5.20.

6;

7; 3 ,

: 12

15

16

5

0.

5.21.

3;

6; 5 ,

: 2

9

6

3

0.

5.22.

1;

7; 3 ,

: 4

2

4

1

0.

5.23.

4;

9;

4 ,

: 12

8

24

3

0.

5.24.

2;

3; 5 ,

: 6

2

9

2

0.

5.25.

7;

1; 3 ,

: 3

2

6

4

0.

5.26.

3;

0; 4 ,

: 4

12

3

3

0.

5.27.

1;

3;

5 ,

: 9

2

6

5

0.

5.28.

2;

6;

3 ,

: 4

12

6

5

0.

5.29.

4;

2; 1 ,

: 3

2

6

9

0.

5.30.

3;

4; 5 ,

: 5

4

3

1

0.

5.31.

7;

6; 3 ,

: 8

8

4

7

0.

5.32.

5;

2;

7 ,

: 6

3

2

2

0.

5.33.

1;

4; 2 ,

:

2

2

3

0.

5.34.

1;

3; 4 ,

: 3

4

8

0.

5.35.

3;

1; 0 ,

: 15

12

16

1

0.

5.36.

2;

7; 6 ,

: 9

2

6

3

0.

6.1.

6;

2; 3 ,

2; 4;

1 ,

3; 1;

4 .

6.2.

3; 1; 0 ,

1;

5;

2 ,

3;

4; 1 .

6.3.

1;

2; 5 ,

3;

6; 7 ,

4; 3;

2 .

6.4.

2;

2; 1 ,

0; 3;

2 ,

4;

2; 3 .

6.5.

9; 4;

2 ,

7; 5; 1 ,

2; 3; 2 .

6.6.

3;

5; 4 ,

4; 2;

6 ,

7; 3;

1 .

6.7.

1; 6;

7 ,

3;

5; 2 ,

4; 2;

3 .

6.8.

4;

2; 5 ,

3; 0;

4 ,

1; 8;

7 .

6.9.

2;

5;

9 ,

3; 6; 2 ,

5;

2; 1 .

6.10.

1; 3;

4

,

5;

2; 8 ,

6;

4; 1 .

6.11.

3;

4; 7 ,

1; 1; 0 ,

2; 5;

6 .

6.12.

4; 1; 0 ,

5;

2;

6 ,

6;

3;

2 .

6.13.

5; 1;

2 ,

4;

3;

4 ,

1;

9; 8 .

6.14.

9; 3;

7 ,

6; 0; 2 ,

5;

4; 1 .

6.15.

0;

5; 4 ,

3;

6; 2 ,

4; 5;

3 .

6.16.

3; 4; 9 ,

5;

7; 0 ,

6;

8; 2 .

6.17.

2;

6; 7 ,

3;

2;

8 ,

4; 2; 0 .

6.18.

1; 5;

8 ,

1;

3; 2 ,

5; 4;

7 .

6.19.

5;

1; 2 ,

6;

2;

9 ,

9; 4;

5 .

6.20.

3;

7; 4 ,

1; 5; 3 ,

4;

6; 0 .

6.21.

1;

5;

6 ,

3; 2; 4 ,

6;

7;

8 .

6.22.

4; 9; 1 ,

2;

4; 2 ,

3; 8;

3 .

6.23.

2;

6; 2 ,

3; 5; 1 ,

5;

6;

3 .

6.24.

1;

3;

4 ,

5; 2;

6 ,

6; 4; 7 .

6.25.

0;

1; 7 ,

1;

3; 4 ,

4; 9;

2 .

6.26.

3;

4; 8 ,

1; 2; 0 ,

1;

7; 3 .

6.27.

2;

9;

5 ,

3;

1; 2 ,

5; 2;

3 .

6.28.

5; 3; 4 ,

4;

9;

2 ,

2; 0; 1 .

6.29.

4; 7;

2 ,

5;

6;

3 ,

8;

2; 1 .

6.30.

1; 3;

4 ,

3;

5; 2 ,

6; 2;

9 .

6.31.

3; 5; 0 ,

1;

2;

7 ,

5; 2;

1 .

6.32.

4;

3;

8 ,

5; 6;

2 ,

7;

4; 0 .

6.33.

2; 5; 7 ,

1;

6;

2 ,

2;

1; 6 .

6.34.

5; 1;

6 ,

7;

2; 0 ,

9;

3; 1 .

6.35.

3;

5; 1 ,

2; 8;

4 ,

3;

4; 0 .

6.36.

4;

1;

8 ,

5;

2; 3 ,

8; 5;

1 .

7. Определение двугранного угла между двумя плоскостями

Задание 7. Определить двугранный угол между плоскостями

и .

7.1.

: 6

2

9

4

0,

: 12

6

4

3

0.

7.2.

: 8

16

16

1

0,

: 3

4

12

6

0.

145

7.3.

: 2

6

3

9

0,

: 11

10

2

5

0.

7.4.

: 12

16

7

0,

: 4

4

2

1

0.

7.5.

: 8

8

4

3

0,

: 3

2

6

11

0.

7.6.

: 4

6

12

5

0,

:

2

2

13

0.

7.7.

: 2

10

11

6

0,

: 6

2

9

3

0.

7.8.

: 16

12

5

0,

: 3

4

12

15

0.

7.9.

: 2

2

6

0,

: 12

24

8

17 0.

7.10.

: 3

6

2

1

0,

: 8

4

8

9

0.

7.11.

: 8

6

3

0,

: 4

12

6

13

0.

7.12.

: 2

2

2

0,

: 11

10

2

8

0.

7.13.

: 8

16

16

5

0,

: 4

6

12

15

0.

7.14.

: 3

12

4

4

0,

: 4

2

4

13

0.

7.15.

: 4

8

8

3

0,

: 6

9

2

15

0.

7.16.

: 6

2

3

4

0,

: 12

16

5

0.

7.17.

: 15

12

16

7

0,

: 2

2

10

0.

7.18.

: 16

8

16

5

0,

: 3

4

12

2

0.

7.19.

: 4

12

6

3

0,

: 4

2

4

15

0.

7.20.

: 2

2

10

0,

: 2

11

10

2

0.

7.21.

: 3

4

5

0,

: 6

2

9

19

0.

7.22.

: 12

8

24

3

0,

: 2

2

11

0.

7.23.

: 3

4

12

1

0,

: 4

4

2

5

0.

7.24.

: 16

12

15

4

0,

:

2

2

8

0.

7.25.

: 4

6

12

3

0,

: 6

2

9

15

0.

7.26.

: 8

6

13

0,

:

2

2

12

0.

7.27.

: 4

8

8

5

0,

: 11

2

10

3

0.

7.28.

: 2

4

4

13

0,

: 6

2

9

1

0.

7.29.

: 15

12

16

3

0,

:

2

2

8

0.

7.30.

: 3

4

12

5

0,

: 4

2

4

1

0.

7.31.

: 16

16

8

1

0,

: 11

10

2

6

0.

7.32.

: 3

6

2

10

0,

: 8

4

8

5

0.

7.33.

: 4

2

4

19

0,

: 3

4

12

9

0.

7.34.

:

2

2

6

0,

: 6

2

9

3

0.

7.35.

: 8

4

8

5

0,

: 4

12

6

7

0.

7.36.

: 3

6

2

10

0,

: 2

10

11

4

0.

и .

8.1.

: 7

3

12

0,

: 14

6

2

3

0.

8.2.

: 6

3

9

14

0,

: 2

3

5

0.

8.3.

: 5

4

2

7

0,

: 10

8

4

9

0.

8.4.

:

2

4

10

0,

: 2

4

8

1

0.

8.5.

: 9

15

6

13

0,

: 3

5

2

16

0.

8.6.

: 6

2

6

11

0,

: 3

3

8

0.

8.7.

: 2

4

3

2

0,

: 6

12

9

14 0.

146

8.8.

: 4

4

2

13

0,

: 8

8

4

3

0.

8.9.

: 3

2

5

4

0,

: 6

4

10

17

0.

8.10.

: 8

6

2

11

0,

: 4

3

2

0.

8.11.

: 4

6

10

1

0,

: 2

3

5

9

0.

8.12.

: 2

2

19

0,

: 6

3

6

13

0.

8.13.

: 9

6

3

10

0,

: 3

2

15

0.

8.14.

: 3

4

2

12

0,

: 6

8

4

3

0.

8.15.

: 2

6

3

6

0,

: 4

12

6

7

0.

8.16.

: 5

2

1

0,

: 10

4

2

15

0.

8.17.

: 4

4

2

9

0,

: 8

8

4

3

0.

8.18.

: 4

12

6

11

0,

: 2

6

3

2

0.

8.19.

: 3

2

4

10

0,

: 6

4

8

15

0.

8.20.

: 2

5

3

0,

: 4

2

10

17

0.

8.21.

: 4

12

6

2

0,

: 2

6

3

8

0.

8.22.

: 8

2

3

0,

: 16

4

2

5

0.

8.23.

: 2

2

15

0,

: 4

2

4

7

0.

8.24.

: 3

3

4

2

0,

: 9

9

12

3

0.

8.25.

: 5

2

2

4

0,

: 10

4

4

13

0.

8.26.

: 8

4

8

15

0,

: 2

2

5

0.

8.27.

: 4

14

0,

: 8

2

2

11

0.

8.28.

: 3

4

12

3

0,

: 6

8

24

7

0.

8.29.

:

2

3

10

0,

: 4

8

12

5

0.

8.30.

: 2

5

2

7

0,

: 4

10

4

1

0.

8.31.

: 4

6

12

11

0,

: 2

3

6

8

0.

8.32.

: 2

4

3

9

0,

: 14

8

6

1

0.

8.33.

: 3

2

6

3

0,

: 6

4

12

5

0.

8.34.

: 3

5

14

0,

: 6

10

2

3

0.

8.35.

: 6

3

2

15

0,

: 12

6

4

7

0.

8.36.

: 2

3

4

0,

: 8

4

12

5

0.

Третий уровень сложности

9.

Составление уравнения плоскости, проходящей

параллельно векторам

и .

9.1.

3;

6; 9 ,

6; 1; 2 ,

5; 3; 5 .

9.2.

7; 3;

2

,

3;

4; 7

,

1; 1; 2 .

9.3.

1; 7; 4 ,

5;

2; 9

,

3; 4;

1 .

9.4.

2;

1; 5 ,

6;

5; 3 ,

8; 1;

2 .

9.5.

1;

4; 3 ,

9; 0; 5 ,

4; 2;

3 .

9.6.

3; 5; 1

,

1;

6; 2

,

5;

3; 2 .

9.7.

2; 4;

7

,

4; 8; 3

,

1; 5; 4 .

9.8.

1;

2; 5 ,

3;

2; 6 ,

7; 0; 2 .

9.9.

5; 1;

3 ,

6;

9; 3 ,

5; 8; 4 .

9.10.

6; 2;

4 ,

1; 4; 7 ,

2;

3; 6 .

147

9.11.

4;

7;

1 ,

5; 3; 4 ,

8; 0; 1 .

9.12.

1;

4; 6 ,

2;

9; 7 ,

5; 3; 1 .

9.13.

8;

0; 2 ,

4; 6; 2 ,

3; 4;

3 .

9.14.

5;

4; 1 ,

6; 3;

1 ,

5; 8; 3 .

9.15.

2;

6; 5 ,

3; 6; 9 ,

5; 3; 4 .

9.16.

1;

4; 0 ,

5; 4;

2 ,

6; 7; 1 .

9.17.

4;

2;

9 ,

8; 3; 2 ,

5; 1; 3 .

9.18.

3;

5; 1 ,

0;

3; 4 ,

5; 8;

2 .

9.19.

2;

6; 1 ,

4; 9; 5 ,

1; 2; 1 .

9.20.

6; 2;

4 ,

5;

3; 6 ,

7; 2; 9 .

9.21.

3; 4;

5 ,

4; 1; 8 ,

3;

2; 7 .

9.22.

2;

5; 1 ,

5;

3; 6 ,

2; 4; 1 .

9.23.

5;

2; 4 ,

3;

5; 1 ,

7; 2; 1 .