917
.pdf4.31. |
2; 3; |
5 , |
|
6; 1; 4 , |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||||||||
4.32. |
8; |
3; |
|
7 , |
2; 4; 0 , |
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|||||||||||||
4.33. |
7; 2; |
|
4 |
, |
5; |
1; 3 , |
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|||||||||||||
4.34. |
3; |
1; |
|
2 |
, |
4; |
7; 6 |
, |
4 . |
||||||
4.35. |
2; 6; 3 |
, |
|
4; 8; |
4 , |
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
|||||||||||||
4.36. |
1; |
5; 2 |
, |
3; |
4; 6 |
, |
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
Третий уровень сложности |
|
|||||||||||
Задание 5. Даны вершины треугольника |
, , |
. Определить длину |
||||||||||||||
биссектрисы его внутреннего угла при вершине . |
|
|||||||||||||||
5.1. |
2; |
1; 2 , |
|
8; 1; |
1 , |
|
20; 5; |
4 . |
|
|
||||||
5.2. |
5; 8; |
2 , |
|
1; 6; |
5 , |
|
13; 2; 2 . |
|
|
|||||||
5.3. |
9; |
4; 5 , |
|
3; |
|
2; 2 , |
|
9; 2; |
1 . |
|
||||||
5.4. |
11; 8; |
1 , |
|
5; 6; |
|
4 , |
|
7; 2; |
1 . |
|
||||||
5.5. |
8; 5; 4 , |
|
|
2; 3; 1 , |
|
10; 7; 4 . |
|
|
|
|||||||
5.6. |
1; |
5; |
8 , |
|
7; |
3; |
5 , |
|
11; 0; 7 . |
|
|
|||||
5.7. |
2; |
10; 1 , |
|
4; |
|
8; |
|
2 , |
|
16; |
5; |
6 . |
|
|||
5.8. |
7; 4; |
5 , |
|
1; 2; |
2 , |
|
11; 6; 1 . |
|
|
|||||||
5.9. |
2; |
5; |
7 , |
|
4; |
|
3; |
4 , |
8; 1; |
1 . |
|
|||||
5.10. |
4; |
8; 1 , |
|
2; |
|
6; |
|
2 , |
|
14; |
2; 1 . |
|
||||
5.11. |
5; |
9; |
4 , |
1; |
7; |
1 , |
|
13; |
3; 2 . |
|
||||||
5.12. |
1; |
8; 5 , |
|
5; |
|
6; 2 , |
17; |
2; |
1 . |
|
||||||
5.13. |
15; |
7; 6 , |
|
9; |
5; 3 , |
3; |
1; 0 . |
|
||||||||
5.14. |
8; 1; |
4 , |
|
2; |
1; |
1 , |
|
10; |
5; 2 . |
|
||||||
5.15. |
14; |
3; 1 , |
|
2; |
7; |
2 , |
4; |
5; 1 . |
|
|||||||
5.16. |
10; |
3; 2 , |
|
4; |
1; |
1 , |
8; 3; |
4 . |
|
|||||||
5.17. |
9; 6; 7 , |
|
3; 4; 4 , |
9; 0; 1 . |
|
|
|
|||||||||
5.18. |
7; |
3; 8 , |
|
5; 1; 5 , |
11; |
2; 3 . |
|
|
||||||||
5.19. |
3; |
7; 1 , |
|
9; |
|
3; |
|
2 , |
|
15; |
1; |
5 . |
|
|||
5.20. |
11; 4; |
2 , |
1; 8; 1 , |
7; 6; 4 . |
|
|
||||||||||
5.21. |
8; |
1; |
4 , |
|
2; 1; |
1 , |
14; 5; 2 . |
|
|
|||||||
5.22. |
14; 3; |
5 , |
|
8; 1; |
2 , |
4; 5; 1 . |
|
|||||||||
5.23. |
10; 3; |
2 , |
|
4; 1; 1 , |
|
8; 5; 4 . |
|
|
||||||||
5.24. |
9; |
5; |
4 , |
|
3; |
3; |
1 , |
9; 1; 2 . |
|
|||||||
5.25. |
5; |
4; 5 , |
|
1; |
|
2; 2 , |
13; 1; 6 . |
|
|
|||||||
5.26. |
0; |
9; |
5 , |
|
6; |
|
7; |
|
2 , |
|
18; |
3; 1 . |
|
|||
5.27. |
8; 0; |
4 , |
|
2; |
2; |
1 , |
|
10; |
6; 2 . |
|
||||||
5.28. |
4; 5; 9 , |
2; 3; 6 , |
|
14; |
1; 3 . |
|
|
|||||||||
5.29. |
7; |
5; 10 , |
|
1; |
3; 7 , |
11; 1; 4 . |
|
|||||||||
5.30. |
10; |
7; |
4 , |
|
4; |
5; |
|
1 , |
8; |
1; 2 . |
||||||
5.31. |
8; |
7; |
2 , |
|
2; |
5; |
5 , |
10; |
1; |
8 . |
||||||
5.32. |
11; 4; |
7 , |
|
5; 2; |
4 , |
7; |
2; |
1 . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
5.33. |
|
|
|
|
|
|
4; 1; |
|
1 , |
|
2; |
1; |
4 , |
|
|
14; 3; |
|
|
7 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
5.34. |
|
|
|
|
|
|
13; |
|
|
|
3; 5 , |
7; |
1; 2 , |
|
|
|
5; |
|
5; |
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
5.35. |
|
|
|
|
|
|
7; |
|
|
|
|
5; 4 , |
|
1; |
3; 1 , |
|
|
11; 0; |
|
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
5.36. |
|
|
|
|
|
|
5; 9; 4 , |
|
|
1; 7; 1 , |
13; 4; |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тесты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Первый уровень сложности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1. Координаты точки, симметричной точке |
|
|
3; 2; |
1 |
относительно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
плоскости |
|
|
, равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1) |
3; |
2; |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2) |
3; 2; |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
3; 2; 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
4) |
3; 2; 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
3; |
|
|
|
2; |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2. Расстояние между точками |
|
|
1; 5; |
|
6 |
|
и |
3; 4; |
7 |
равно: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
√14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) 14 |
|
|
3) |
3√2 |
|
|
|
|
|
|
4) 18 |
|
|
5) |
|
3√2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
3. Даны точки |
3; |
8; |
9 |
и |
|
|
5; 0; |
|
4 . Координаты середины от- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
резка |
|
|
равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1) |
2; |
|
|
|
2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
8; 8; 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
8; |
8; |
13 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
4; 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
4; |
|
|
|
4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Второй уровень сложности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
4. Расстояние от начала координат до точки |
4; 12; 6 |
равно: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
196 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) 14 |
|
|
3) |
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) 7 |
|
|
|
5) |
14 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5. Точка |
|
|
|
|
делит отрезок между точками |
|
|
2;4; 7 |
и |
3; |
5; |
8 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в отношении |
|
|
|
|
|
|
|
3. Координаты точки |
|
|
|
|
равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
|
7; 11; |
17 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
5) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Третий уровень сложности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
6. Координаты точки, расположенной на оси |
и равноудал нной от |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точек |
2; 4; 1 |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
3; 2; 5 , равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1) |
0; 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
0; |
|
|
|
|
|
; 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
|
; 0; 0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4) |
0; 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
0; |
|
|
|
|
|
|
; 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Первый уровень сложности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1. Координаты точки, симметричной точке |
6; 8; 1 |
относительно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
оси абсцисс, равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1) |
6; |
|
|
|
8; |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2) |
6; 8; |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3) |
6; 8; 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4) |
6; 8; |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
5) |
6; 8; |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2. Расстояние между точками |
|
|
4; |
3; 8 |
|
и |
5; 0; 7 равно: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1) |
|
√91 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) √91 |
3) |
91 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) √71 |
5) 71 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3. Даны точки |
|
|
|
|
|
8; 6; 1 |
и |
|
|
3; 4; |
|
3 . Координаты середины от- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
резка |
|
|
равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
|
; 5; |
|
1 |
2) |
|
|
; |
5; 1 |
|
|
|
|
|
3) |
5; 10; |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
5; |
|
10; 2 |
|
5) |
|
|
|
|
; |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Второй уровень сложности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4. Расстояние от начала координат до точки |
4; 2; |
4 |
равно: |
|||||||||||||||||||||||||||||
1) 6 |
|
|
|
|
2) 36 |
3) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
4) 4 |
5) |
6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
5. Точка |
|
делит отрезок между точками |
4; 3; 9 |
и |
8; |
5; 1 |
||||||||||||||||||||||||||
в отношении |
|
|
|
|
|
|
. Координаты точки |
равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1) |
28; 1; 5 |
2) |
|
|
|
28; 1; 5 |
3) |
|
|
; |
|
|
; 5 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4) |
|
|
|
|
; |
|
|
; 5 |
5) |
|
|
|
|
|
; |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Третий уровень сложности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6. Координаты точки, расположенной в плоскости |
и равноудал н- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ной от точек |
1; |
1; 5 , |
3; 4; 4 |
и |
|
4; 6; 1 , равны: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1) |
5; 16; 0 |
|
2) |
0; |
5; 16 |
|
|
|
|
3) |
0; 16; |
5 |
|
|||||||||||||||||||
4) |
16; |
5; 0 |
|
5) |
16; 0; |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32
Глава 2. Векторы
В этой главе будет рассмотрен такой геометрический объект как вектор, позволяющий решать геометрические задачи в математике и являющийся инструментом решения задач технических дисциплин.
2.1. Основные понятия
Вектором называется направленный отрезок. Используется следую-
щее обозначение: или , где точка – начало вектора, точка – конец вектора. Геометрически вектор изображается в виде луча (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Вектор
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых. Два вектора называются сонаправленными, если они коллинеарны и имеют одно направление. Два вектора называются противоположно направленными, если они коллинеарны и имеют противо-
положное направление. |
|
|
|
Длиной или модулем вектора |
называется число, равное длине от- |
резка |
. Используется обозначение: | |
| |
Два вектора называются равными, если они сонаправленны и имеют одинаковые длины.
Множество всех равных между собой векторов называется множеством свободных векторов. Используется следующее обозначение: или .
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором. Используется следующее обозначение: ̅. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора . Используется обозначение: . Орт можно найти по формуле:
| |.
Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Ис-
пользуется обозначение: |
̅. Нулевой вектор не имеет определ нного направ- |
|
ления и имеет длину, равную нулю. |
|
|
Вектор, противоположный вектору |
, обозначается ; вектор, про- |
|
тивоположный вектору |
, обозначается . |
|
Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной |
||
плоскости или в параллельных плоскостях. |
|
|
Пример 2.1. В прямоугольнике |
показаны векторы (рис. 2.2). |
Среди них указать следующие векторы: 1) коллинеарные; 2) сонаправленные; 3) противоположно направленные; 4) равные.
Решение.
1) Учитывая, что противоположные стороны прямоугольника парал-
лельны, выпишем пары коллинеарных векторы: |
и , |
и . |
33 |
|
|
Рис. 2.2. Прямоугольник |
(к Примеру 2.1) |
|
2) Выпишем сонаправленные векторы. Для этого среди коллинеарных |
||
векторов выберем векторы, имеющие одинаковые направления: |
и . |
3) Выпишем противоположно направленные векторы. Для этого среди коллинеарных векторов выберем векторы, имеющие противоположные направления: и .
4) Учитывая, что противоположные стороны прямоугольника параллельны и равны, выпишем пары равных векторов; для прямоугольника пары
равных векторов совпадают с парами сонаправленных векторов: |
и . |
||||
Ответ: 1) |
и , |
и ; 2) |
и ; 3) |
и ; 4) |
и . |
2.2Линейные операции над векторами в векторной форме
Клинейным операциям над векторами относят операции сложения векторов и умножения вектора на числа.
1. Сложение. Пусть даны два вектора и . Суммой |
называется |
|
вектор, который ид т из начала вектора |
в конец вектора , |
при условии, |
что вектор приложен к концу вектора |
. Покажем на рисунке |
|
(рис. 2.3): |
|
|
|
|
Рис. 2.3. Сложение векторов по правилу треугольника |
|||
|
Сложение векторов, выполненное указанным образом, называют пра- |
||||
вилом треугольника. |
|
|
|
||
|
Замечание. Если конец вектора |
совпадает с началом вектора , то |
|||
сумма |
является нулевым вектором: |
̅. |
|
||
|
2. Умножение вектора на число. Пусть даны вектор |
и число . Про- |
|||
изведением |
называется вектор, коллинеарный вектору |
, имеющий длину |
|||
| | ∙ | |
| и направление такое же, как у вектора , если |
0, и противопо- |
|||
ложное, если |
0. |
|
|
|
|
|
Замечание 1. Если |
̅или |
0, то произведение имеет модуль, |
равный нулю, и, следовательно, представляет собой нулевой вектор. В этом случае направление произведения является неопредел нным.
Замечание 2. При умножении вектора на число вектор растягивается в раз.
Основные свойства линейных операций
34
1. |
. Переместительное свойство. |
|
Это свойство говорит о том, что сумма любых двух векторов не зави- |
||
сит от порядка слагаемых. |
|
|
Доказательство. Приложим векторы |
и к одной точке и по- |
|
строим на этих векторах параллелограмм |
таким образом, что |
,(рис. 2.4).
Рис. 2.4. Сложение векторов по правилу параллелограмма
Так как в параллелограмме противоположные стороны параллельны и
равны, то |
, |
|
. |
|
|
В ∆ |
по правилу треугольника |
. В ∆ |
по |
||
правилу треугольника |
|
. Таким образом, |
|
||
. |
|
|
|
|
|
Замечание. Если на векторах |
и , привед нных к общему началу, по- |
||||
строить параллелограмм, то |
|
является диагональю этого параллело- |
|||
грамма, идущей из общего начала |
и . Такое правило сложения векторов |
||||
называется правилом параллелограмма. |
|
|
|||
2. |
̅ |
̅. Сочетательное свойство. |
|
||
Доказательство. Расположим векторы , |
и ̅так, чтобы вектор |
||||
был приложен к концу вектора |
, |
а вектор ̅приложен к концу вектора . |
|||
Построим на этих векторах четыр хугольник |
так, что |
, |
,̅(рис. 2.5).
̅
̅
Рис. 2.5. Сочетательное свойство сложения векторов
В ∆ |
по правилу треугольника |
. В ∆ |
по |
правилу треугольника |
̅. |
|
|
В ∆ |
по правилу треугольника |
̅. В ∆ |
по |
правилу треугольника |
̅. |
|
|
|
35 |
|
|
Таким образом, |
̅ |
̅. |
|
|
||
Замечание 1. Аналогично можно получить общее правило сложения |
||||||
векторов. Для того чтобы построить сумму n векторов , |
, … , |
нужно к |
||||
концу вектора |
приложить вектор |
, затем к концу вектора |
приложить |
|||
вектор |
, затем к концу вектора |
приложить вектор |
и т. д., затем к |
|||
концу вектора |
приложить вектор |
. Тогда суммой |
|
|
||
… |
|
|
будет вектор, идущий из начала вектора |
в конец |
||
вектора |
(рис. 2.6). |
|
|
|
|
Рис. 2.6. Общее правило сложения векторов
Замечание 2. Сумма любого числа векторов не зависит от порядка
своих слагаемых. |
|
|
3. |
, где , . Распределительное свойство. |
|
Это свойство означает, что при растяжении вектора в |
раз по- |
лучается такой же вектор, как при сложении вектора , растянутого в |
раз, |
||||||
с вектором |
, растянутым в |
раз. |
|
|
|||
|
|
4. |
, где |
, |
|
. Сочетательное свойство. |
|
|
|
Это свойство означает, |
что при растяжении вектора в раз и затем |
||||
ещ |
в |
раз получается такой же вектор, как при растяжении вектора |
сразу |
||||
в |
раз. |
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
, |
|
|
. Распределительное свойство. |
|
|
|
Доказательство. Это тождество следует из теории подобия фигур. |
|||||
Вектор |
является диагональю параллелограмма, построенного на век- |
||||||
торах |
и |
, в предположении, что и приведены к общему началу. При |
|||||
растяжении векторов , и |
|
|
в раз этот параллелограмм изменяется |
подобно и, следовательно, превращается снова в параллелограмм (рис. 2.7).
O
36
Рис. 2.7. Распределительное свойство |
|
||
Таким образом, |
является диагональю параллелограмма, по- |
||
строенного на векторах |
и . Отсюда |
. |
|
Указанные свойства линейных операций дают право выполнять пре- |
|||
образования в векторной алгебре так же, как в обычной алгебре. |
|
||
2.3. Вычитание векторов в векторной форме |
|
||
Пусть даны два произвольных вектора |
и . Разностью |
назы- |
|
вается вектор, который в сумме с вектором |
составляет вектор |
(рис. 2.8). |
Рис. 2.8. Разность векторов
Иначе, разностью двух векторов, привед нных к общему началу, является вектор, идущий из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого.
|
Операцию вычитания из вектора |
вектора |
можно заменить сложе- |
|||||||||||
нием вектора |
с вектором, противоположным вектору |
: |
|
. |
||||||||||
|
Пример 2.2. Раскрыть скобки и упростить выражение: 4 3 |
5 |
||||||||||||
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Используя свойства линейных операций, получаем: |
|
||||||||||||
|
4 3 |
5 |
2 |
4 3 |
4 5 |
|
2 |
12 |
20 |
2 |
|
|||
12 |
2 |
20 |
|
12 |
2 |
20 |
|
|
14 |
20 . |
|
|
|
|
|
Ответ: 14 |
20 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример 2.3. Даны векторы и . Построить следующие векторы: |
|||||||||||||
|
1) 2 ; 2) ; 3) |
2 ; 4) |
|
|
; 5) |
|
; 6) 2 |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Вектор 2 |
получается из вектора |
растяжением его в 2 раза |
|
||||||||||
(рис. 2.9). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Вектор |
получается из вектора |
изменением его направления на |
противоположное (рис. 2.9).
37
2
2
2
2
|
|
Рис. 2.9. Построение векторов (к Примеру 2.3) |
|
|
|
|||||||||||||
|
3) Вектор |
2 получается из вектора 2 |
изменением его направления |
|||||||||||||||
на противоположное (рис. 2.9). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4) Вектор |
|
|
|
|
получается из вектора сжатием его в 2 раза (рис. 2.9). |
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
5) Вектор |
|
|
получается из вектора |
|
|
изменением его направления |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
на противоположное (рис. 2.9). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
6) Вектор 2 |
|
|
получается сложением векторов 2 и |
по правилу |
|||||||||||||
параллелограмма (рис. 2.9). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Пример 2.4. В треугольнике |
вектор |
и вектор |
. |
||||||||||||||
Построить каждый из следующих векторов: 1) |
|
; 2) |
|
|
; 3) |
|
; |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1) Достроим треугольник |
до параллелограмма |
|
|
. Обозначим |
через точку пересечения его диагоналей (рис. 2.10).
Рис. 2.10. Построение вектора (к Примеру 2.4 (1))
Тогда по правилу параллелограмма . Учитывая, что диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам,
38
получаем, что |
|
|
|
|
. Таким образом, вектор |
|
совпадает с ме- |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
дианой треугольника, выходящей из той же точки, что и векторы |
и . |
||||||||||||||
|
2) Обозначим через |
середину стороны |
. Тогда |
|
|
. По |
|||||||||
|
|
||||||||||||||
правилу вычитания векторов |
|
|
|
|
. Тогда вектор |
||||||||||
|
|
|
(рис. 2.11). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.11. Построение вектора |
|
|
|
(к Примеру 2.4 (2)) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3) Искомый вектор можно представить следующим образом: |
|
|
||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
, то есть искомый вектор противоположен вектору |
|
|
, следова- |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
тельно, совпадает с вектором |
, где |
– середина стороны |
(рис. 2.12). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.12. Построение вектора |
|
(к Примеру 2.4 (3)) |
|||||
|
|||||||
4) Искомый вектор противоположен вектору |
|
, следовательно, сов- |
|||||
|
|||||||
падает с вектором |
, где – середина стороны |
(рис. 2.13). |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.13. Построение вектора |
|
(к Примеру 2.4 (4)) |
|
39