917

Решение. Проекцией данной прямой на данную плоскость является прямая. Эта прямая образуется при пересечении проектирующей плоскости с данной плоскостью. Исходная прямая задана как пересечение двух плоскостей. Поэтому проектирующая плоскость проходит через прямую пересечения этих плоскостей перпендикулярно заданной плоскости.

Обозначим:

–исходная прямая;

–плоскость, на которую прямая проектируется;

–проектирующая плоскость;

итакже перпендикулярны. Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Найд м скалярное произведение векторов

ичерез координаты векторов:

Приравниваем полученное выражение к нулю:

4 12 0.

160

Получили уравнение проектирующей плоскости .

Искомые уравнения проекции запишем в виде системы уравнений

4.5. Переход от уравнения прямой, заданной как пересечение двух плоскостей, к каноническим уравнениям прямой

Пусть прямая задана как пересечение двух плоскостей (рис. 4.5):

0,

0.

Рис. 4.5. Переход от уравнения прямой, заданной как пересечение плоскостей, к каноническим уравнениям прямой

Для составления канонических уравнений прямой необходимо выполнить следующие действия.

1. Найти точку ; ; прямой. Прямая задана как пересечение двух плоскостей. Поэтому любая точка прямой принадлежит одновременно обоим плоскостям. Для нахождения точки прямой нужно задать численное значение одной из координат, подставить его в каждое уравнение системы.

161

В результате получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Решив систему, найд м значения остальных координат.

;; плоскостей, определяющих прямую. Такой вектор можно

Решение. Для составления канонических уравнений прямой нужно знать точку прямой и направляющий вектор прямой. Прямая задана как пересечение двух плоскостей. Поэтому любая точка прямой принадлежит одновременно обоим плоскостям. Зададим численное значение, например, 0, и подставим в каждое уравнение плоскости. Получаем систему уравнений:

дение нормальных векторов плоскостей. Нормальный вектор первой плоско-

162

Полученная формула позволяет находить угол между двумя прямыми через координаты их направляющих векторов.

При нахождении острого угла между прямыми значение косинуса берут положительным. В этом случае формула нахождения угла принимает вид:

.

Решение. Для нахождения угла между двумя прямыми нужно знать координаты их направляющих векторов и . Прямые заданы каноническими уравнениями. Поэтому координаты направляющих векторов находятся в знаменателях дробей. Находим направляющие векторы прямых:

ческими уравнениями. Поэтому координаты направляющих векторов – это числовые множители перед параметром . Находим направляющие векторы

Рис. 4.7. Две параллельные прямые

Векторы коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Получаем:

.

Полученное равенство является условием параллельности двух пря-

мых.

Данные прямые перпендикулярны, если их направляющие векторы ; ; и ; ; перпендикулярны (рис. 4.8).

Рис. 4.8. Две перпендикулярны прямые

166

Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, то есть сумма произведений соответствующих координат векторов равна нулю. Получаем:

.

Полученное равенство является условием перпендикулярности двух прямых.

Пример 4.23. Выяснить, параллельны ли прямые:

7 .

Решение. Прямые параллельны, если координаты их направляющих векторов пропорциональны.

1) Прямые заданы каноническими уравнениями. Поэтому координаты их направляющих векторов находятся в знаменателях дробей. Запишем направляющие векторы прямых:

3; 4; 2 , 6; 8; 4 .

Составляем пропорции из координат векторов:

.

Равенства верные, поэтому прямые параллельны.

2) Прямые заданы каноническими уравнениями. Поэтому координаты их направляющих векторов находятся в знаменателях дробей. Запишем направляющие векторы прямых:

2; 3; 5 , 4; 6; 5 .

Составляем пропорции из координат векторов:

.

Равенства неверные, поэтому прямые не параллельны.

3) Первая прямая задана параметрическими уравнениями. Поэтому координаты е направляющего вектора – это числовые множителями перед параметром . Запишем направляющий вектор первой прямой:

2; 1; 1 .

Вторая прямая задана как пересечение плоскостей. Поэтому е направляющий вектор можно найти как векторное произведение нормальных векторов плоскостей. Запишем направляющий вектор второй прямой:

̅̅

Составляем пропорции из координат векторов:

.

Равенства верные, поэтому прямые параллельны.

167

Ответ: 1) прямые параллельны; 2) прямые не параллельны; 3) прямые параллельны.

Пример 4.24. Выяснить, перпендикулярны ли прямые:

Решение. Прямые перпендикулярны, если сумма произведений соответствующих координат их направляющих векторов равна нулю.

1) Прямые заданы параметрическими уравнениями. Поэтому координаты их направляющих векторов – это числовые множителями перед параметром . Запишем направляющие векторы прямых:

Поэтому прямые перпендикулярны.

2) Прямые заданы параметрическими уравнениями. Поэтому координаты их направляющих векторов – это числовые множители перед параметром . Запишем направляющие векторы прямых:

Поэтому прямые не перпендикулярны.

3) Первая прямая задана каноническими уравнениями. Поэтому координаты е направляющего вектора находятся в знаменателях дробей. Запи-

Вторая прямая задана как пересечение плоскостей. Поэтому е направляющий вектор можно найти как векторное произведение нормальных векторов плоскостей. Запишем направляющий вектор второй прямой:

̅̅

Поэтому прямые не перпендикулярны.

Ответ: 1) прямые перпендикулярны; 2) прямые не перпендикулярны; 3) прямые не перпендикулярны.

168