917

;

;

.

Таким образом, при вычитании двух векторов их соответствующие

координаты вычитают.

Пример 2.14. Заданы два векторы

5;

3; 1

и

6;

4; 7 .

Найти координаты следующих векторов: 1)

; 2)

; 3)

3 ; 4)

;

5) 4

3 .

Решение.

1) Учитывая, что при сложении векторов их соответствующие коорди-

наты складывают, получаем:

5 6;

3

4 ;

1

7

11;

7; 6 ;

2) Учитывая, что при вычитании векторов их соответствующие коор-

динаты вычитают, получаем:

5 6; 3

4 ; 1 7

1; 1; 8 ;

3) Учитывая, что при умножении вектора на число каждая координата

вектора умножается на это число, получаем:

3

3 ∙ 5;

3 ∙

3 ;

3 ∙

1

15; 9; 3 ;

4) Учитывая, что при умножении вектора на число каждая координата

вектора умножается на это число, получаем:

∙ 6;

∙

4 ;

∙ 7

;

; 1 ;

5) Найд м сначала координаты векторов 4

и 3 ,

учитывая, что при

4

4 ∙ 5; 4 ∙

3 ; 4 ∙

1

20; 12;

4 ,

3

3 ∙ 6; 3 ∙

4 ; 3 ∙ 7

18;

12; 21 .

Далее найд м координаты искомого вектора, учитывая, что при вычи-

тании векторов их соответствующие координаты вычитают:

4

3

20

18; 12

12 ;

4

21

2; 0;

25 .

Ответ: 1)

11;

7; 6 ; 2)

1; 1;

8 ; 3)

15; 9; 3 ; 4)

;

; 1

;

5) 2; 0;

25 .

Пример 2.15. Даны точки

6; 4; 1 ,

5; 3; 9 ,

2; 7;

4 ,

3; 2;

8 . Найти координаты вектора

.

Решение.

Предварительно найд м координаты векторов

и

,

5

6 ; 3

4 ; 9 1

1; 7; 10 ,

3

2;

2

7;

8

4

1;

9;

4 .

Далее найд м координаты вектора

, учитывая, что при умножении

∙ 1;

∙ 9 ;

4

; 3;

.

1

; 7

3 ; 10

; 4;

.

Ответ:

; 4;

.

Даны векторы:

; ;

и

;

;

. Если векторы

и

коллинеарны, то вектор

может быть получен из вектора растяжением

его в определ нное число раз. Иначе, вектор

может быть получен из век-

тора умножением его на действительное число

. Можно записать:

,

дая координата вектора умножается на это число, то

,

,

. Отсюда:

.

координаты пропорциональны. Верно и обратное.

Пример 2.16. Определить, коллинеарны ли векторы

4; 6; 2

и

2; 3; 1 .

Решение. Векторы коллинеарны, если их соответствующие коорди-

наты пропорциональны. Составим пропорции из соответствующих коорди-

нат векторов:

. Равенства верные, следовательно векторы кол-

линеарны.

Ответ: векторы коллинеарны.

Пример 2.17. Даны точки

2; 8; 3 ,

1; 5; 4 , 2; 0; 7 ,

9; 6; 2 . Определить, коллинеарны ли векторы

и .

Решение.

Предварительно найд м координаты векторов

и

,

1

2 ; 5

8

;

4

3

1; 13; 7 ,

9

2;

6

0; 2

7

7;

6;

5 .

нат векторов

и :

. Отсюда можно записать равенства:

,

4 и

,

1.

51

Ответ:

4,

1.

Рис. 2.30. Доказательство того, что четыр хугольник

– трапеция

(к Примеру 2.19)

1 3; 2

1 ; 1 2

2; 3; 3 ,

1

1; 1

2;

3

1

2;

1;

2 ,

1

3; 1

5 ; 3 3

4; 6; 6 ,

3 3; 5

1 ; 3 2

0; 4; 1 .

Заметим, что векторы

и

коллинеарны, поскольку их соответ-

ствующие координаты пропорциональны:

. Значит стороны

и

четыр хугольника параллельны. Векторы

и

не коллинеарны,

. Значит стороны

и

четыр хугольника не параллельны.

Рассмотрим вектор

; ;

и совместим его с началом коор-

динат. Конец вектора обозначим точкой

. Провед м через точку

плос-

кости, перпендикулярные

координатным

осям. Точки пересечения

этих

лелепипед, диагональю которого служит вектор

(рис. 2.31).

52

.

Но

| |,

,

,

. Из предыдущего равен-

ства получаем:

| |

или |

|

.

Таким образом:

| |

.

Пример 2.20. Вычислить модуль вектора

5;

1;

3 .

Решение. Для вычисления модуля вектора применяем формулу: | |

. В условиях примера

5,

1,

3. Подстав-

ляем:

| |

5

1

3

√35.

Ответ: √35.

Пример 2.21. Даны точки

5;

1; 2 и

3;

2; 6 . Найти модуль

вектора .

Решение. Предварительно найд м координаты вектора

, учитывая,

3

5 ; 2

1 ; 6 2

2; 1; 4 .

Найд м модуль вектора

:

| |

2

1

4

√21.

Ответ: √21.

Пример 2.22. Даны две координаты вектора :

4,

12.

Определить его третью координату при условии, что | |

13.

Решение. Воспользуемся формулой нахождения

модуля

вектора:

|

|

4,

12,

| |

13.

.

В условиях примера

Подставляем: 13

4

12

. Отсюда

3.

Ответ:

3.

Пример 2.23. Найти орт вектора

6;

2;

3 .

Решение. Для нахождения орта вектора используем формулу

. Запишем иначе:

. Эту формулу можно трактовать следующим

| |

| |

образом: орт вектора – это вектор, полученный из вектора

умножением его

на число

. Учитывая, что при умножении вектора на число каждая коор-

| |

дината вектора умножается на это число, каждую координату вектора

надо

умножить на число

или разделить на число | |. Находим | |:

|

|

|

|

6

2

3

7.

Тогда орт вектора :

;

;

.

| |

Ответ:

;

;

.

7; 3;

6 ,

5; 2;

3 ,

4; 8; 4 ,

Пример 2.24. Даны точки

10; 11;

5 . Проверить, что векторы

и

коллинеарны; установить,

5

7 ; 2 3; 3

6

2; 1; 3 ,

10

4 ; 11 8; 5

4

6; 3; 9 .

|

|

2

1

3

√14,

|

|

6

3

9

√126

3√14.

|

|

Видно, что вектор

длиннее вектора

. Так как

√

3, то

|

|

√

вектор

длиннее вектора

в 3 раза.

Далее выясним, как направлены векторы

и

– в одну или в про-

тивоположные стороны. Заметим, что

3 ∙

, то есть векторы

и

направлены в противоположные стороны.

Ответ: вектор

длиннее вектора

в 3 раза; векторы

и

2.11. Направляющие косинусы вектора

Рассмотрим вектор

; ;

и совместим его с началом коор-

динат. Конец вектора обозначим точкой

. Провед м через точку

плос-

кости, перпендикулярные

координатным

осям. Точки пересечения

этих

лелепипед, диагональю которого служит вектор

.

Угол, который образует вектор с осью

обозначим через , с осью

обозначим через

, с осью

обозначим через (рис. 2.32). Косинусы

этих углов: cos , cos

, cos

называются направляющими косинусами век-

тора .

пр

|

| ∙ cos ,

пр

|

| ∙ cos ,

пр

|

| ∙ cos .

Из этих равенств получаем формулы нахождения направляющих ко-

синусов вектора через координаты вектора и его модуль:

,

,

.

| |

| |

| |

Возводя в квадрат левую и правую части каждого из равенств и сум-

мируя полученные выражения, получаем:

cos

cos

cos

| |

| |

| |

| |

|

|

1.

|

|

Таким образом,

.

При помощи этой формулы можно вычислить любой из углов , , ,

зная два других.

55

Если выразить модуль вектора

через его координаты,

то формулы

нахождения направляющих косинусов вектора принимают вид:

,

,

.

Направляющие косинусы вектора связаны с ортом вектора. Учитывая

формулу нахождения

орта вектора :

и формулы

нахождения

| |

тора являются его направляющие косинусы:

cos

; cos ; cos .

Пример 2.25. Вычислить направляющие косинусы вектора

6;

5; 2 .

Решение. Вычислим модуль вектора

:

|

|

6

5

2

√65.

Тогда направляющие косинусы вектора :

cos

√

,

cos

√

√

,

| |

| |

√

√

cos

√

.

| | √

Ответ: cos

√

,

cos

√

, cos

√

.

Пример 2.26. Может ли вектор составлять с координатными осями

углы

90 ,

150 ,

60 ?

Решение. Косинусы углов

,

, являются направляющими косину-

нусы вектора: cos

cos

cos

1. Подставляем данные примера в

эту формулу:

cos

90 cos

150

cos 60

1.

Получаем:

0

√

1,

1

1.

осями углы

30 ,

45 ?

cos 30

cos 45

cos

1.

Получаем:

√

√

cos

1.

Отсюда cos

, что является противоречивым равенством, по-

Ответ: не может.

Пример 2.28. Вектор составляет с осями

и

углы

120 ,

45 . Какой угол он составляет с осью

?

Решение. Косинусы углов ,

являются направляющими косинусами

вектора: cos

cos

cos

1. Здесь

– угол, составляемый векто-

ром с осью . Подставляем данные примера в эту формулу:

cos

120

cos

cos 45

1.

Получаем:

cos

√

1.

Отсюда cos

, cos

,

60

или

120 .

Ответ: 60

или 120 .

Пример 2.29. Вектор

составляет с осью

угол 60 , а с осью

−

угол 45 . Длина вектора

равна 8. Найти координаты вектора

, если его

первая координата отрицательна.

Решение. Воспользуемся формулами нахождения направляющих ко-

синусов вектора для углов, которые составляет вектор

с осями

и

:

cos

, cos

.

| |

|

|

Выразим отсюда координаты

и

:

| | cos

,

|

| cos .

По условию |

| 8,

60 ,

45 .

Подставляем:

8 cos 60

4,

8 cos 45

4√2.

Далее найд м cos

из формулы cos

cos

cos

1. Так как

по условию первая координата вектора

отрицательна, то cos

0. Полу-

чаем:

cos

1

cos

cos

√1

cos

60

cos 45

1

√

Затем воспользуемся формулой нахождения направляющего косинуса

вектора для угла, который составляет вектор

с осью : cos

. Выра-

| |

зим отсюда координату :

| | cos . Учитывая, что | |

8, cos

, получаем:

8 ∙

4.

Запишем координаты вектора :

4; 4; 4√2 .

Ответ:

4; 4; 4√2 .

сторону;

3) векторы ,̅ ,̅ – единичные, то есть | |̅ | |̅

1 (рис. 2.33).

Рассмотрим произвольный вектор

и совместим его с началом коор-

динат. Конец вектора обозначим точкой

. Провед м через точку плос-

лелепипед, диагональю которого служит вектор

(рис. 2.34).

По правилу сложения векторов:

.

Так как векторы

и ̅коллинеарны, то вектор

может быть по-

лучен растяжением вектора

̅в определ нное число раз, то есть

,̅где

58

– некоторое положительное число. Аналогично,

,̅

, где

, – некоторые положительные числа. Таким образом,

̅

̅

, то есть любой вектор в пространстве может быть выражен через век-

торы ,̅ ,̅

при помощи линейных операций.

Выясним геометрический смысл коэффициентов

, , .

Рассмотрим модуль вектора

:

|

|

| |̅

| |̅

∙ 1

.

С другой стороны, |

|

пр

. Следовательно,

, то есть

коэффициент

равен первой координате вектора .

Аналогично:

| |̅

| |̅

∙ 1

и

пр

.

Следовательно,

, то есть коэффициент

равен второй коорди-

нате координате вектора .

Аналогично:

|

|

∙ 1

и |

|

пр

.

Следовательно,

, то есть коэффициент

равен третьей коорди-

нате вектора

,

Таким образом, вектор можно представить следующим образом:

̅

̅

,

где

,

,

– координаты вектора

, векторы

,̅ ,̅

– орты координатных

осей.

Эту формулу называют разложением вектора по ортам координат-

ных осей. Кратко записывают

; ;

.

Пример 2.30. Записать разложение вектора

6; 4; 9

по ортам

координатных осей.

Решение. Воспользуемся формулой разложения вектора по ортам ко-

ординатных осей:

̅

̅

. По условию заданы координаты век-

тора

:

6,

4,

9. Подставляем:

6 ̅ 4 ̅ 9 .

Ответ:

6 ̅ 4 ̅ 9 .

2.13. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением вектора

на вектор

называется число,

| | ∙

∙

,

где

– угол между векторами

и .

Обозначение:

, ∙ ,

, .

Пример 2.31.

Найти скалярное произведение векторов и , если

| |

5,

2, угол между векторами

.