917

.

|

|∙

Таким образом, косинус угла между векторами равен отношению ска-

на ось вектора

: пр

∙ cos

, где

– угол наклона вектора

к оси

вектора

. С уч том этого запишем скалярное произведение векторов

и

:

| | ∙

∙ cos

| | ∙

∙ cos

|

|пр .

Таким образом:

| |пр .

Аналогично, рассмотрим проекцию вектора

на ось

вектора

:

пр

| | ∙ cos

, где

– угол наклона вектора

к оси вектора

. С уч том

этого запишем скалярное произведение векторов

и

:

| | ∙

∙ cos

∙ |

| ∙ cos

пр .

Из формулы

| |пр

выразим проекцию вектора

на ось век-

тора

:

пр

.

| |

Из формулы

пр

выразим проекцию вектора

на ось век-

тора

:

пр

.

| | ∙

∙ cos ,

∙ | | ∙ cos .

Так как | | ∙

∙ | |, то

.

2.

, где – действительное число. Свойство сочета-

пр

∙ пр

пр

.

Можно также показать, что

, где и – дей-

.

3.

с

с. Свойство распределительности относи-

с

| |пр

̅ | | пр

пр ̅ | |пр

|

|пр

̅

с.

Пример 2.32. Раскрыть скобки и упростить выражение:

5

3

2 ̅

̅.

Решение. Воспользуемся алгебраическими свойствами скалярного

произведения. Получаем:

5

3 2 ̅ ̅

5

3 2 ̅ 5

3

̅

2 ̅ 5

3

̅ 5

3

2 ̅ 5

2 ̅ 3

̅ 5

̅

3

10 ̅ 6 ̅ 5

̅

3

̅

10 ̅ 6 ̅ 5

̅

̅

3 .

Заметим, что умножение векторных двучленов выполняется как в

обычной алгебре.

Ответ: 10

̅ 6

̅ 5

̅

̅

3 .

Геометрические свойства скалярного произведения векторов

1. Если угол между векторами

и

острый, то скалярное произ-

ведение этих векторов положительно:

0.

Доказательство. Если

– острый угол, то cos

0 и

|

| ∙

∙ cos

0.

2. Если угол между векторами

и

тупой, то скалярное произве-

дение этих векторов отрицательно:

0.

Доказательство. Если

– тупой угол, то cos

0 и

|

| ∙

∙ cos

0.

3. Если векторы

и перпендикулярны, то их скалярное произ-

ведение равно нулю:

0.

Доказательство.

Если

и

перпендикулярны, то cos

0 и

|

| ∙

∙ cos

0.

61

4.

Если скалярное произведение двух векторов

и равно нулю,

то векторы и перпендикулярны.

Доказательство. Если один из векторов

и

нулевой, то |

| ∙

∙ cos

0 и его можно считать перпендикулярным другому век-

тору. Если среди векторов

и нет нулевых, то из равенства | | ∙

∙

cos

0 следует, что cos

0 и отсюда

, то есть векторы пер-

рату его длины:

|

| .

Доказательство.

| | ∙ | | ∙ cos 0

| | ∙ |

| ∙ 1

| | .

Замечание 1. Скалярное произведение

называется скалярным

квадратом вектора

и обозначается символом .

Можно записать:

. В частности:

̅

| |̅

1, ̅ | |̅

1,

| |̅

1.

Замечание 2. Из равенства

|

| выразим модуль век-

тора: |

|

√ , то есть модуль вектора равен квадратному корню из

скалярного квадрата вектора.

Пример 2.33. Векторы

и

образуют угол

; зная, что | | 3,

4, вычислить: 1)

; 2)

; 3)

; 4)

; 5)

;

6) 3

2

2

; 7)

3

2 .

Решение.

1)

Воспользуемся определением скалярного произведения. Полу-

чаем:

| | ∙

∙ cos

3 ∙ 4 ∙ cos

12 ∙

6.

2)

Воспользуемся геометрическим свойством скалярного произведе-

ния. Получаем:

| |

3

9.

3)

Воспользуемся геометрическим свойством скалярного произведе-

ния. Получаем:

4

16.

4)

Воспользуемся алгебраическими и геометрическими свойствами

скалярного произведения. Получаем:

|

|

| |

2

3

2 ∙

6

4

13.

Заметим, что квадрат суммы двух векторов раскрывается по формуле

сокращ нного умножения из обычной алгебры.

5)

Воспользуемся алгебраическими и геометрическими свойствами

|

|

| |

| | 2

3

2 ∙ 6 4

37.

62

3

2

2

3

2

3

2

2

3

2

2

3

2

3

2

2

3

2

2

3

2

6

4

3| |

2

6

4

3| |

4

4

3 ∙ 3

4 ∙ 6

4 ∙ 4

61.

скалярного произведения. Получаем:

3

2

3

2

3

2

3

2

3

3

2

2

3

3

2

2

3

2

3

3

3

2

2

3

2

2

9

6

6

4

9| |

6

6

4

9| |

12

4

9 ∙ 3

12 ∙ 6

4 ∙ 4

73.

Заметим, что квадрат суммы двух векторов раскрывается по формуле

сокращ нного умножения из обычной алгебры.

Ответ: 1)

6; 2) 9; 3) 16; 4) 13; 5) 37; 6) 61; 7) 73.

Пример 2.34. Векторы

и взаимно перпендикулярны; вектор ̅об-

разует с ними углы, равные

; зная, что |

|

3,

5, | ̅|

8, вычис-

лить: 1) 3

2

3 ̅; 2)

̅ ; 3)

2

3 ̅ .

определением скалярного произведения. Получаем:

1) 3

2

3 ̅ 3

9 ̅ 2

6 ̅ 3 ∙ 0

9

∙ |

| ∙ |

̅∙|

cos

2

6 ∙

∙ | ̅∙| cos

9 ∙ 3 ∙ 8 ∙

2 ∙ 25

6

∙ 5 ∙ 8 ∙

62.

̅ | ̅|

2)

̅

̅

2

| |

2

2 ̅ 2 ̅ | ̅|

3

2 ∙ 0 5

2

∙ |

| ∙ |

̅∙|

cos

2 ∙

∙ | ̅∙| cos

8

9

25 2 ∙ 3 ∙ 8 ∙

2

∙ 5 ∙ 8 ∙

64

162.

3)

2

3 ̅

2

3 ̅

2

6

2 ̅

9 ∙ | ̅|

| |

4

4 ∙

6 ̅ 12 ̅ 9 ∙ | ̅|

3

4 ∙ 0

4

∙ 5

6 ∙ | | ∙ |

̅| ∙ cos

12 ∙

∙ |

̅| ∙ cos

9 ∙ 8

109

6

∙ 3 ∙ 8 ∙

12 ∙ 5 ∙ 8 ∙

576

373.

63

Ответ: 1)

62; 2) 162; 3) 373.

Пример 2.35. Даны единичные векторы , , ̅,

удовлетворяющие

условию

̅ 0. Вычислить

̅ ̅.

Решение. Так как векторы , ,

̅– единичные, то их модули равны 1:

| |

| ̅|

1. Найд м скалярный квадрат равенства

̅ 0. По-

лучаем:

2

̅

̅

0,

2

2 ̅

2

̅

| ̅|

0,

| |

2

2 ̅ 2 ̅ | ̅|

0,

2

̅

̅

|

|

| ̅|

,

2

̅

̅

1

1

1

,

2

̅

̅

3,

Ответ:

.

̅попарно образуют друг с другом углы,

Пример 2.36. Векторы

,

,

каждый из которых равен 60 . Зная, что |

|

4,

2, | ̅|

6, определить

модуль вектора

̅

̅.

Решение. Найд м скалярный квадрат вектора ̅

̅.

Получаем:

̅

̅

̅

2

̅

̅

2

2

̅

2 ̅

|

̅|

| |

2 ∙ |

| ∙

∙ cos 60

2 ∙ | | ∙ |

̅∙| cos 60

2 ∙

∙ |

̅| ∙ cos 60

|

̅|

4

2 ∙ 4 ∙ 2 ∙

2

2 ∙ 4 ∙ 6 ∙

2 ∙ 2 ∙ 6 ∙

6

100.

|

|

Отсюда

̅

√100

10.

̅

Ответ: 10.

Пример 2.37. Векторы

и

образуют угол

̅

; зная, что |

|

√3,

1, вычислить угол

между векторами

и

.

Решение. Воспользуемся формулой нахождения косинуса угла между

векторами. Получаем: cos

̅

. Найд м скалярное произведение векто-

| ̅|∙| |

ров ̅и :

|

|

̅

√3

1

2.

Далее найд м скалярный квадрат векторов

̅и

:

̅

2

|

|

2 ∙ | | ∙

∙ cos

2 ∙ √

∙ 1 ∙ √

√3

3

1

7;

64

2

| |

2 ∙ | | ∙

∙ cos

2 ∙ √

∙ 1 ∙ √

√3

3

1

1.

|

|

|

|

Отсюда:

̅

√7,

√1

1.

̅

Тогда косинус угла между векторами

̅и

равен:

cos

̅

√

и угол между векторами

̅и равен:

|

|

|

|

̅∙

√ ∙

√

.

Ответ:

2√

7

.

7

Выражение скалярного произведения векторов через коорди-

наты перемножаемых векторов

Пусть векторы

и

заданы своими координатами:

; ;

и

;

;

. Запишем разложение векторов

и по ортам координат-

ных осей:

̅

̅

,

̅

̅

и найд м их скалярное

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅̅

̅

̅̅

̅

̅

̅

̅

| |̅

∙ 0

∙ 0

∙ 0

| |̅

∙ 0

∙ 0

∙ 0

∙ 1

∙ 1

∙ 1

.

Получена формула, позволяющая находить скалярное произведение

двух векторов по известным координатам этих векторов:

.

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно сумме

произведений соответствующих координат векторов.

Пример 2.38. Найти скалярное произведение векторов

4; 6;

3 и

8; 2;

9 .

Решение. Воспользуемся формулой нахождения скалярного произве-

дения векторов через их координаты:

. В условиях

примера

4,

8,

6,

2,

3,

9. Подставляем:

4 ∙ 8

6 ∙ 2

3 ∙ 9

47.

Ответ: 47.

Пример 2.39. Даны точки

8;

4; 7 ,

3; 1;

5 ,

6; 6; 9 ,

4; 3; 0 . Найти скалярное произведение векторов

и .

Решение. Предварительно найд м координаты векторов

и

,

3

8 ;

1

4 ; 5 7

5; 3; 12 ,

4

6 ; 3

6; 0

9

10; 3;

9 .

65

торов через их координаты:

. Получаем:

∙

5 ∙ 10 3 ∙

3

12 ∙

9

149.

Ответ: 149.

Пример 2.40. Даны векторы

4; 2;

4 ,

6; 3; 2 . Найти:

1) ; 2)

; 3) 2

3

2 .

| |

4 2

4

36.

6

3

2

49.

3) Найд м сначала координаты векторов 2 3 и

2 , используя

2

3

2 ∙ 4 3 ∙ 6; 2 ∙ 2 3 ∙

3 ; 2 ∙ 4

3 ∙ 2

10; 13; 14 ;

2

4

2 ∙ 6; 2

2 ∙ 3 ;

4

2 ∙ 2

16;

4; 0 .

Далее воспользуемся формулой нахождения скалярного произведения

векторов через их координаты:

. Получаем:

2

3

2

10 ∙ 16 13 ∙

4

14

∙ 0

212.

Ответ: 1) 36; 2) 49;

212.

Пример 2.41. Даны

точки

1; 3;

7 ,

2;

1; 5 ,

0; 1; 5 .

Найти: 1)

; 2)

; 3) 2

2

.

Решение.

1) Предварительно найд м координаты вектора

, учитывая, что при

| |

3

4

12

169.

| |

1

2

2

9.

66

0 2; 1

1 ; 5 5

2; 2;

10 .

Найд м также координаты векторов

и

, учитывая, что вектор

противоположен вектору

и вектор

противоположен вектору :

2;

2; 10 ,

3; 4; 12 .

Далее найд м координаты векторов 2

и 2

, используя

2

2 ∙ 3

2; 2 ∙

4

2 ; 2 ∙ 12

10

4;

6; 14 ;

2

2 ∙ 2

3 ; 2 ∙ 2 4; 2 ∙ 10

12

7; 8;

32 .

Затем воспользуемся формулой нахождения скалярного произведения

векторов через их координаты:

. Получаем:

2

2

4 ∙

7

6

∙ 8

14 ∙

32

524.

Ответ: 1) 169; 2) 9; 3)

524.

Пример 2.42. Показать, что векторы

2;

6; 1 и

5; 3;

8 перпендикулярны.

Решение. Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произве-

дение равно нулю. Найд м скалярное произведение векторов

и

через их

координаты:

2 ∙ 5

6 ∙

3

1 ∙

8

0.

Пример 2.43. Определить, при каком значении

векторы

̅

3 ̅ 2 и

̅ 2 ̅

взаимно перпендикулярны.

Решение. Векторы

и заданы как разложение по ортам координат-

ных осей.

Запишем координаты векторов:

;

3; 2 ,

1; 2;

.

Найд м скалярное произведение векторов

и

через их координаты:

∙ 1

3

∙ 2 2 ∙

6.

Приравниваем полученное выражение к нулю:

6

0. Отсюда:

6.

Ответ: 6.

Пример 2.44. Найти угол между векторами

2; 4; 4

и

3; 2; 6 .

векторами: cos

. Найд м скалярное произведение векторов и

| |∙|

|

через их координаты:

2 ∙ 3

4 ∙ 2 4 ∙ 6 10.

Далее найд м модули векторов и

через их координаты:

| |

2

4

4

6,

3

2

6

7.

67

равен 90 .

Ответ: 90 .

Пример 2.47. Вектор ̅, перпендикулярный к векторам

3 ̅ 2 ̅

2

и

18 ̅ 22 ̅ 5 , образует с осью

тупой угол. Найти его коор-

динаты, зная, что | ̅| 14.

Решение. Обозначим координаты вектора

̅через , ,

. Запишем:

̅

; ;

. Так как по условию вектор ̅перпендикулярен векторам и ,

то скалярное произведение вектора ̅с векторами

и равно нулю:

Запишем скалярное произведение через координаты векторов:

3

2

2

0, 18

22

5

0.

По условию | ̅|

14.

Запишем

модуль

вектора

̅

через его координаты: | ̅|

.

Получаем уравнение:

14.

Возвед м в квадрат:

196.

Полученные уравнения объединим в систему:

3

2

2

0,

18

22

5

0,

196.

Решим систему.

Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на

6. Полу-

чаем:

34

17

0.

Отсюда

2 .

Подставляем полученное выражение в первое уравнение:

3

2

2 ∙ 2

0, 3

2

0,

.

Подставляем полученные выражения для

и

в третье уравнение:

2

196,

4

196, 49

196 ∙ 9,

∙

∙

,

6.

Так как по условию вектор ̅образует с осью

тупой угол, то

0. Поэтому бер м

6. Находим остальные координаты:

∙

6

4,

2 ∙

6

12.

Запишем координаты вектора

̅:

̅

4;

6; 12 .

Ответ:

4;

6; 12 .

Пример 2.48. В треугольнике

:

,

̅. Выразить вектор

, направленный по высоте

, через векторы

и

̅.

69