917

√74.

Ответ:

√74.

1.5. Цилиндрические координаты

Пусть – произвольная точка пространства,

– проекция точки

на координатную плоскость

,

– проекция точки

на ось

. Цилин-

дрическими координатами точки

называют числа ,

, , где

и – по-

лярные координаты точки

в координатной плоскости

( – полюс,

– полярная ось),

– величина отрезка

. Точку

с цилиндрическими ко-

ординатами

,

,

обозначают:

; ;

. При постоянном

и меняю-

щихся и

точка

расположена на цилиндре, прямолинейные образующие

Декартовы прямоугольные координаты , ,

связаны с цилиндриче-

скими координатами

,

, следующими соотношениями:

cos

,

sin

,

,

0

∞, 0

2 ,

∞

∞.

Пример 1.12.

В

прямоугольной системе

координат дана точка

полюсом.

Решение.

Найд м полярный радиус точки

√3;

1 :

√3

1

2.

Найд м полярный угол точки

√3;

1 , учитывая, что она распо-

ложена в третьей четверти:

√

.

√

20

Запишем полярные координаты точки:

2;

.

Тогда цилиндрические координаты точки:

2;

; 4 .

Ответ:

2;

; 4 .

Пример

1.13.

Заданы цилиндрические

координаты точки:

cos

8 cos

4,

sin

8 sin

4√3,

5.

Прямоугольные координаты точки:

4; 4√3;

5 .

Ответ:

4; 4√3;

5 .

1.6. Сферические координаты

Пусть – произвольная точка пространства,

– проекция точки

на координатную плоскость

.

Сферическими координатами точки

называют числа

, ,

, где – расстояние от начала координат до точки

;

– угол, на который надо повернуть против часовой стрелки ось

до сов-

мещения с отрезком

; – угол, который образует направленный отрезок

с осью . Угол

называют широтой, угол – долготой. Точку

со

сферическими координатами ,

,

обозначают:

; ; . При постоян-

ном и меняющихся

и

точка

расположена на сфере. Отсюда произо-

шло название "сферические координаты" (рис. 1.16).

Рис. 1.16. Сферические координаты

Декартовы прямоугольные координаты

, , связаны со сфериче-

скими координатами

, , следующими соотношениями:

sin

cos

,

sin

sin

,

cos ,

0

∞, 0

2 , 0

.

21

1.7. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве в

прикладных задачах

Задача 1.1. В точках

; ;

и

; ;

помещены массы

и

соответственно. Найти центр тяжести этой системы масс.

Указание. Из механики известно, что центр тяжести системы двух

масс

и

, сосредоточенных в точках

и

, делит отрезок

в

отношении

.

; ;

Решение. Пусть

– искомый центр тяжести. Применяя фор-

;

;

.

Ответ:

,

,

.

Задача 1.2. В точках

6; 2; 7 и

1; 5; 4 помещены грузы в

Решение. Пусть

; ; – искомый центр тяжести. Воспользовав-

шись результатом Задачи 1.1, получаем:

∙

∙

;

∙

∙

;

∙

∙

.

;

;

Получаем следующий центр тяжести:

.

Ответ:

;

;

.

; ; ,

; ;

; ;

Задача 1.3. В точках

и

по-

мещены массы

,

и

соответственно. Найти центр тяжести этой си-

Решение. Пусть

; ;

–центр тяжести системы масс, располо-

женных в точках

и

. Используя результат Задачи 1.1, запишем коорди-

наты точки

:

,

,

. Пусть

; ; – искомый центр тяжести. Найд м координаты точки

как центра

тяжести системы масс, расположенных в точках

и . Получаем:

1.12.

6; 7;

2 ,

3;

4;

8 ,

1;

3;

6 ,

4; 5; 9 ,

6; 0; 2 ,

2; 0; 0 .

1.13.

4; 8;

1 ,

3; 5; 9 ,

2; 4; 7 ,

8;

3;

5 ,

0;

6; 3 ,

0; 0; 4 .

1.14.

5;

7;

9 ,

2; 4; 5 ,

6;

5;

1 ,

9; 2; 7 ,

3; 0;

4 ,

0; 5; 0 .

1.15.

3; 8; 6 ,

3;

5; 7 ,

2;

4; 9 ,

4;

6;

8 ,

5; 6; 0 ,

0; 0;

4 .

1.16.

2; 9; 5 ,

4;

8;

6 ,

5; 3; 7 ,

3;

2;

6 ,

0;

3;

4 ,

2; 0; 0 .

1.17.

5;

3; 4 ,

8;

2;

5 ,

9;

4;

6 ,

7; 6; 2 ,

5;

4; 0 ,

0; 3; 0 .

1.18.

3; 5; 4 ,

2; 7; 8 ,

4;

6;

3 ,

6;

9;

2 ,

1; 0;

5 ,

0; 0; 3 .

1.19.

4; 8; 3 ,

5;

9; 2 ,

6;

3; 8 ,

6;

4;

7 ,

2; 0;

5 ,

0; 4; 0 .

1.20.

6;

5; 9 ,

2;

3;

4 ,

5;

7; 4 ,

5; 8; 3 ,

0; 1;

6 ,

3; 0; 0 .

1.21.

5;

3; 8 ,

1; 6; 7 ,

9;

4; 4 ,

4;

3;

5 ,

7; 0; 5 ,

0; 0; 2 .

1.22.

3; 4; 9 ,

2;

7; 8 ,

4; 5; 7 ,

6;

4;

2 ,

6;

4; 0 ,

0;

5; 0 .

1.23.

5; 6; 2 ,

1; 9;

3 ,

3;

4;

6 ,

2;

8; 5 ,

0;

3; 7 ,

0; 0;

4 .

1.24.

2;

5;

8 ,

3; 9; 4 ,

5; 2; 6 ,

3; 7; 3 ,

0; 5; 2 ,

8; 0; 0 .

1.25.

6; 3; 7 ,

5;

4;

2 ,

2; 9;

5 ,

1;

4; 8 ,

0;

6; 7 ,

2; 0; 0 .

1.26.

2; 6; 5 ,

3;

8;

6 ,

2;

7; 3 ,

4;

9; 3 ,

0; 4;

8 ,

0; 0; 4 .

1.27.

8; 3; 7 ,

5; 9; 6 ,

4;

6; 4 ,

5;

7;

9 ,

3; 0;

6 ,

4; 0; 0 .

1.28.

6; 5; 1 ,

4;

2; 7 ,

8;

9;

5 ,

3;

6; 8 ,

7; 0;

3 ,

6; 0; 0 .

1.29.

5;

3; 8 ,

4;

9; 2 ,

7; 6; 2 ,

8;

4;

9 ,

0;

2;

5 ,

0; 3; 0 .

1.30.

9;

4; 7 ,

5;

3;

8 ,

4;

6;

3 ,

6; 3; 9 ,

3; 7; 0 ,

0; 0; 4 .

1.31.

3; 5; 6 ,

6; 7; 9 ,

4;

8;

5 ,

2;

6;

8 ,

0;

2; 1 ,

0; 3; 0 .

1.32.

5; 6;

9 ,

4;

8;

3 ,

3;

5; 4 ,

9; 5; 2 ,

0; 6; 4 ,

8; 0; 0 .

1.33.

3;

2; 5 ,

9;

7; 2 ,

4;

3;

6 ,

5; 5; 8 ,

2; 0; 7 ,

0; 4; 0 .

1.34.

4; 7; 3 ,

8; 5; 9 ,

1;

4; 6 ,

2;

6;

5 ,

3; 4; 0 ,

7; 0; 0 .

1.35.

9;

5; 4 ,

2;

3; 6 , 7; 6; 3 ,

4;

7;

2 ,

0; 3;

1 ,

0; 4; 0 .

1.36.

7;

8;

5 ,

3;

2; 6 ,

2; 5; 4 ,

6;

3; 4 ,

5; 0;

2 ,

0; 0; 2 .

2. Расстояние между двумя точками в пространстве

Задание 2. Найти расстояние между точками

и .

2.1.

2; 1;

3 ,

4; 2;

5 .

2.2.

7;

8; 1 ,

3;

4; 2 .

2.3.

4;

6; 7 ,

5; 1; 8 .

2.4.

6; 2;

3 ,

1; 8;

4 .

2.5.

5; 2;

3 ,

4; 6;

2 .

2.6.

3; 7; 4 ,

2; 6;

3 .

2.7.

3; 2; 9 ,

7; 3; 6 .

2.8.

2;

6;

5 ,

4;

3; 1 .

2.9.

6; 7;

1 ,

4; 3;

2 .

2.10.

3;

1;

4 ,

5; 3; 0 .

2.11.

5; 2;

3

,

9;

3;

2 .

2.12.

4; 7; 9 ,

3; 6; 8 .

2.13.

1;

4; 6 ,

2;

3; 9 .

2.14.

6;

3; 2 ,

8; 2; 1 .

2.15.

7;

2;

1 ,

4;

3; 0 .

2.16.

3;

1; 2 ,

5;

4;

2 .

2.17.

8; 6;

3 ,

8; 3; 4 .

2.18.

2;

3;

7 ,

4;

6; 1 .

2.19.

4; 5; 3 ,

1;

2; 6 .

2.20.

6; 5;

1 ,

8;

2; 3 .

2.21.

8;

3; 6 ,

5;

2;

1 .

2.22.

0;

5; 6 ,

3;

6; 7 .

2.23.

2;

6; 8 ,

3;

2; 7 .

2.24.

1;

5; 7 ,

2; 3; 5 .

2.25.

4;

7;

1 ,

6;

5; 3 .

2.26.

5; 3;

8 ,

1;

2;

6 .

2.27.

7; 2;

4 ,

9;

3; 1 .

2.28.

4;

2; 3 ,

6; 1; 7 .

2.29.

8;

3;

4 ,

6;

1;

3 .

2.30.

5;

4;

1 ,

6; 2; 0 .

2.31.

4;

6;

1 ,

1;

2; 3 .

2.32.

2;

3; 0 ,

6;

1;

4 .

2.33.

5;

3;

7 ,

7; 2;

5 .

2.34.

9;

2; 6 ,

5;

3;

1 .

2.35.

3;

4; 9 ,

5; 2; 7 .

2.36.

4;

6; 3 ,

2; 0; 1 .

27

3. Середина отрезка в пространстве

Задание 3. Даны точки

и . Найти координаты середины отрезка

.

3.1.

4;

8; 5 ,

1; 6;

7 .

3.2.

9; 3;

2 ,

7;

3; 5 .

3.3.

6;

2; 7 ,

8;

6;

4 .

3.4.

8; 1;

5 ,

1; 6;

7 .

3.5.

5;

9;

1 ,

6;

8; 3 .

3.6.

7; 4; 6 ,

8; 9;

2 .

3.7.

2; 3;

5 ,

1; 6; 9 .

3.8.

4;

8; 7 ,

9;

2;

4 .

3.9.

6; 9;

1 ,

3; 5; 6 .

3.10.

2;

4; 7 ,

3; 8;

3 .

3.11.

7;

1; 0 ,

4;

8; 2 .

3.12.

8;

3; 9 ,

9; 5;

3 .

3.13.

5;

7;

4 ,

2;

8; 5 .

3.14.

1;

6; 2 ,

3;

7;

4 .

3.15.

5; 8;

1

,

7;

3; 1 .

3.16.

3;

4; 9 ,

6; 7;

2 .

3.17.

9;

4; 2 ,

7; 3;

5 .

3.18.

6; 2;

7

,

8;

7; 6 .

3.19.

4; 8; 1 ,

2; 3; 7 .

3.20.

5; 0;

6

,

9;

4;

5 .

3.21.

7;

3; 2 ,

4; 8; 6 .

3.22.

3; 9;

1

,

7;

2;

6 .

3.23.

6;

4;

8 ,

3;

5; 3 .

3.24.

1;

6;

3 ,

5; 2;

2 .

3.25.

5;

9; 8 ,

9;

5; 3 .

3.26.

4;

7; 1 ,

2; 6; 4 .

3.27.

7;

1; 9 ,

8; 2;

5 .

3.28.

3; 4;

8 ,

6;

7; 0 .

3.29.

2; 5;

1

,

7;

8;

6 .

3.30.

5; 2;

9 ,

2;

4; 7 .

3.31.

6;

8; 4 ,

9;

5;

9 .

3.32.

3; 2; 7 ,

5;

8; 0 .

3.33.

8;

6;

1 ,

9; 0;

1 .

3.34.

7;

2;

4 ,

2; 3; 5 .

3.35.

1;

8; 9 ,

5;

3;

2 .

3.36.

9; 7;

2 ,

4;

6; 1 .

Задание 4. Даны две точки

и

. Найти координаты точки , ко-

торая делит отрезок

в отношении .

4.1.

6; 1;

3 ,

4;

8; 5 ,

.

4.2.

2;

6;

7 ,

5;

3; 9 ,

.

4.3.

5; 8;

4 ,

7;

2;

6 ,

.

4.4.

1;

2; 9 ,

8; 2;

5 ,

.

4.5.

7; 3;

5 ,

4;

6; 1 ,

.

4.6.

6;

5;

8 ,

7; 4;

7 ,

.

4.7.

8; 3;

7 ,

2;

5;

3 ,

.

4.8.

2;

5; 9 ,

4;

6; 8 ,

.

4.9.

4;

6; 3 ,

2;

1; 5 ,

.

4.10.

3; 4;

5

,

6;

7;

9

,

3 .

4.11.

8;

1; 3 ,

5; 4;

6 ,

.

4.12.

2; 7;

1 ,

6;

3; 2 ,

.

4.13.

5; 8;

1

,

9;

2;

3

,

.

4.14.

0;

3; 4 ,

2;

5;

7

,

.

4.15.

2; 4;

5 ,

6;

8;

9

,

.

4.16.

3;

6; 8 ,

9; 1;

1

,

.

4.17.

4; 0; 3 ,

1;

5; 6 ,

.

4.18.

2;

8; 1 ,

5; 4;

3

,

.

4.19.

3; 4;

1 ,

2; 0; 2 ,

.

4.20.

2;

7; 5 ,

4; 6;

2

,

.

4.21.

5;

4; 0 ,

7; 3;

2

,

.

4.22.

6; 1;

2 ,

3; 5;

9

,

2.

4.23.

2; 8;

1 ,

5;

4; 6 ,

.

4.24.

3;

5;

8 ,

1; 4;

1 ,

.

4.25.

4; 1; 2 ,

9; 3;

4

,

.

4.26.

3; 1;

4 ,

5;

6;

1 ,

.

4.27.

2;

3;

1 ,

4;

1; 7 ,

.

4.28.

8; 1; 2 ,

6;

3;

1

,

.

4.29.

1;

2; 9 ,

8; 2;

5

,

.

4.30.

3; 1;

7 ,

4; 5;

6

,

.

29