917

Решение. Плоскость, проходящая через ось

, зада тся уравнением

0.

Так как

по

условию

плоскость

проходит через

точку

1; 4;

3 , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению плоско-

сти. Подставляя координаты точки в уравнение плоскости, получаем:

∙ 1

∙ 3

0. Отсюда

3

. Подставляя полученное выражение в уравне-

ние

0, получаем:

3

0. Отсюда 3

0. Это и есть

искомое уравнение плоскости.

Ответ: 3

0.

Пример 3.4. Составить уравнение плоскости, которая проходит через

точки

7; 2;

3 и

5; 6;

4 параллельно оси .

Решение. Плоскость, проходящая параллельно оси

, зада тся урав-

нением

0. Так как по условию плоскость проходит через

точки

7; 2;

3 и

5; 6;

4 , то координаты этих точек удовлетворяют

получаем систему уравнений: 2

3

0,

6

4

0.

Решаем систему. Вычитая из второго уравнения первое уравнение, по-

лучаем:

4

0,

4

. Подставим полученное выражение, например,

в первое уравнение системы: 2

12

0. Отсюда

10 .

Подставляя выражения

4 и

10

в уравнение

0, получаем:

4

10

0. Отсюда:

4

10 0.

Это и

есть искомое уравнение плоскости.

Ответ:

4

10

0.

Пример 3.5. Составить уравнение плоскости, которая проходит через

точку

3; 7; 2 и имеет нормальный вектор

5;

2; 4 .

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через

данную точку перпендикулярно данному вектору:

0,

где

,

, С – координаты нормального вектора,

,

,

– координаты точки

плоскости.

Подставляем числовые данные:

5

3

2

7

4

2

0.

Преобразуем:

5

3

2

7

4

2

0,

5

2

4

7 0.

Это и есть искомое уравнение плоскости.

Ответ: 5

2

4

7

0.

Пример 3.6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

6;

5; 3 параллельно векторам

3; 3; 2

и

2; 4; 1 .

Решение. Обозначим искомую плоскость через

, обозначим нор-

мальный вектор плоскости через

(рис. 3.14).

Так как плоскость параллельна векторам

и

, то нормальный век-

тор

плоскости перпендикулярен этим векторам.

Поэтому вектор

можно

найти как векторное произведение векторов и

. Используя формулу век-

̅

̅

3

3

2

11 ̅ 7 ̅ 6 .

2

4

1

Таким образом, нормальный вектор плоскости имеет следующие ко-

ординаты:

11; 7; 6 .

Далее воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через дан-

ную точку перпендикулярно данному вектору:

0,

где ,

, С – координаты нормального вектора, , ,

– координаты точки

плоскости.

Подставляем числовые данные:

11

6

7

5

6

3

0.

Преобразуем:

11

6

7

5

6

3

0,

11

7

6

49

0.

Это и есть искомое уравнение плоскости.

Ответ: 11

7

6

49

0.

Пример 3.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

3;

2; 4

и

1;

5; 6

параллельно вектору

2; 0; 3 .

Решение. Обозначим искомую плоскость через

, обозначим нор-

Рис. 3.15. Плоскость, проходящая через точки

и

параллельно вектору (к Примеру 3.7)

115

Так как векторы

и

лежат в плоскости , а вектор парал-

лелен этой плоскости, то векторы

,

, компланарны. Если векторы

чаем:

3;

2;

4 ,

4;

3; 2 .

Используя формулу смешанного произведения векторов черех коор-

динаты этих векторов, получаем:

3

2

4

4

3

2 .

2

0

3

Раскрывая определитель разложением по первой строке, получаем:

9

3

8

2

6

4

0.

Преобразуем:

9

8

6

67 0.

Это и есть искомое уравнение плоскости.

Ответ: 9

8

6

67

0.

Пример 3.8. Составить уравнение плоскости, которая проходит через

точку

6; 3;

8

параллельно плоскости 4

2

5 0.

Решение. Обозначим искомую плоскость через

, обозначим данную

Рис. 3.16. Плоскость, проходящая через точку

параллельно плоскости (к Примеру 3.8)

Так как искомая плоскость

параллельна данной плоскости

, то

нормальный вектор плоскости

коллинеарен нормальному вектору плос-

кости . Поэтому в качестве нормального вектора плоскости

можно

взять нормальный вектор

плоскости .

Плоскость

задана общим уравнением, поэтому в качестве коорди-

нат е нормального вектора

можно взять коэффициенты при переменных

этого уравнения:

4; 2;

1 .

0,

где ,

, С – координаты нормального вектора,

, ,

– координаты точки

плоскости.

Подставляем числовые данные:

4

6

2

3

8

0.

Преобразуем:

4

6

2

3

8

0,

4

2

10

0.

Это и есть искомое уравнение плоскости.

Ответ: 4

2

10 0.

Пример 3.9. Составить уравнение плоскости, которая проходит через

точку

2; 1; 3 перпендикулярно к двум плоскостям 3

4

2

0 и 5

5

3

8

0.

Решение. Обозначим искомую плоскость через

, обозначим две дан-

ные плоскости через

и , обозначим нормальный вектор искомой плос-

перпендикулярно плоскостям и (к Примеру 3.9)

Так как плоскость

перпендикулярна плоскостям и , то нормаль-

ный вектор

плоскости

перпендикулярен нормальным векторам

и

плоскостей

и

. Поэтому вектор

можно найти как векторное произве-

дение векторов

и . Используя формулу векторного произведения векто-

ров через координаты этих векторов, получаем:

̅

̅

3

4

1

17 ̅ 14 ̅ 5 .

5

5

3

Таким образом, нормальный вектор плоскости имеет следующие ко-

ординаты:

17; 14; 5 .

Подставляем числовые данные:

17

2

14

1

5

3

0.

Преобразуем:

17

2

14

1

5

3

0,

17

14

5

5

0.

Это и есть искомое уравнение плоскости.

Ответ: 17

14

5

5

0.

3.3. Уравнение плоскости в отрезках

Рассмотрим общее уравнение плоскости

0, где

0 и

0. Выполним преобразования.

Перенес м слагаемое

в правую часть:

.

Разделим уравнение на –

0

1.

–

–

–

Обозначим

через ,

обозначим через

,

обозначим через .

Уравнение принимает вид:

.

Полученное уравнение называется уравнением плоскости в отрезках.

Выясним геометрический смысл величин ,

и

. Возьм м

0.

Получаем:

1.

Отсюда

. Плоскость проходит через точку

0; 0; , то есть отсекает на оси

отрезок величины

. Возьм м

0.

Получаем:

1.

Отсюда

. Плоскость проходит через точку

0;

; 0 , то есть отсекает на оси

отрезок величины

. Возьм м

0.

Получаем:

1.

Отсюда

. Плоскость проходит через точку

; 0; 0 , то есть отсекает на оси

отрезок величины .

Таким образом, ,

и – это величины отрезков, которые плоскость

отсекает на осях координат (рис. 3.18).

Пример 3.10. Дано общее уравнение плоскости 3

7

10

12

0. Написать для не уравнение в отрезках.

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости в отрезках:

1,

где

, и – это величины отрезков, которые плоскость отсекает на осях