917

Решаем систему. Сложив уравнения, получаем:

2. Отсюда

3. Подставляем это значение во второе уравнение системы:

1. Отсюда

.

3 и

1:

Подставляем значения

в уравнение

1.

1.

Ответ:

Пример 3.12. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной

плоскости 2

2

4

5 0 и отсекающей на координатных осях

и

отрезки

2 и

.

Рис. 3.19. Две перпендикулярные плоскости (к Примеру 3.12)

Воспользуемся уравнением плоскости в отрезках:

1,

где

,

и – это величины отрезков, которые плоскость отсекает на осях

координат.

По условию

2 и

. Подставляем:

1. Преобра-

зуем полученное уравнение к общему уравнению плоскости.

Умножим уравнение на

2 :

3

2

2

0.

Запишем координаты нормального вектора искомой плоскости:

;

3

; 2 .

Запишем координаты нормального вектора данной плоскости по е

общему уравнению:

2;

2; 4 .

Так как плоскости

и

перпендикулярны, то их нормальные век-

торы

и тоже перпендикулярны. Если векторы перпендикулярны, то их

120

Отсюда

1.

Подставляя значение

1 в уравнение

3

2

2

0, по-

лучим уравнение искомой плоскости:

1 ∙

3 ∙ 1 ∙

2

2 ∙ 1 0.

Преобразуем:

3

2

2

0.

Ответ:

3

2

2 0.

3.4. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Пусть

; ;

,

; ;

,

; ;

– заданные точки од-

ной плоскости и

;

;

– произвольная точка этой же плоскости. Рас-

смотрим три вектора:

,

,

(рис. 3.20).

;

;

,

;

;

,

;

;

.

Пример 3.13. Составить уравнение плоскости, проходящей через

точки

4; 2;

5 ,

1;

3; 2 ,

6; 0; 7 .

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через

три данные точки:

0,

где

, ,

– координаты одной точки плоскости, , , – координаты

другой точки плоскости и ,

, – координаты третьей точки плоскости,

, ,

– координаты произвольной точки плоскости. Подставляем числовые

данные:

4

2

5

1

4

3

2

2

5

0.

6

4

0

2

7

5

Преобразуем:

4

2

5

3

5

7

0.

10

2

2

Раскрывая определитель разложением по первой строке, получаем:

24

4

76

2

44

5

0.

Преобразуем:

6

4

19

2

11

5

0,

6

19

11

41

0.

Ответ: 6

19

11

41

0.

3.4. Нормальное уравнение плоскости

Рассмотрим плоскость . Опустим перпендикуляр из начала коорди-

нат на эту плоскость. Получим точку . Рассмотрим орт вектора

:

. Обозначим вектор

через , обозначим модуль вектора

через .

| |

Тогда

| | . Пусть

; ; – произвольная точка плоскости (рис. 3.21).

Заметим, что вектор является нормальным вектором плоскости.

Известно, что орт любого вектора имеет своими координатами

направляющие косинусы этого вектора. Поэтому:

cos

; cos

; cos

,

где

,

, – углы, которые составляет вектор

с осями

, ,

соот-

ветственно.

Далее найд м проекцию вектора

на направление вектора ,

ис-

пр

| | cos

|

|

∙

∙

∙

,

| |∙| |

где – угол между векторами

и

.

ным.

1) Проверяем первое условие: 5

0. Первое условие выполняется.

Проверяем второе условие:

1. Второе условие вы-

2)

Проверяем первое условие: 5 0. Первое условие не выполняется,

поэтому уравнение не является нормальным.

3)

Проверяем первое условие:

1

0. Первое условие выполняется.

Проверяем второе условие:

1. Второе условие

не выполняются, поэтому уравнение не является нормальным.

4)

Проверяем первое условие:

1

0. Первое условие выполняется.

Проверяем второе условие: 0

1. Второе условие выпол-

5) Проверяем первое условие: 2 0. Первое условие не выполняется,

поэтому уравнение не является нормальным.

Ответ: 1), 4).

Пример 3.15. Привести каждое из следующих уравнений к нормаль-

ному виду: 1) 11

10

2

5

0; 2)

3 0; 3) 5

12 26 0; 4) 2

1

0.

Решение. Все плоскости заданы общим уравнением. Для приведения

общего уравнения плоскости

0 к нормальному уравне-

нию, надо общее уравнение умножить на нормирующий множитель

, где знак

выбирается противоположным знаку коэффициента

√

.

1) Вычисляем нормирующий множитель:

.

Умножая исходное

уравнение

на

нормирующий

множитель,

получаем:

0. Преобразуем:

0.

1.

2) Вычисляем нормирующий множитель:

Умножая исходное уравнение на нормирующий

множитель,

получаем:

3

0.

124

3) Вычисляем нормирующий множитель:

.

Умножая исходное уравнение на нормирующий

множитель,

получаем:

0. Преобразуем:

2

0.

4) Вычисляем нормирующий множитель:

. Умножая

√

исходное уравнение на нормирующий множитель, получаем:

0.

Ответ: 1)

0; 2)

3

0

3)

2

0; 4)

0.

Пример 3.16. Для каждой из следующих плоскостей вычислить углы

, ,

, образуемые нормальным вектором с осями координат, и расстояние

от начала координат до плоскости: 1)

√2

16 0; 2) 2

3

6

4 0; 3)

2 0; 4)

2 0.

Решение. Воспользуемся нормальным уравнением плоскости:

cos

cos

cos

0,

где cos , cos , cos

– направляющие косинусы нормального вектора плос-

кости, поэтому ,

, , – углы, образуемые нормальным вектором с осями

чаем:

√

8 0. Отсюда: cos

,

120 ;

cos

,

60 ; cos

√ ,

45 ;

8.

2) Вычисляем нормирующий множитель:

.

Умножая исходное уравнение на нормирующий

множитель,

получаем:

0. Отсюда: cos

,

; cos

,

; cos

,

;

.

3) Вычисляем нормирующий множитель:

√

√

. Умножая исходное уравнение на нормирующий множитель, полу-

√

√

√

чаем:

√2 0. Отсюда: cos

0,

90 ; cos

,

√ ,

135 ; cos

45 ;

√2.

4) Вычисляем нормирующий множитель:

1, то есть

√

плоскость задана нормальным уравнением. Отсюда: cos

0,

90 ;

cos

0,

90 ; cos

1,

0 ;

2.

Ответ: 1)

120 ,

60 ,

45 ,

8;

2)

,

;

,

;

125