917

1

5 ,

5.36.

:

2

6 ,

: 4

3

9

22

0.

2

4 .

Третий уровень сложности

6. Нахождение точки, симметричной данной точке

относительно данной плоскости

Задание 6. Найти точку

, симметричную точке

относительно плос-

кости .

6.1.

4; 1; 9 ,

: 2

3

5

4

0.

6.2.

1;

2; 0 ,

: 3

3

109

0.

6.3.

7;

8; 2 ,

: 3

4

43

0.

6.4.

6;

9; 3 ,

:

4

33

0.

6.5.

4;

2; 5 ,

: 6

3

2

9

0.

6.6.

2; 6;

4 ,

: 5

3

8

0.

6.7.

7; 5;

2 ,

: 2

4

27

0.

6.8.

1;

4; 9 ,

: 5

6

71

0.

6.9.

0;

1;

6 ,

: 5

3

2

29

0.

6.10.

1;

3; 2 ,

: 4

3

65

0.

6.11.

2;

1;

9 ,

: 3

2

5

1

0.

6.12.

1; 3;

5 ,

: 6

2

7

42

0.

6.13.

4; 5; 7 ,

: 2

3

20

0.

6.14.

1;

2; 2 ,

: 5

3

91

0.

6.15.

2;

1; 8 ,

: 4

3

2

40

0.

6.16.

1; 0; 9 ,

: 3

2

58

0.

6.17.

5;

4; 9 ,

: 3

7

41

0.

6.18.

9; 9; 5 ,

: 4

6

3

54

0.

6.19.

2; 3; 8 ,

:

4

9

16

0.

6.20.

7; 0;

1 ,

: 5

3

2

39

0.

6.21.

5;

4;

6 ,

: 2

3

16

0.

6.22.

1;

3; 9 ,

: 7

2

2

109

0.

6.23.

5; 1; 3 ,

: 3

4

6

24

0.

6.24.

2; 8; 4 ,

: 2

3

38

0.

6.25.

9;

6; 5 ,

: 7

3

4

47

0.

6.26.

8;

4;

3 ,

:

2

5

74

0.

6.27.

5; 9;

3 ,

: 4

7

2

49

0.

6.28.

9; 5; 4 ,

: 4

11

0.

6.29.

5; 1; 8 ,

: 3

6

5

21

0.

6.30.

2; 9;

8 ,

: 4

5

23

0.

6.31.

5;

6; 4 ,

: 8

3

5

96

0.

6.32.

6; 9;

8 ,

: 2

7

6

144

0.

6.33.

1; 4;

5 ,

: 3

8

2

32

0.

6.34.

2; 4; 9 ,

: 6

5

3

35

0.

6.35.

9; 8;

3 ,

: 2

4

5

70

0.

6.36.

6; 8; 0 ,

: 4

5

2

71

0.

190

Тесты

Вариант 1

Первый уровень сложности.

1. Точка

и направляющий вектор

прямой,

заданной канониче-

скими уравнениями

, имеют вид:

1)

2; 5; 1 ,

3;

9;

8

2)

3;

9;

8 ,

2; 5; 1

3)

2;

5;

1 ,

3;

9;

8

4)

3;

9;

8 ,

2;

5;

1

5)

1;

5; 2 ,

8;

9; 3

2. Параметрические уравнения прямой, проходящей

через точку

3; 0; 5

параллельно прямой

, имеют вид:

1)

2)

3)

3

2 ,

3

2 ,

4)

4 ,

5)

4

,

5

9 .

5

9 .

7; 6; 1

3. Уравнения прямой, проходящей через точку

перпенди-

кулярно к плоскости 3

8

4

10 0, имеют вид:

1)

2)

3)

4)

5)

Второй уровень сложности.

3

2,

2

1,

4. Острый угол между прямыми

0,

и

0,

равен:

3

3

1) 30

2) 45

3) 60

4)

√

5)

√

Третий уровень сложности.

5. Уравнения прямой,

проходящей через точку

5;

1;

3 парал-

лельно прямой

2

3

6

0, имеют вид:

4

5

2

0

1)

2)

3)

4)

5)

Вариант 2

Первый уровень сложности.

1. Точка

и направляющий вектор

прямой, заданной параметриче-

3

6 ,

скими уравнениями

4

9 ,

имеют вид:

8

2 .

1)

8; 4;

3 ,

2; 9; 6

2)

6; 9;

2 ,

3;

4; 8

191

3)

3;

4; 8 ,

6; 9;

2

4)

6; 9;

2 ,

3; 4;

8

5)

3; 4;

8 ,

6; 9;

2

2.

Канонические

уравнения

прямой,

проходящей

через

точку

3

5 ,

2; 4;

7 параллельно прямой

8

2 , имеют вид:

4

6

2

5 ,

2

3 ,

1)

4

2 ,

2)

4

8 ,

3)

7

6 .

7

4 .

4)

5)

3.

Канонические

уравнения

прямой,

проходящей

через

точки

3; 2;

6

и

7; 3;

4 , имеют вид:

1)

2)

3)

4)

5)

Второй уровень сложности.

4. Направляющий вектор

прямой, заданной как пересечение плоско-

стей 3

5

8 и 6

2

3

9

0, имеет вид:

1)

13;

15; 36

2)

13; 15; 36

3)

3;

5; 1

4)

6; 2;

3

5)

36; 15; 13

Третий уровень сложности.

5. Расстояние от точки

2; 3;

1 до прямой

равно:

1) 21

2) √21

3)

21

4) 7

5) 3

поверхности, то есть этому уравнению удовлетворяют координаты ,

и

любой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты

,

Для поверхности второго порядка

;

;

2

2

2

2

2

2

, то есть уравнение поверх-

ности второго порядка принимает вид

2

2

2

2

2

2

0, где ,

,

, , , , , , ,

– неко-

торые числа, прич м

,

, ,

, ,

одновременно не равны нулю, что в

символьной форме выражается условием

0.

Указанное уравнение является общим уравнением второй степени.

К поверхностям второго порядка относятся: сфера; эллипсоид; одно-

,

1.

Если | | .

, то плоскость

пересекает сферу по окружности

радиуса

√

.

2.

Величина

принимает наибольшее значение при

0. Самая

большая окружность образуется в сечении координатной плоскостью

0.

3. При возрастании |

| величина

убывает.

4.

При

величина

обращаются в нуль, то есть окружность,

образуемая сечением сферы плоскостью

или плоскостью

вы-

рождается в точку.

5.

При | |

правая часть уравнения отрицательна, поэтому плос-

кость

не пересекает сферу и уравнение не определяет никакого геомет-

рического образа в пространстве.

Аналогично исследование проводится плоскостями, параллельными

координатным плоскостям

и

. В этих случаях форма сферы повто-

ряет случай для плоскости, параллельной координатной плоскости

.

раллельными координатной плоскости

. Каждая из таких плоскостей

определяется уравнением вида

, а линия, которая получается в сечении,