917
.pdf
|
|
|
. |
Полученная формула позволяет вычислять отклонение точки от |
|||
плоскости. |
|
|
|
Правая часть формулы представляет собой левую часть нормального |
уравнения плоскости, где вместо текущих координат подставлены координаты точки . Для нахождения расстояния от точки до плоскости достаточно вычислить отклонение и взять его по абсолютной величине.
Перейд м от общего уравнения плоскости |
|
|
|
|
0 к |
||||||||||
нормальному уравнению плоскости |
cos |
cos |
cos |
0, |
|||||||||||
умножив общее уравнение на нормирующий множитель |
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
√ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Преобразуем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда отклонение точки |
от плоскости вычисляется следующим об- |
разом:
√ .
Тогда расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле:
|
|
|
|
|
| |
|
|
| |
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3; 7; 1 до плос- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 3.23. Вычислить расстояние от точки |
||||||||||||
кости 2 |
10 |
11 |
3 |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Для вычисления расстояния от точки до плоскости восполь- |
||||||||||||
зуемся формулой |
|
| |
|
|
|
| |
, где |
|
|
– левая часть |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
√ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
общего уравнения плоскости, при этом вместо текущих координат , , подставлены координаты точки . Плоскость задана общим уравнением. Вычисляем расстояние:
|
| ∙ |
∙ |
∙ |
| |
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: |
|
|
. |
|
|
|
|
2; 4; 3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 3.24. Вычислить величину отклонения точки |
||||||||||||
от плоскости 2 |
|
2 |
3 0. |
|
|
|
|
|||||
Решение. Для вычисления отклонения точки от плоскости воспользу- |
||||||||||||
емся формулой |
|
cos |
|
|
cos |
cos |
. Правая часть формулы |
совпадает с левой частью нормального уравнения плоскости, где вместо текущих координат , , подставлены координаты точки .
Плоскость задана общим уравнение. Для приведения общего уравнения к нормальному уравнению умножим его на нормирующий множитель.
Вычисляем нормирующий множитель: . Умножая
исходное уравнение на нормирующий множитель, получаем:
1 0.
Вычисляем отклонение:
131
|
|
|
∙ |
2 |
|
∙ |
4 |
|
∙ 3 1 |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 3.25. Вычислить расстояние между параллельными плоско- |
|||||||||||
стями 6 |
18 |
9 |
28 |
0 и 4 |
12 |
6 |
7 0. |
Решение. Расстояние между параллельными плоскостями вычислим как расстояние от некоторой точки одной плоскости до другой плоскости.
Найд м одну точку, например, первой плоскости. Возьм м |
0 и под- |
|||||||||
ставим эти значения в уравнение первой плоскости: |
|
|||||||||
|
6 ∙ 0 |
|
|
18 ∙ 0 9 |
28 0. |
|
|
|||
Отсюда |
|
|
|
|
|
и тогда получаем следующую точку первой плоскости: |
||||
|
|
|
|
|
||||||
0; 0; |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Находим расстояние от точки |
до второй плоскости по формуле |
||||||||
| |
|
|
|
| |
, где |
|
– левая часть общего уравнения |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
√ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскости, при этом вместо текущих координат , , подставлены координаты точки . Плоскость задана общим уравнением. Вычисляем расстояние:
|
|
|
∙ |
|
|
|
|
∙ |
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Пример 3.26. На оси |
|
найти точку, равноудал нную от точки |
|||||||||||||||||||||||||
1; |
2; 0 |
и от плоскости 3 |
2 |
|
6 |
9 |
|
0. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Решение. Так как искомая точка лежит на оси |
, то е |
абсцисса и |
|||||||||||||||||||||||||
ордината равны нулю: |
0; 0; |
|
. Найд м расстояние между точками |
и |
||||||||||||||||||||||||
по формуле расстояния между двумя точками: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
2 |
|
|
0 |
|
√5 |
. |
|
|
||||||||||||
|
Затем вычислим расстояние от точки |
|
до данной плоскости по фор- |
|||||||||||||||||||||||||
муле |
| |
|
|
|
|
|
|
|
| |
, где |
|
|
|
|
|
|
|
– левая часть общего |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
уравнения плоскости, |
при этом вместо текущих координат , |
, подстав- |
лены координаты точки . Плоскость задана общим уравнением. Вычисляем расстояние:
|
|
| ∙ ∙ |
∙ |
| | |
| |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Искомая точка |
|
|
|
равноудалена от точки |
и от плоскости. Прирав- |
||||||||||
ниваем полученные выражения расстояний от точки |
до точки |
и от |
|||||||||||||
точки до плоскости: |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
| |
| |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
√5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решаем полученное уравнение.
Умножим уравнение на 7 и возвед м обе части уравнения в квадрат:
49 5 |
6 |
9 . |
|
Преобразуем: |
|
|
|
245 49 |
36 |
108 |
81, |
|
|
|
132 |
13 |
108 |
164 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Находим корни квадратного уравнения: |
|
|
|
|
||||||||
|
2, |
|
|
. |
|
0; 0; |
2 , |
0; 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Получаем две искомые точки: |
|
|
. |
|||||||||
|
||||||||||||
Ответ: |
0; 0; 2 , |
0; 0; |
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 3.27. Вывести уравнение геометрического места точек, откло- |
||||||||||||
нение которых от плоскости 6 |
3 |
2 |
10 |
0 равно |
3. |
|
Решение. Плоскость задана общим уравнением. Для нахождения отклонения точки от плоскости воспользуемся нормальным уравнением плос-
кости. Для приведения общего уравнения плоскости |
0 |
к нормальному уравнению, надо общее уравнение умножить на нормирую-
щий множитель |
|
|
, где знак выбирается противоположным |
||||||
|
|
||||||||
√ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
знаку коэффициента . |
|
|
|
|
|
|
|||
Вычисляем нормирующий множитель: |
|
|
|
|
. Умножая |
||||
|
|
|
|||||||
√ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
исходное уравнение на нормирующий множитель, получаем:
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Обозначим произвольную точку искомого геометрического места то- |
||||||||||||||||||||||||||||||
чек через |
; |
; |
|
. Найд м отклонение точки |
от данной плоскости по |
||||||||||||||||||||||||||||
формуле |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
cos |
. Правая часть формулы совпа- |
||||||||||||||||
дает с левой частью нормального уравнения плоскости. Получаем: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
3. Получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
По условию отклонение точки |
от плоскости равно |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Преобразуем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
3 |
2 |
11 |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Таким образом, искомое геометрическое место точек представляет со- |
||||||||||||||||||||||||||||||
бой плоскость. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Ответ: 6 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
11 |
0. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Пример 3.28. Составить уравнение геометрического места точек, рав- |
||||||||||||||||||||||||||||||
ноудал нных от двух параллельных плоскостей 4 |
2 |
3 0 и 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
5 |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Решение. Обозначим произвольную точку искомого геометрического |
||||||||||||||||||||||||||||||
места точек через |
; |
; |
|
. Найд м расстояние от точки |
до данной плос- |
||||||||||||||||||||||||||||
кости по формуле |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
| |
, где |
|
– левая часть об- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
щего уравнения плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Запишем расстояние от точки |
до первой плоскости: |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
| |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Запишем расстояние от точки |
до второй плоскости: |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
| |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
133 |
|
|
|
Точка |
равноудалена от плоскостей. Приравниваем полученные вы- |
|||||||||||
ражения расстояний от точки |
до плоскостей: |
||||||||||||
| |
|
|
|
| |
| |
|
| |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|||
|
Решаем полученное уравнение. |
|
|||||||||||
|
Приравняем числители: |
|
|
||||||||||
|4 |
|
|
|
2 |
3| |4 |
|
2 |
5|. |
|||||
|
Уравнение имеет решение только в случае, когда выражения под зна- |
||||||||||||
ком модуля имеют разные знаки. |
|
||||||||||||
|
Получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
|
|
|
2 |
3 |
|
4 |
|
2 |
5 . |
|||
|
Преобразуем: |
|
|
|
|
|
|||||||
8 |
2 |
4 |
8 |
|
0, |
|
|
|
|||||
4 |
|
|
|
2 |
4 |
|
0. |
|
|
|
|||
|
Ответ: 4 |
|
|
2 |
4 |
0. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
3.8. Уравнение пучка плоскостей |
||||||
|
Пусть плоскости |
|
и |
заданы общим уравнением: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 и |
0 |
соответственно. Пусть эти плоскости пересекаются по некоторой прямой . Множество всех плоскостей, проходящих через прямую , называется пучком плоскостей.
Если |
и |
– действительные числа, то уравнение пучка плоскостей |
|||||||
имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
Разделив уравнение пучка плоскостей на число |
0, и, обозначив |
|
|||||||
|
|||||||||
через , получаем уравнение пучка плоскостей в следующем виде: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
Пример 3.29. Составить уравнение плоскости, которая проходит через |
|||||||||
прямую пересечения плоскостей 2 |
|
3 |
3 0, |
3 |
2 |
|
|||
1 0: 1) и через точку |
1; 2; 3 ; 2) параллельно оси . |
|
|
||||||
Решение. Составим уравнение пучка плоскостей для двух данных пе- |
|||||||||
ресекающихся плоскостей: |
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
3 |
3 λ |
3 |
2 |
1 |
0. |
|
|
|
1) Так как искомая плоскость принадлежит пучку двух данных плоскостей и проходит через точку , то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению пучка двух данных плоскостей. Подставляем коорди-
наты точки |
|
в уравнению пучка двух данных плоскостей: |
|
|||||||
2 ∙ 1 3 ∙ 2 |
3 3 λ 1 3 ∙ 2 |
|
2 ∙ 3 1 |
0. |
||||||
Отсюда 8 |
2λ |
0 и λ |
|
4. |
|
|
|
|
||
Подставив значение λ |
|
4 в уравнение пучка двух данных плоско- |
||||||||
стей, получим искомое уравнение плоскости: |
|
|
|
|||||||
2 |
3 |
|
3 |
4 |
∙ |
3 |
2 |
1 |
0. |
|
Преобразуем: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
15 |
7 |
7 |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
134 |
|
|
|
|
|
2 |
15 |
7 |
7 |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
2) Преобразуем уравнение пучка двух данных плоскостей к общему |
||||||||||
уравнению плоскости: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
λ |
|
3 3λ |
|
1 |
2λ |
3 |
λ |
0. |
|
|
Так как искомая плоскость параллельно оси |
, то коэффициент перед |
|||||||||
переменной в общем уравнении плоскости равен нулю: 2 λ |
0. Отсюда |
||||||||||
λ |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив значение λ |
2 в общее уравнение плоскости, получим |
|||||||||
искомое уравнение плоскости: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
2 |
|
3 3 ∙ 2 |
1 2 ∙ 2 |
3 |
2 |
||||
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
9 |
3 |
5 |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
3 |
5 |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1) 2 |
15 |
7 |
7 |
0; 2) 9 |
3 |
|
5 0. |
|
Пример 3.30. Составить уравнение плоскости, проходящей через пря-
мую пересечения плоскостей 3 |
2 |
3 0, |
2 |
0 перпендику- |
|||||
лярно плоскости |
|
2 |
|
5 |
0. |
|
|
|
|
Решение. Составим уравнение пучка плоскостей для двух данных пе- |
|||||||||
ресекающихся плоскостей: |
|
|
|
|
|
||||
3 |
2 |
|
3 |
λ |
2 |
|
0. |
|
|
Преобразуем уравнение пучка двух данных плоскостей к общему |
|||||||||
уравнению плоскости: |
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
λ |
2 |
|
1 |
2λ |
3 |
0. |
|
|
Так как искомая плоскость принадлежит пучку двух данных плоскостей и перпендикулярна третьей данной плоскости, то сумма произведений коэффициентов при переменных в общем уравнении этих плоскостей равна нулю. Получаем:
1 ∙ 3 λ |
2 ∙ 2 |
1 ∙ 1 2λ |
0. |
|
|||||
Отсюда λ |
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив значение λ 8 в общее уравнение плоскости, получим ис- |
|||||||||
комое уравнение плоскости: |
|
|
|
|
|||||
3 |
8 |
2 |
|
1 |
2 ∙ 8 |
|
3 |
0. |
|
Преобразуем: |
|
|
|
|
|
|
|
||
11 |
2 |
15 |
3 |
0. |
|
|
|
|
|
Ответ: 11 |
|
2 |
15 |
3 |
0. |
|
|
||
Пример 3.31. Написать уравнение плоскости, принадлежащей пучку |
|||||||||
плоскостей |
|
3 |
7 |
|
36 |
λ 2 |
|
15 |
0 и отстоящей от |
начала координат на расстоянии |
|
3. |
|
|
|||||
Решение. Преобразуем уравнение пучка плоскостей к общему уравне- |
|||||||||
нию: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2λ |
|
3 |
λ |
|
7 |
λ |
36 15λ |
0. |
Далее воспользуемся формулой расстояния от точки до плоскости:
135
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
, |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
левая часть общего |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
уравнения плоскости, при этом вместо текущих координат , , |
подстав- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лены координаты точки . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
В качестве |
точки |
|
|
|
выступает начало координат, то есть точка |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0; 0; 0 . Вычисляем расстояние от точки |
до искомой плоскости : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |
|
|
|
|
|
∙ |
|
|
|
∙ |
|
|
|
∙ |
|
|
|
|
| |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
По условию искомая плоскость отстоит от начала координат на рас- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
стоянии |
|
|
3. Приравниваем полученное выражение к 3: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Решаем полученное уравнение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Разделим уравнение на 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Избавимся от знаменателя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|12 5λ|. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 2λ |
|
|
|
|
|
3 λ |
|
|
|
|
7 λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Возвед м обе части уравнения в квадрат: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
4λ |
4λ |
9 |
|
6λ |
|
λ |
49 |
|
|
14λ |
λ |
12 |
5λ . |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Преобразуем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
6λ |
|
|
16λ |
59 |
|
|
144 |
|
|
120λ |
25λ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
19λ |
|
|
|
104λ |
85 |
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Корни полученного квадратного уравнения: λ |
1, λ |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Подставив значение λ |
|
1 в общее уравнение плоскости, получим ис- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
комое уравнение плоскости: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 2 ∙ 1 |
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
7 1 |
|
|
|
36 15 ∙ 1 |
0. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Преобразуем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3 |
|
|
2 |
|
|
|
6 |
21 |
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Подставив значение λ |
|
|
|
|
|
в общее уравнение плоскости, получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
искомое уравнение плоскости: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
2 ∙ |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
36 |
15 ∙ |
|
|
|
|
0. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Преобразуем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
189 |
28 |
48 |
|
|
|
591 |
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Ответ: 3 |
|
|
2 |
|
|
6 |
|
|
|
|
21 |
|
0, 189 |
|
28 |
48 |
|
591 |
|
0. |
|||||||||||||||||||||
|
Пример 3.32. Составить уравнение плоскости, проходящей через ли- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нию пересечения плоскостей |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
5 |
0 и 3 |
|
2 |
|
|
1 0 и |
|||||||||||||||||||||||||
отсекающей равные отрезки на осях |
|
и . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение. Составим уравнение пучка плоскостей для двух данных пе- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ресекающихся плоскостей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
λ 3 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
136 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|