917

положительную сторону отрезок длины 7. Получим точку

– проекцию

точки на ось . В плоскости

провед м через точки

и пря-

мые, параллельные координатной оси

и отрезку

соответственно. В

5

3

Рис. 1.3. Построение точки

3; 5; 7

(К Примеру 1.1)

Для построения точки

4;

2; 6 , отложим по оси

в положитель-

ную сторону отрезок длины 4. Получим точку

– проекцию точки

на ось

. Далее отложим по оси

в отрицательную сторону отрезок длины 2.

Получим точку – проекцию точки

на ось

. В координатной плоскости

провед м через точки

и

прямые,

параллельные координатным

осям

и

соответственно. В пересечении этих прямых получаем точку

– проекцию точки

на координатную плоскость

. Затем отложим по

оси

в положительную сторону отрезок длины 6. Получим точку

– про-

екцию точки

на ось

. В плоскости

провед м через точки

и

прямые, параллельные координатной оси

и отрезку

соответ-

ственно. В пересечении этих прямых получаем точку

(рис. 1.4).

6

Для построения точки

5; 4;

3

отложим по оси

в отрицатель-

ную сторону отрезок длины 5. Получим точку

– проекцию точки

на ось

. Далее отложим по оси

в положительную сторону отрезок длины 4.

Получим точку – проекцию точки

на ось

. В координатной плоскости

провед м через точки

и

прямые,

параллельные координатным

осям

и

соответственно. В пересечении этих прямых получаем точку

– проекцию точки

на координатную плоскость

. Затем отложим по

оси

в отрицательную сторону отрезок длины 3. Получим точку С

– про-

екцию точки

на ось

. В плоскости

провед м через точки С

и С

прямые, параллельные координатной оси

и отрезку

С

соответственно.

В пересечении этих прямых получаем точку

(рис. 1.5).

5

4

3

Рис. 1.5. Построение точки

5; 4;

3

(К Примеру 1.1)

Для построения точки

6; 8;

5

отложим по оси

в отрица-

тельную сторону отрезок длины 6. Получим точку

– проекцию точки

на ось

. Далее отложим по оси

в отрицательную сторону отрезок длины

8. Получим точку

– проекцию точки

на ось . В координатной плос-

кости

провед м через точки

и

прямые, параллельные координат-

ным осям

и

соответственно. В пересечении этих прямых получаем

точку

– проекцию точки

на координатную плоскость

. Затем отло-

жим по оси

в отрицательную сторону отрезок длины 5. Получим точку

– проекцию точки на ось . В плоскости

провед м через точки

и

прямые, параллельные координатной оси

и отрезку

соот-

ветственно. В пересечении этих прямых получаем точку

(рис. 1.6).

Так как координата

точки

0;

6; 4

равна нулю, то точка лежит в

плоскости

. Для построения точки

0;

6; 4 отложим по оси

в от-

рицательную сторону отрезок длины 6. Получим точку

– проекцию точки

на ось . Далее отложим по оси

в положительную сторону отрезок

длины 4. Получим точку

– проекцию точки

на ось

. В координатной

плоскости

провед м через точки

и

прямые, параллельные коорди-

натным осям

и

соответственно. В пересечении этих прямых получаем

точку

(рис. 1.7).

Рис. 1.6. Построение точки

6; 8; 5 (К Примеру 1.1)

6

Рис. 1.7. Построение точки

0;

6; 4

(К Примеру 1.1)

Так как координаты и точки

0; 0; 1

равны нулю, то точка лежит

на оси . Для построения точки 0; 0; 1

отложим по оси в положитель-

ную сторону отрезок длины 1. Получим точку

(рис. 1.8).

1

Рис. 1.8. Построение точки

0; 0; 1 (К Примеру 1.1)

Пример

1.2. Найти

координаты проекций

точек

7; 2; 9 ,

1; 3; 4 ,

6; 0; 2

,

5; 0; 0 на: 1) плоскость

; 2) плоскость

;

3) плоскость

; 4) ось

; 5) ось

; 6) ось .

Решение.

1) Для нахождения координат проекций точек на плоскость

при-

екций точек:

7; 2; 0 ,

1; 3; 0 ,

6;0; 0 ,

5; 0; 0 .

2) Для нахождения координат проекций точек на плоскость

при-

равняем координату

точек к нулю. Получаем следующие координаты про-

екций точек:

7; 0; 9 ,

1; 0;

4 ,

6;0; 2 ,

5; 0; 0 .

3) Для нахождения координат проекций точек на плоскость

при-

равняем координату

точек к нулю. Получаем следующие координаты про-

екций точек:

0;2; 9 ,

0;

3;

4 ,

0; 0; 2 ,

0;0; 0 .

4) Для нахождения координат проекций точек на ось

приравняем

координаты

и

точек к нулю. Получаем следующие координаты проекций

точек:

7; 0; 0 ,

1; 0; 0 ,

6; 0; 0 ,

5; 0; 0 .

5) Для нахождения координат проекций точек на ось

приравняем

координаты

и

точек к нулю. Получаем следующие координаты проекций

точек:

0; 2; 0 ,

0; 3; 0 ,

0; 0; 0 ,

0; 0; 0 .

6) Для нахождения координат проекций точек на ось

приравняем

координаты

и

точек к нулю. Получаем следующие координаты проекций

точек:

0; 0; 9 ,

0; 0;

4 ,

0; 0; 2 ,

0; 0; 0 .

Ответ: 1)

7; 2; 0 ,

1;

3; 0 ,

6; 0; 0 ,

5; 0; 0 ;

2)

7; 0; 9 ,

1; 0;

4 ,

6; 0; 2 ,

5;0; 0 ; 3)

0; 2; 9 ,

0;

3;

4 ,

0;0; 2 ,

0; 0; 0 ;

4)

7; 0; 0 ,

1; 0; 0 ,

6; 0; 0 ,

5; 0; 0 ; 5)

0; 2; 0 ,

0;

3; 0 ,

0;0; 0 ,

0;0; 0 ;

6)

0; 0; 9 ,

0; 0;

4 ,

0;0; 2 ,

0;0; 0 .

Пример

1.3. Найти координаты

точки,

симметричной

точке

5;

7; 4 относительно плоскости

.

Решение. Абсцисса и аппликата точки, симметричной относительно

плоскости

, совпадают, а ордината отличается знаком. Поэтому искомая

точка имеет следующие координаты:

5; 7; 4 . Нахождение точек, симмет-

ричных относительно чего-либо удобно определять графически

(рис. 1.9).

4

7

7

5

Рис. 1.9. Построение точки, симметричной точке

5; 7; 4 относительно

плоскости

(К Примеру

1.3)

Ответ:

5; 7; 4 .

проходят через точки

и

; а также равно длине направленного отрезка

(рис. 1.10).

Рис. 1.10. Расстояние между двумя точками в пространстве

Расстояние между точками

и

обозначим через

.

Из прямо-

угольного треугольника

по теореме Пифагора получаем:

|

|

|

|

|

| .

Выразим |

|

через координаты точек

и

.

Спроектируем

точки

и

на координатные оси

и

. Для этого опустим из этих

точек перпендикуляры на координатную плоскость

. Основания перпен-

дикуляров обозначим

и

соответственно. Затем из точек

и

опустим перпендикуляры на ось

. Основания перпендикуляров обо-

значим

и

соответственно. Это и будут проекции точек

и

на

ось . Далее из точек

и

опустим перпендикуляры на ось

. Ос-

нования перпендикуляров обозначим

и

соответственно. Это и будут

проекции точек

и

на ось

. Учитывая, что |

|

|

|,

|

|,

из

прямоугольного

треугольника

по теореме Пифагора получаем:

|

|

|

|

|

|

|

|

.

Выразим |

|

через координаты точек

и

.

Спроектируем

точки

и

на координатную ось

. Для этого опустим из этих точек

перпендикуляры на координатную ось

. Основания перпендикуляров обо-

значим

и

соответственно. Учитывая, что |

|

|

|. По-

лучаем:

|

|

|

|

|

|

|

|

.

14

Тогда расстояние между точками

и :

|

| |

|

.

Таким образом:

щих координат точек.

Пример 1.4. Найти расстояние между точками

1; 2; 3 и

ками. Здесь

1,

3,

2,

1,

3,

9. Получаем:

3 1

1

2

9

3

√4 9

36 7.

Ответ:

7.

Пример 1.5. Доказать,

что треугольник с вершинами 3; 1; 2 ,

0; 4; 2 ,

3; 2; 1 равнобедренный.

Решение.

Треугольник является равнобедренным, если длины двух

|

|

0

3

4

1

2

2

√9

9

0

3√2;

| |

3

3

2

1

1

2

√36 9

1

√46;

|

|

3

0

2

4

1

2

√9

36

1

√46.

Так как | | | |, то треугольник является равнобедренным.

Пример 1.6. Определить, есть ли тупой угол среди внутренних углов

треугольника с вершинами

4; 1; 4 ,

0; 7; 4 ,

3; 1; 2 .

Решение. Для выявления тупого угла треугольника нам понадобятся

|

|

0

4

7

1

4

4

√16 64 64

12;

|

|

3

4

1

1

2

4

√1

4 36

√41;

|

|

3

0

1

7

2

4

√9

36 4

7.

схематичное построение треугольника (рис. 1.11).

Применим теорему косинусов к стороне

:

|

|

|

| |

| 2 ∙ |

| ∙ |

| ∙ cos

.

15

Выразим отсюда cos

:

cos

|

| |

| |

|

.

∙|

|∙|

|

cos

√

.

∙√

∙

√

√

Так как cos

отрицателен, то

тупой.

Ответ:

тупой.

Пример 1.7. На оси ординат найти точку, равноудал нную от точек

1; 3; 7

и 5; 7;

5 .

Решение.

Пусть

0;

; 0

– искомая точка. Запишем расстояние

между точками

и , используя формулу расстояния между двумя точками:

|

|

1

0

3

7

0

50

3 .

Аналогично запишем расстояние между точками

и :

|

|

5

0

7

5

0

50

7 .

По условию точка

равноудалена от точек

и , то есть расстояние

между точками

и равно расстоянию между точками

и . Приравни-

ваем полученные выше выражения:

50

3

50

7 .

Возвед м обе части равенства в квадрат:

50

3

50

7 .

Преобразуем:

6

9

14

49,

20

40,

2.

Искомая точка:

0; 2; 0 .

Ответ:

0; 2; 0 .

1.4. Деление отрезка в заданном отношении в пространстве

Пусть

;

;

и

;

;

– две данные точки пространства

и известно, что некоторая точка

;

;

делит отрезок

в отношении

, то есть

. Здесь

и

– величины направленных отрезков

Получим формулы для вычисления координат точки . Спроектируем

точки

,

,

на ось

. Для этого провед м через эти точки плоскости

перпендикулярно оси

. Точки пересечения плоскостей с осью

обозна-

чим

,

,

соответственно (рис. 1.12). Эти точки представляют про-

екции точек

,

, на ось .

стями, пропорциональны, то можно записать:

. Но

,

. Тогда:

. Выразим отсюда

:

динат

точки

; ;

,

которая

делит отрезок между

точками

;

;

и

;

;

в отношении

:

,

,

.

Рассмотрим частный случай, когда точка

является серединой от-

резка

. Тогда

и

1. Формулы нахождения координат

середины отрезка принимают вид:

,

,

.

Таким образом, координаты середины отрезка равны полусумме со-

ответствующих координат его концов.

Пример 1.8. Даны две точки

9;

3; 1 и

6; 8; 5 . Найти коор-

динаты середины отрезка

.

Решение. Воспользуемся формулами нахождения координатсере-

дины отрезка через координаты его концов. Здесь

9,

6,

3,

8,

1,

5. Найд м абсциссу середины отрезка:

17

. Найд м ординату середины отрезка:

3.

.

Найд м аппликату середины отрезка:

Ответ:

;

; 3 .

4; 3; 1

5;

2;

6 . Найти ко-

Пример 1.9. Даны две точки

и

ординаты точки

, которая делит отрезок

в отношении

.

Решение. Воспользуемся формулами нахождения координат точки,

которая делит отрезок в заданном отношении. Здесь

4,

5,

3,

2,

1,

6. Найд м абсциссу точки :

∙

2. Найд м ординату точки

:

∙

. Найд м

∙

аппликату точки

:

.

Ответ:

2;

;

.

2; 3;

5 ,

1; 3; 2 параллело-

Пример 1.10. Даны две вершины

грамма

и точка пересечения его диагоналей

4;

1; 7 . Определить

две другие вершины этого параллелограмма.

Решение. Выполним схематичный черт ж (рис. 1.13).

Рис. 1.13. Параллелограмм

(к Примеру 1.10)

Известно, что диагонали параллелограмма в точке пересечения де-

лятся пополам. Поэтому точка является серединой отрезка

. Воспользу-

емся формулой для нахождения абсциссы середины отрезка:

. По

условию

4,

2. Подставляем: 4

. Отсюда

6. Затем вос-

. По условию

1,

3. Подставляем: 1

. Отсюда

1. И воспользуемся формулой для нахождения аппликаты середины от-

резка:

. По условию

7,

5. Подставляем: 7

. От-

сюда

19. Таким образом, вершина параллелограмма

6; 1; 19 .

Аналогично найд м другую вершину

параллелограмма. Точка

яв-

циссы середины отрезка:

. По условию

4,

1. Подстав-

ляем: 4

. Отсюда

9. Затем воспользуемся формулой для нахож-

дения ординаты середины отрезка:

18

. По условию

1,

3. Подставляем: 1

. Отсюда

5. И воспользуемся формулой

для нахождения аппликаты середины отрезка:

. По условию

7,

2. Подставляем: 7

. Отсюда

12. Таким образом, вершина

параллелограмма 9; 5; 12 .

Ответ: 6; 1; 19 ,

9; 5; 12 .

Пример 1.11. Даны вершины треугольника 1; 2; 1 , 2; 1; 3 и

4; 7; 5 . Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вер-

шине .

Решение. Обозначим точку пересечения биссектрисы со стороной

через

(рис. 1.14).

Рис. 1.14. Треугольник

и биссектриса

(к Примеру 1.11)

|

|

|

|

нам. Можно записать соотношение:

.

|

|

|

|

| |

2 1

1 2

3

1

√26,

|

|

4 2

7

1

5

3

√104

2√26.

|

|

Тогда

√

, то есть точка

делит отрезок

в отношении

|

|

√

. Найд м координаты точки

:

∙

∙

,

∙

,

1.

;

; 1 .