917

векторах и как на сторонах, то есть | ̅| | | ∙

∙ sin , где – угол

между векторами и (рис. 2.38);

Используется следующее обозначение векторного произведения век-

торов:

или

, .

Пример 2.52. Векторы и образуют угол

. Зная, что | | 6,

5, вычислить

.

72

Рис. 2.40. Векторы

, , ̅образуют левую тройку векторов

Решение. По определению векторного произведения

|

| ∙ ∙ sin

. Подставляя значения, получаем:

6 ∙ 5 ∙ sin

15.

Ответ: 15.

Пример 2.53. Найти скалярное произведение векторов

и , зная, что

| |

3,

26,

72.

Решение. По определению векторного произведения векторов:

|

| ∙

∙ s

, где

– угол между векторами

и .

Отсюда:

s

|

|

,

|

|∙|

|

∙

cos

1

1

.

По определению скалярного произведения векторов:

|

| ∙

∙

3 ∙ 26 ∙

30.

Ответ:

30.

Алгебраические свойства векторного произведения векторов

1.

. Свойство антиперестановочности сомножи-

Доказательство. Векторы

и

коллинеарны, имеют одина-

ковые модули, но противоположно направлены, так как тройки

,

,

и

, ,

противоположной ориентации (рис. 2.41). Поэтому

.

2.

. Свойство сочетательности по

отношению к скалярному множителю.

Доказательство. Пусть

0. Вектор

перпендикулярен век-

торам и

. Вектор

также перпендикулярен векторам

и

. Значит,

векторы

и

коллинеарны. Направления их совпадают. Они

Рис. 2.41. Противоположная ориентация троек векторов

,

,

и

, ,

|

| ∙

∙

,

,

|

| ∙

∙ sin

,

|

| ∙

∙ sin

, .

Поэтому

.

Доказательство проводится аналогично для

0.

Аналогично доказывается равенство

.

3.

с

с. Свойство распределительности отно-

сительно сложения. Без доказательства.

Пример 2.54. Раскрыть скобки и упростить выражение:

5

7

4 ̅

̅.

Решение.

5

7

4 ̅

̅

5

7

4 ̅

5

7

̅

4 ̅ 5

7

̅

5

7

4 ̅ 5

4 ̅

7

̅

5

̅ 7

20

̅

28

̅

5 ̅

7 ̅

20

̅ 28

̅ 5

̅ 7

̅.

Ответ: 20

̅

28

̅

5

̅ 7

̅.

Геометрические свойства векторного произведения векторов

1. Если векторы

и

коллинеарны, то их векторное произведение

равно нулевому вектору.

Доказательство. Если векторы

и

коллинеарны, то угол между

торов и :

| | ∙ ∙ sin ,

0. Модуль векторного произведе-

ния равен нулю, а значит векторное произведение

равно нулевому век-

тору.

нулевому вектору:

̅.

74

Доказательство.

Так как вектор

коллинеарен самому себе,

то по

свойству 1 его векторное произведение на себя равно нулевому вектору.

2. Если векторное произведение векторов и

равно нулевому век-

тору, то векторы

и коллинеарны.

Доказательство. Пусть

̅. Тогда

0 и |

| ∙

∙

∙

,

0. Следовательно,

угол между векторами

и

равен 0

или

180 , а значит векторы

и

коллинеарны.

3. Если векторы

и приведены к общему началу, то модуль вектор-

ного произведения векторов

и

равен площади параллелограмма, постро-

енного на векторах

и

:

парал.

.

Доказательство. Из элементарной геометрии известно, что площадь

между ними:

парал.

| | ∙

∙ sin

, . А это и есть модуль векторного

произведения векторов

и :

парал.

.

В частности, площадь треугольника, построенного на векторах и ,

привед нных к общему началу, находят по формуле:

∆

.

Пример 2.55. Векторы

и

взаимно перпендикулярны. Зная, что

| | 3,

4, найти

3

2 .

3

2

3

3

2

3

2

3

3

2

3

2

3

6

2

3 ̅

6

2 ̅

5

.

Найд м модуль искомого векторного произведения:

3

2

5

5

5| | ∙

∙

∙

,

5 ∙ 3 ∙ 4 ∙ sin

60.

Ответ: 60.

Пример 2.56. Найти площадь параллелограмма, построенного на век-

торах

3 ̅

2 и

2 ̅ , где |

̅|

4, |

|

3, ̅,

.

Решение. Воспользуемся формулой нахождения площади параллело-

грамма, построенного на векторах

и

:

парал.

. Найд м векторное

произведение

, используя алгебраические и геометрические свойства

векторного произведения. Получаем:

3 ̅ 2

2 ̅

3 ̅ 2

2 ̅

3 ̅ 2

2 ̅ 3 ̅ 2

3 ̅ 2

2 ̅

3 ̅

2 ̅

2

3 ̅

2

6 ̅ ̅ 4 ̅

3

̅ 2

6 ̅ 4 ̅

75

3

̅

2 ̅

7

̅ .

Найд м модуль искомого векторного произведения:

| 3 ̅ 2

2 ̅

| | 7 ̅

| 7| ̅ |

|

|

|

|

7

∙

,

7 ∙ 4 ∙ 3 ∙ sin

42√2.

̅∙

Ответ: 42√2.

Выражение векторного произведения векторов через коорди-

наты перемножаемых векторов

Векторы

и

заданы своими координатами:

; ;

и

;

;

. Запишем разложение векторов

и по ортам координатных

осей:

̅

̅

,

̅

̅

. Используя определение век-

найд м векторное произведение векторов

и :

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅ ̅

̅

̅ ̅

̅ ̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅

̅ ̅

̅

̅

.

тами третьей строки являются координаты второго вектора.

Пример 2.57. Даны векторы

5 ̅ 3 ̅

и

2 ̅ 4 ̅ 7 .

Найти их векторное произведение.

Решение. Векторы

и заданы через разложение по ортам коорди-

натных осей. Запишем координаты векторов:

5; 3;

1 ,

2; 4;

7 . Применяя формулу нахождения векторного произведения

векторов через координаты перемножаемых векторов, получаем:

̅ ̅

̅

̅

̅3

1

̅ 5

1

5

3

1

2

4

7

4

7

2

7

5

3

17 ̅ 37 ̅ 26 .

2

4

В условиях примера

∆

|

|. Найд м координаты векто-

ров

и

, учитывая, что при нахождении координат вектора нужно из

координат конца вектора вычесть координаты его начала:

5 1; 6

1 ; 2 2

4; 5; 0 ;

1 1; 3

1 ; 1 2

0; 4; 3 .

Далее найд м векторное произведение векторов

и

:

̅

̅

̅

̅

̅ 5

0

4

5

0

0

4

3

4

3

̅4 0

4

5

15 ̅ 12 ̅ 16 .

0

3

0

4

Тогда площадь треугольника:

|

|

∆

√15

12

16

√625

12,5.

Ответ: 12,5.

Пример 2.61. Вектор ̅, перпендикулярный к оси

и к вектору

8; 15; 3 , образует острый угол с осью

. Зная, что | ̅|

51, найти его

координаты.

Решение. Так как по условию вектор

̅перпендикулярен оси , то

вектор

̅перпендикулярен орту оси

, то есть вектору

0; 0; 1 . Вектор

который вектор

,

коллинеарный вектору

̅, как векторное произведение

векторов

и

:

̅

̅

̅

̅

0

0

1

15 ̅ 8 .̅

8

15

3

: |

|

Далее найд м модуль вектора

√15

8

17. По условию

| ̅| 51 и вектор

̅образует острый угол с осью

, поэтому

̅ 3

45; 24; 0 .

Ответ:

45; 24; 0 .

2.15. Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением тр х векторов

,

, ̅называется скаляр-

ное произведение векторного произведения векторов

и

на вектор

̅:

∙

̅.

Это произведение называют ещ

векторно-скалярным произведением

тр х векторов

,

,

̅.

Используется обозначение:

̅.

Пример 2.62. Вектор ̅перпендикулярен векторам

и

, угол между

векторами

и

равен 30 . Зная, что |

|

6,

3, | ̅|

3, вычислить

̅.

Решение. Так как по условию вектор

̅перпендикулярен векторам

и

, то вектор ̅коллинеарен некоторому вектору

, равному векторному про-

изведению векторов

и

:

(рис. 2.43).

78

̅

Рис. 2.43. Вектор

̅, коллинеарный вектору , равному векторному произведению

векторов и

(к Примеру 2.62)

В условии примера не указано, является тройка векторов

,

,

̅левой

или правой, поэтому угол между векторами

и

̅равен 0

или 180 . С уч -

том сказанного находим смешанное произведение векторов

,

,

̅:

̅

∙

̅

∙ |

̅∙| cos 0

,

∙ |

̅∙|

1,

∙ |

̅∙| cos 180

∙ |

̅| ∙

1

∙ |

̅|,

|

| ∙

∙ sin 30

∙ |

̅,|

6 ∙ 3 ∙

∙ 3,

27.

∙ |

̅|

|

| ∙

∙ sin 30

∙ | ̅|

6 ∙ 3 ∙

∙ 3

Ответ:

27.

Геометрические свойства смешанного произведения векторов

1. Смешанное произведение векторов

,

, ̅– это число, абсолютная

рах , , ̅как на р брах: парал.

̅.

Доказательство. Построим параллелепипед, р брами которого явля-

ются векторы , , ̅. Построим вектор

̅

(рис. 2.44).