книги из ГПНТБ / Гликман Б.Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей

Если рассматривать гидравлический тракт как чистую ем­ кость (рис. 3,30, б), то уравнение баланса массы для нее запи­ шется! так:

где Q = Vp — масса жидкости в объеме V тракта;

Gi, G2 — расход жидкости на входе и выходе из тракта.

Здесь рСр, рср — среднее значение давления и плотности жидко­ сти;

Кт — модуль объемной сжимаемости жидкости. Величина 1(т связана со скоростью звука в жидкости * зависи­ мостью (3.9)

К ж= ? а \

После линеаризации соотношения (3.101), использовав зависимо­ сти (3.102) и (3.91), находим

Из уравнения гидравлического тракта как чистой емкости сле­ дует, что те—-постоянная времени такой емкости. Таким обра­ зом, в упрощенных уравнениях динамики гидравлического трак­ та (3.97) и (3.98) учитываются и инерционность -столба жидко­ сти в тракте, и ее сжимаемость, но все это как для звена с сосредоточенными параметрами, т. е. для всего столба жидкости как единого целого.

В исходных уравнениях (3.47) и (3.48) эти свойства жидко­ сти учитывались для каждого элемента столба жидкости в от­ дельности по длине тракта, так как столб жидкости рассматри­ вался как система с распределенными параметрами, т. е. учиты­ вались волновые процессы в тракте. В этом заключается отличие решений (3.47) и (3.48) от приближенных соотношений (3.97) и (3.98).

Использовав соотношения для граничных импедансов (3.37) и (3.38), введя среднее давление в магистрали как средне­

* Для простоты податливостью -стенок тракта -пренебрегаем.

157

арифметическое из давлении на входе и выходе, 'путем неслож­ ных преобразований из уравнений (3.100) и (3.103) можно полу­ чить упрощенное уравнение динамики тракта (3.98) без членов с

квадратом частоты со2. Даже в этом простейшем случае первого приближения магистраль оказывается элементом более слож­ ным, чем апериодическое звено первого порядка (см. табл. 2.1),.

так как члены г'ш имеются как в знаменателе, так и в числителе.. При этом уравнения для .колебаний параметров на конце трак­ та, противоположном месту внесения возмущений, оказываются уравнениями звена первого порядка, а для колебаний в месте внесения возмущения — уравнениями более сложными.

Если учитывать члены с квадратом безразмерной частоты со2, то положение не изменяется — гидравлический тракт оказывает­ ся элементом более сложным, чем колебательное звено. В знаме­

натель уравнения входит член со2= титесо2 [см. (3.99)], т. е. собст­ венная частота магистрали при упрощенном рассмотрении ее как колебательного звена определяется произведением инерционной

и емкостной постоянных времени. Сомножителем члена со2 вхо­ дит разность фі — 1р2, т. е. сумма граничных импедансов с обрат­ ным знаком *, которая определяется гидравлическим сопротивле­ нием всей магистрали.

Постоянная времени магистрали как апериодического звена первого порядка ** (тц — фіфгТе) равна сумме инерционной и ем­ костной постоянных времени. Вклад емкостной постоянной вре­ мени в общую постоянную времени магистрали определяется произведением граничных импедансов тракта фіфг, увеличиваясь по мере роста этой величины***. Если хотя бы один из граничных импедансов равен нулю, т. е. если один конец тракта открытый, го емкостная постоянная времени не вносит своего вклада в по­

стоянную времени магистрали (при первой степени ш). Упрощенные уравнения (3.97) и (3.98), описывающие дина­

мические характеристики гидравлического тракту пригодны для

ограниченного диапазона безразмерной частоты со, так как при упрощении отбросили члены с третьей и более высокими степе­

нями частоты со. При со = 0,5 отброшенный член третьей степени составляет 2%, при со = 1 — порядка 15% от значений статических членов.

На рис. 3.31 — 3.33 приведены кривые АФХ магистралей öwjöyi и öpi/öyi при различных значениях фі, фг и а, кривые точного решения, т. е. с учетом акустических эффектов, и кривые, рассчитанные по приближенным формулам с сохранением чле­

нов, содержащих со2, или с сохранением только членов с со.

15S

женных решений («= 1; і])і= —0,5; 4Jj2 = 2):

♦ —точная формула: И —приближенная формула с ш"; Д —приближенная формула только с ш

159

Сопоставление кривых показывает, что формулы с и2 удо­ влетворительно описывают динамические характеристики вплоть

до со«1. Дальше, при приближении со к значению л/2 наблю­ дается достаточно резкое отличие. Формулы с сохранением толь­

ко со пригодны до со = 0,1 -4-0,5. В тех случаях, когда один из граничных импедансов достаточно велик (см. рис. 3.32 для г|ч = = —100), кривые АФХ, рассчитанные по точным формулам и по

соотношению с учетом только первой степени со, не совпадают уже при малых, значениях со.

ю т— это одна и та же окружность*. Однако расположение то­ чек на окружности, соответствующих одной и той же безразмер­

ной частоте со, при расчетах по разным формулам оказывается различным. Относительно близко расположены точки, соответ­

ствующие частоте со = 0,5 для всех трех вариантов расчетов. В то же время для частоты со = 1 близко расположены точки для точ­

ной формулы и формулы с со2.

Сравнение результатов расчетов по различным формулам будет более наглядным, если использовать амплитудные и фазо­ вые частотные характеристики тракта. На рис. 3.34 приведены такие кривые для динамической характеристики тракта SzUi/Sj/i. Сопоставление кривых подтверждает приведенные выше оценки

* Наглядно подтверждается факт, что динамические характеристики гид­ равлического тракта даже в самом грубом приближении не описываются урав­ нениями типовых звеньев.

(60

значении безразмерной частоты ю, для_которых пригодны при­

ближенные формулы с о 2 или только с со.

Оценим для какой длины магистралей можно пользоваться приближенными зависимостями. Примем, что максимальная час­ тота, представляющая интерес с точки зрения динамики всего двигателя, равна 50 Гц (т. е. со~300 с-1), скорость звука в тру­ бопроводе 1000 м/с. При таких параметрах применимость фор­

мулы с учетом только первой степени со (оо<0,5) ограничена

/<1,5м , для формулы с учетом со2(со=£7 1)—длиной /< 3 м. Таким образом, в 'большинстве случаев для виутридвигатель-

ных магистралей можно ограничиться уравнениями с со2, а в

ряде случаев — простейшей формулой только с со. При этом не­ обходимо учитывать, что относительное влияние динамических характеристик гидравлических трактов на динамику всего дви­ гателя невелико (см. гл. VIII). Из этих соображений в большин­ стве случаев можно ограничиться наиболее простой расчетной

формулой, включающей! только первую степень со.

3.S. РАСЧЕТ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛОЖНЫХ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Гидравлические тракты двигателей и стендов для испытания Ж РД состоят обычно из участков трубопроводов с различными проходными сечениями и включают в себя местные гидравличе­ ские сопротивления (дроссели, шайбы/ форсунки ' и т. д.), эле­

Рис. 3.35. Схема сложной гидравлической цепи

менты системы регулирования и автоматики (регуляторы, клапа­ ны), насосы ТНА и т. д.

Для расчета сложных гидравлических цепей двигателей при­ меняют теорию четырехполюсников [31, 32] или решение пред­ ставляют в виде .цепочки трансцендентных уравнений, связыва­

ющих между собой амплитуду ті фазу колебаний в различных точках гидравлической цепи [56].

При использовании для расчета динамики двигателя ЭВЦМ

компонента 1 с насосом 5 и перепускной линией 2, по которой компонент перепускается после насоса на вход * в него. Далее тракт делится на Две ветви: ветвь 3, идущую в газогенератор, н ветвь 4, идущую в камеру сгорания. Каждая из ветвей 3 и 4 об­ щего тракта делится на два-три участка, между которыми име­ ются местные гидравлические сопротивления, коэффициент со­ противления которых может изменяться внешним устройством.

Схема гидравлического тракта, приведенная на рис. 3.35, яв­ ляется типичной для трактов двигателя.

Введем следующие обозначения:

а) ннжннй двойной индекс, первая цифра которого означает номер ветви

границах между участками тракта. Соответствующие коэффици­ енты вводятся во все уравнения для граничных пмпедансов на входе каждого участка тракта.

Выведем уравнения для типичных элементов сложного гид­

2. Конец тракта у газовой емкости (.тзг=1— форсунки газо­ генератора). Уравнение граничного импеданса

■ В/7ГГ— фз 2 0 ^ 3 2 — ?3 20/?3 2 — 0 .

3. Неоднородность в виде местного гидравлического сопротив­ ления на стыке двух і и (і—1) участков т-й ветви.

Уравнение неразрывности

8 ® т { 1 -1 ) — 8 ® т і = 0 .

* Перепуск необходим, например, в эжектор (см. гл. V) пли для регуля­ тора и т. д.

102

165

каждого стыка между участками используются уравнения связи в форме условий на неоднородности в виде местного гидравли­ ческого сопротивления (п.З) пли центробежного насоса (п. 5). В обоих случаях эти неоднородности описываются двумя урав­ нениями: неразрывности я гидравлического сопротивления, или напора.

Все условия на концах ветвей (п. 1, 2, 4, 6, 7, 8) описываются одним уравнением. Соответственно общее число граничных ус­ ловий равно 2т.

Подставив 2п решений (3.104) и (3.105) в 2п граничных усло­ вий, находим систему из 2/г линейных алгебраических уравнений для определения постоянных Сц и Dij. Например, для первой вет­ ви из условий на входе (не учитывая вторую ветвь) можно за­ писать:

°п (Сц — D u)— фіі (Си -|-О и)—YuSi/ii-

Продолжая подстановку решений в соотношения для граничных условий на концах участков, найдем остальные уравнения систе­ мы. Матрица коэффициентов системы приведена на табл. 3.1 (исключая для упрощения вторую ветвь).

Если трением о стенки участков тракта пренебречь нельзя и нельзя его компенсировать изменением величин граничных им-

дах внешних возмущающих воздействий: Для других возмуще­ ний, т. е. воздействий на местные гидравлические сопротивления на местах стыка участков тракта Ьуц, коэффициенты стоят в со- ■ответствующих строчках правой части.

167