книги из ГПНТБ / Гликман Б.Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей

у ’ (1 + Р)(5—2ß + 5ß2)

п2 (Юр — ß2— 1)

где ß — отношение малой полуоси овала к большой.

При небольшой эллипсности коэффициент г| с достаточной точ­ ностью может быть представлен в виде

толщины стенки трубы, то величина трдля трубы овального сече­ ния будет существенно выше, чем для трубы круглого сечения. Благодаря этому скорость распространения звука при наличии эллипсности трубы существенно уменьшается. Так как трубы между баком ракеты и двигателем имеют обычно малую толщи­ ну, то для них небольшая эллипсность существенно влияет на скорость распространения звука. При этом, однако, не следует забывать, что под влиянием внутреннего давления эллипсность трубы уменьшается.

Для оценки влияния различных параметров приведем урав­

и масштабные параметры: I — длина тракта;

■иуср—-среднее значение скорости; р ср— среднее значение давления;

Ija— время пробега акустической волной от начала до конца тракта.

107

Разделив первое из получившихся уравнений на величину коэф­ фициента при его третьем члене, а второе — на коэффициент при первом члене, находим

Здесь M = wcv[a — число Маха.

Так как для гидравлических трактов М<С 1, то соответствую­ щими конвективными членами в уравнениях (3.19) и (3.20) мож­ но пренебречь. В оставшиеся члены входят два безразмерных параметра: ршСра/Рср='а и Арсрірср. Параметр а является без­ размерным приведенным волновым сопротивлением, характери­ зующим при акустических колебаниях связь между изменениями скорости и давления.

Понятие «сопротивления» используется по аналогии с электротехникой, в которой сопротивление—коэффициент связи между изменением тока и на­ пряжения. Для акустических колебаний коэффициент связи между изменением скорости (тока) и давления (напряжения) в акустической волне также назы­ вается сопротивлением.

После приведения уравнений (3.11) и (3.15) к безразмерному виду волновое сопротивление pa стало -безразмерным рwa/p и этот параметр приобрел свойства критерия подобия. Течения с одинаковыми значениями а и Ар/р (с учетом граничных усло­

первую очередь определяется силами трения жидкости о стенки, а акустические эффекты имеют меньшее значение. Для Ж РД по­ добный анализ имеет определенный смысл, так как в гидравли­ ческом тракте двигателя есть участки (зарубашечная полость камеры сгорания), на режим течения компонента в которых большое влияние оказывает распределенное вязкое трение о

стенки тракта.

Вернемся к решению уравнений динамики -гидравлического тракта. Для задач регулирования в большинстве случаев можно

108

ограничиться малыми отклонениями (вариациями) параметров (см. § 2.1). Малость отклонения определяется тем, что квадра­ том и более высокими степенями вариаций можно пренебречь по сравнению с самой вариацией. Выделив малую переменную со­ ставляющую параметров w = wcp+ 8w'; öp = pCp+èp', где wcp и Pep — средние стационарные значения параметров, приведем вариации скорости бw' и давления öp' к безразмерному виду, отнеся их передним значениям варьируемых величин бр = 6 р7 Рср; öw = öw'/wcp. Тогда й; = 1 + б«і, р=<1 +8р. Подставив эти значения параметров в уравнения (3.19) и (3.20), отбросив конвективные члены, находим уравнения движения жидкости в малых отклоне­ ниях *:

Для анализа динамических характеристик и устойчивости сис- -темы наибольший интерес представляют вынужденные колеба­ ния в элементах системы. Динамические (частотные) характери­ стики системы определяют реакцию системы на гармоническое возмущение из внешнего источника. При анализе устойчивости системы также используются частотные характеристики элемен­ тов.

Рассмотрим случай, когда внешние воздействия приложены в виде гармонических (синусоидальных) возмущений на концах тракта. Для проведения промежуточных преобразований удобно задать возмущение в виде комплексного выражения— экспонен­

циальной функции Ъу — Ь у е іа1. Так как над этими функциями будут совершаться только линейные операции, то действитель­ ную их часть можно при необходимости выделить из окончатель­ ного выражения. Частное периодическое решение системы урав­ нений (3.21) — (3.22) ищем в формуле установившихся гармони­ ческих колебаний:

Здесь бр и öiv — амплитуды колебаний давления и скорости. Амплитуды — величины комплексные, зависящие от частоты. В решении (3.23) присутствуют только члены, определяющие колебания давления и скорости жидкости с одной безразмерной

частотой со = со1/а, т. е. установившиеся гармонические колебания, после завершения переходных процессов. Таким образом на­ чальные условия, которые определяют переходные процессы в

* Здесь и далее будем опускать индекс «ср» для средних значений пара­ метров р, w и Др.

109

величинам, то уравнение (3.28) приобретает следующий вид:

или постоянной распространения. Уравнению (3.29) соответству­ ет характеристическое уравнение <72 +/г2 = 0 , корни которого

где й= Л/а = Д/?/(ртш).

Волновое число_можно разбить на веіцгственную и мнимую

составляющие: £ = о/—ib', которые определяются зависимостя­ ми [79]:

“' “ “ / т І / '+ 'М - т У + Ф

т [ і / 1+ 4 (т )2_1]- .

При /?/а<Ссо эти соотношения.упрощаются:

b ' ^ b = — ;

а

а для волнового члена можно записать

где h — а=ртюа(р\ b= hja = Apl(pwa).

Дігфференциальное уравнение для амплитуды колебаний давле­ ния имеет точно такую же форму, как и уравнение для колеба­ ний скорости (3.29), и соответственно — одинаковое характери­ стическое уравнение. Решение для уравнения 2-го порядка (3.29) имеет, как известно, вид

Волновое число k в общем случае при А р ф ®— величина ком­ плексная. Лишь при /гсо/аСю2, т. е. при относительно малом

111

гидравлическом сопротивлении и достаточно большой частоте, вторым слагаемым в соотношении (3.31) можно пренебречь, и в

пользуя обратные преобразования, можно получить решение. При анализе вынужденных колебаний обратные преобразования не используются и кажется, что более наглядным является использование частного периодического решения в форме зависи­

Так как параметры k и х в общем случае величины произволь­ ные, то для соблюдения последнего равенства необходимо, чтобы

коэффициенты при е'А'-г и е~ікх были одинаковыми в левой и правой частях равенства. Из этого условия определяется связь

Учитывая эти соотношения, запишем в новой форме уравнение для вариации давления

В полученных решениях (3.34) и (3.35) вариации скорости и давления зависят как от координаты х, так и от времени_7. Одна­ ко при постоянном значении показателя экспоненты шt + kx =

= const для первых слагаемых в решениях и -со?—kx = const для вторых слагаемых в решениях эти члены остаются посто_янными.

Если влияние трения невелико и можно принять, что Ъ'~ 0, то

слагаемые и описывают распространение волн постоянной формы, бегущих вдоль тракта в разных направ­ лениях. Действительно, если вернуться к размерным параметрам

в показателе wt — kx — — (at —x), то постоянство показателя

П2

степени сведется к условию (at—x)=const. Если в момент і = 0 волна давления имеет какое-то распределение по длине, опреде­ ляемое коэффициентом D, то в момент t=t\ распределение пара­ метров в волне давления сохранится, только волна переместится вдоль тракта (рис. 3.2) на расстояние aty в положительном направлении по координате я.

С помощью аналогичных рассуждений можно показать, что

второй член Се'(“7+*-г) описывает распространение волны давле­ ния, бегущей по тракту в обратном направлении. Если учесть относительно небольшое вязкое трение, подставив значение вол­ нового числа k из соотношения (3.31) .в решение (3.35), то оно приобретает несколько другую форму:

В этом случае, кроме экспоненциальных членов с чисто Мнимым показателем степени, описывающих распространение волн, поя­ вились члены с вещественными показателями, характеризующи­ ми затухание волн по длине из-за вязкого трения. Форма коле­ баний при Ъ'ФО изменяется в процессе движения волны вдоль тракта.

Гидравлические магистрали в двигателе являются основными элементами, связывающими между собой агрегаты двигателя — ТНА, газовые емкости, регуляторы и т. д. При этом параметры на входе и выходе из магистрали (давление, скорость или рас­ ход 'компонентов) одновременно служат входными или выходны­ ми параметрами для этих агрегатов. В то же время параметры, характеризующие протекание процессов в агрегатах (уровни давления, расходы, обороты и т. д.), являются внешними возму­ щающими воздействиями для гидравлической магистрали. При этом в замкнутой системе на магистраль одновременно действу­ ют возмущения с обоих концов (рис. 3.3): со стороны входа

113

( £ = 0 ) возмущение в виде вариации параметра бг/х агрегата, из которого поступает в магистраль жидкость, и вариация парамет­ ра öz/ 2 агрегата, в который из магистрали поступает компонент.

В общем случае со стороны каждого из концов может дейст­ вовать не одно, а несколько внешних возмущающих воздействий, например, изменение частоты вращения ТНА, давления на вхо­ де в насос и т. д. В этом случае (так как система линейная) воз­ мущения суммируются.

На входе и выходе магистрали в общем случае могут быть установлены местные гидравлические сопротивления. Из-за со­ противлений на концах давление в тракте 'будет зависеть и от изменения внешних параметра бух или бт/2 , и от изменения ско­ рости (расхода) жидкости. Аналогичное положение имеет место и на выходе из насоса, так как создаваемое центробежным насо­ сом давление зависит как от его частоты вращения и давления на входе (внешние параметры), так и от расхода жидкости через насос, т. е. через магистраль.

Учитывая отмеченные особенности, удобно записать гранич­ ные условия в следующей форме, описывающей поведение сис­ темы как при вынужденных, так и при свободных колебаниях:

ние) на входе и выходе из магистрали;

Yj, Y2— коэффициенты усиления для вариаций внешних воз­ мущений на входе (бу і) и выходе (бі/г);

Ъуг, Ьуо— вариации внешних возмущающих воздействий. В общем случае как граничные импедансы, так и коэффициенты усиления для внешних возмущений могут, быть комплексными величинами, зависящими от частоты. Внешними возмущениями бі/і или бі/ 2 для гидравлического тракта являются колебания параметров в агрегатах, связанных между собой гидравлическим трактом (давления в газовых емкостях) частота вращения насо­ сов и т. д.). В частных случаях при анализе особенностей дина­ мических характеристик тракта или при экспериментальном их определении в качестве внешнего возмущения удобно принять амплитуду колебаний параметра потока в какой-либо проме­ жуточной точке тракта.

При свободных колебаниях внешние возмущения отсутству­ ют*., т. е. б|/і = бу2 = 0 .

В качестве примера граничного импеданса рассмотрим усло­ вия на конце магистрали, из которой компонент поступает в фор­

* Вернее, уже отсутствуют, так как причиной свободных колебаний явля­ ются возмущения, которые действовали на систему раньше.

114

суночную головку камеры сгорания или газогенератора. В об­ щем случае необходимо учитывать изменение количества жидкости в головке за счет сжимаемости жидкости и податли­ вости стенок. Кроме того, в каналах форсунок жидкость имеет достаточно большую скорость и соответственно ощутимую инер­ ционность.

Если учесть все эти эффекты, граничный импеданс оказывает­ ся величиной комплексной, зависящей от частоты. Для простоты в первом приближении, пренебрегая указанными факторами, будем считать форсуночную головку как чистое (активное) гид­ равлическое сопротивление, для которого связь между расходом G и перепадом давления описывается обычной формулой гид­ равлики:

где р.Е'ф—площадь проходного сечения форсунок с учетом коэф­ фициента расхода р,;

f t и рк — давление перед форсунками (выходное сечение гид­ равлического тракта) и в камере сгорания.

Линеаризовав уравнение гидравлики (3.39) и приведя вариа­ ции к безразмерному виду, находим граничное условие на выходе

Ър2 — колебания давления в камере сгорания

самплитудой 8рк.

Вкачестве другого примера граничных условий рассмотрим условия на входе в магистраль, в которую компонент подается центробежным насосом. Вопрос о динамике движения жидкости

впроточной части центробежного насоса будет рассматриваться подробно ниже, в гл. V. Там будет показано, что, если прене­ бречь инерцией жидкости и кавитационными явлениями в про­ точной части насоса, то в линеаризованном виде уравнение насо­ са имеет вид ■

(3.41)

&Ря

115

где 8 Д р н , Д/’н— амплитуда 'безразмерной вариации напора и на­ пор, развиваемый насосом;

8д , Ьро— амплитуды безразмерных вариаций давления на выходе из насоса (во входном сечении гидравли­ ческого, тракта) и на входе в насос;

Ьп— амплитуда безразмерной вариации частоты вра­ щения ТНА;

жидкость подается на вход в магистраль центробежным насосом

(х = 0):

где — граничный импеданс входного сечения гидрав-

Рі

личеокого тракта;

-Eli- (і)л = уі— коэффициент усиления для колебаний частоты

Р\

вращения ТНА;

— = Y i— коэффициент усиления для колебаний давле-

Р1

ния перед входом в насос.

В данном случае во входном сечении гидравлического тракта действуют одновременно два независимых внешних возмущаю­ щих воздействия: колебания частоты вращения в ТНА с ампли­ тудой Ьп и колебания давления на входе в насос с амплиту­

дой бр0.

Для других вариантов условий на концах трубопроводов со­ отношения граничных имледансов находятся аналогичным путем.

Подставив в граничные условия (3.37) и (3.38) решения для

116