книги из ГПНТБ / Гликман Б.Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей

Уравнение неразрывности

уравнение состояния, которое в данном случае удобно записать в следующей форме:

ор. __ __ d p (3.59)

Рdp

где К;К— модуль объемного сжатия жидкости.

Для упрощения исходной системы уравнений введем безразмер­ ные переменные-.

Уравнение (3.56) после введения безразмерных переменных и деления всех членов на рaycpa/L (коэффициент при первом члене) принимает вид

При втором и третьем членах в левой части последнего уравне­ ния стоит множитель ауср/а = М, и так как число Маха в потоке очень мало, т. е. М<СІ, то этими двумя конвективными членами можно пренебречь. _

В правой части коэффициентом при производной от давления является обратная величина приведенного волнового сопротивле­ ния, имеющая обычно порядок единицы. Члены, учитывающие вязкое трение, имеют коэффициенты р,/(ра£) или р/ {paR). Так как Д<СТ, то члены с коэффициентом p/(paL) пренебрежимо малы по сравнению с членами с коэффициентом р,/{paR). Итак,

127

первое уравнение принимает следующий вид:

В результате аналогичных преобразований второго уравнения

В левой части этого уравнения все члены имеют коэффициенты R2/L2<c l , т. е. ими можно пренебречь. В правой части все члены, кроме первого, имеют коэффициент ц/(рab). Последняя величина заведомо весьма малая. Действительно, ее можно представить следующим образом:

и так как каждый из сомножителей — величина, меньшая едини­ цы, то и их произведение во много раз меньше единицы. Если воз­ никают сомнения о величине числа Рейнольдса, то этот же вывод можно сделать просто из анализа структуры безразмерного комп­ лекса раЫц. Этот комплекс является аналогом числа Рейнольд­ са, в котором в качестве масштабной скорости используется ско­ рость звука, а в качестве линейного масштаба— длина тракта. Скорость звука существенно больше скорости жидкости, а длина тракта больше диаметра, используемого в качестве масштаба

. при определении числа Рейнольдса потока в тракте. Благодаря этому анализируемый безразмерный параметр должен быть на порядки больше числа Рейнольдса для потока в тракте. Совер­ шенно ясно, что можно пренебречь членами, перед которыми сто­ ит обратная величина этого комплекса. Итак, от второго уравне-

д р п

ния остался один член ^ - = 1 ), т- е. давление в разных точках

d r

поперечного сечения тракта одинаково. Прежде чем приводить к безразмерному виду уравнение неразрывности (3.58), преоб­ разуем его, исключив из него с помощью уравнения состояния (3.59) производные от плотности жидкости. В результате полу­ чаем

128

Подставив в уравнение (3.61) безразмерные величины и разде­ лив все члены на pcp/(aL) (коэффициент при первом члене), на­ ходим

Последние два члена уравнения неразрывности имеют коэффи­ циенты М<§П и ими можно пренебречь. Окончательно уравнение неразрывности преобретает форму

После упрощения уравнения движения (3.60) и неразрывности (3.62) оказались линейными. Однако граничные условия в гид­ равлических трактах часто оказываются нелинейными. В связи с этим их необходимо линеаризовать, переходя к решению в виде суммы средней постоянной составляющей и малой переменной вариации параметра: р — рср-\-8р', откуда

Дер

Rea= - ^ ^ — число Рейнольдса по скорости звука в жидко-

сти.

Уравнения в малых отклонениях (3.63) и (3.64) не отлича­ ются от уравнений исходной системы (3.60) и (3.62). Это озна­ чает, что все полученные ниже решения пригодны и для исход­

ной системы, в которой не вводятся малые отклонения, но толь­ ко при линейных граничных условиях.

Как и раньше, ищем частное периодическое решение системы уравнений (3.63) — (3.64) в форме

где (о=сoLja, а Ьр, 8®л., bwr— безразмерные амплитуды соот­ ветствующих вариаций парамет­ ров.

Амплитуды — величины комплексные, зависящие от частоты,- Так как решения в форме (3.65) определяют режим установив­ шихся вынужденных колебаний системы, то начальные условия не оказывают влияния на решения и в связи с этим интереса не представляют.

Подставив решения (3.65) в систему уравнений (3.63) и (3.64), переходим к дифференциальным уравнениям, опреде­ ляющим амплитуды колебаний давления и скорости вдоль оси тракта и эпюру скорости по радиусу:

Приняв первую скобку в уравнении (3.66) за новую переменную

подставив Ьгдх из выражения (3.68) в уравнение (3.66) и учтя условие döpldr = 0, получим

Это уравнение типа Бесселя для новой переменной öz. При от­ сутствии вязкости, т. е. при |і = 0, öz=0. Физический смысл пе­ ременной 6z — дополнительные колебания давления, связанные с влиянием вязкости жидкости. Уравнение (3.69) имеет решение, конечное при Г=0, в виде зависимости

130

Соотношение (3.71) определяет связь скорости с градиентом давления вдоль тракта. Первый член правой части дает обычное соотношение между амплитудами скорости и давления в трак­ те при решении задачи в одномерной постановке. Второй член связан с распределением скорости по радиусу, и наличие этого члена показывает, что связь между скоростью и градиентом дав­ ления различна для разных точек сечения.

Введем среднюю по сечению амплитуду безразмерной скоро­

сти бwx:

1

nwx (x, (u)=— j* 2яг8даѵ(x, г, ш)сіг,

о

которую можно найти из зависимости (3.72), использовав фор­ мулы теории Бесселевых функций [30] *:

8и>д.(jc, ш) =

* После интегрирования по радиусу в качестве переменной в уравнении

остается только продольная координата х. Поэтому символ частной произ­ водной по X можно заменить на символ полной производной.

где J x іш Rea R_ — функция Бесселя первого рода пер-

L

вого порядка;

h

2

А (ш) =

h

Проинтегрируем по радиусу уравнение неразрывности (3.67), предварительно умножив все члены на 2яг.

показать [36], что после интегрирования по частям третьего члена

и произведя соответствующую замену в соотношении (3.76), на­ ходим уравнение для распределения по длине тракта амплитуды средней скорости жидкости

d x 2

132

Характеристическое уравнение для уравнения (3.78)

Подставив решение .(3.79) в соотношение (3.74), найдем уравне­ ние, описывающее распределение амплитуды давления по длине тракта:

Решения (3.79) и (3.80) очень похожи на соответствующие реше­ ния (3.34) и (3.36) для одномерной задачи. Граничные условия на концах тракта для средних по сечению значений скорости и давления задаем в точно таком же общем виде, как и для одно­ мерной задачи (см. § 3.2):

Подставив в граничные условия (3.81) и (3.82) решения (3.79) и

ция комплексная. При вязкости ц-ѵО, т. е. Rea->-oo или ю->-оо,

величины £->-0, а %-»— 1. При этом а о = а ; ßco= —іш. Подставив такие значения параметров в уравнения (3.83) и (3.84), получа­ ем уравнения для амплитуд скорости и давления в одномерном приближении (3.47) и (3.48).

133

В параметр ß, определяемый зависимостью (3.77), входят функции Бесселя от комплексного аргумента, которые выража­ ются через функции Томпсона [30]:

где beri и beii — функция Томпсона 1-го порядка;

Ьег и bei — функции Томпсона нулевого порядка.

Функции Томпсона 1-го порядка связаны с функциями нуле­ вого порядка зависимостями:

■ (3.87)

где Ьег'и b ei'— первые производные функции Томпсона. Для функций Томпсона нулевого порядка и их производных имеются

Рис. 3.10. Вещ ественная (£) и мнимая (х) со ­

ставляю щ ие параметра

ß = ß(co Re„)

подробные таблицы [65]. На рис. 3.10 приведены графики зависи­ мости вещественной £ и мнимой % составляющих параметра ß,

134

рассчитанные на ЭВЦМ Г. К- Анненковой. В качестве аргумента

Учтя, что ß=£-H'x и что при достаточно больших значениях па­

раметра "V coRea R/L действительная часть £<<1, экспоненци­ альную функцию в первом приближении можно представить в следующем виде:

e±ßo) _ e i(c+i'x)cu = (1 -f ^co) 屑ѵ.ш.

Тогда из соотношения (3.88) найдем

Последняя формула отличается по структуре от аналогично преобразованной формулы (3.48) тем, что второй член в знаме­

нателе зависит от частоты. При хш—н*(2л+ 1) -j- cos^co —»0,

sin/ш—►1, модуль амплитуды колебаний давления при резонансе

ор 1; [(2я+1)-

Таким образом, более строгое решение задачи о вынужденных колебаниях жидкости в тракте с учетом изменения эпюры скоро­ стей дает качественно новый результат — величина резонансного максимума изменяется не только в силу изменения коэффициен­ та вязкого трения, но зависит также от частоты, уменьшаясь с ее ростом, т. е. с ‘увеличением номера резонансного максимума.

Формула (3.89) приближенная*. На рис. 3.11 и 3.12 приведе­ ны кривые амплитудных и фазовых частотных характеристик гидравлического тракта при различных значениях числа Rea, ха-

* Т ак как при ю-*-оо g-Я ) (см . рис. ЗЛО), то этой зависим остью м ож но

пользоваться только в ограниченном д и ап азон е значений со.

135

растеризующего роль вязкого трения в длинных гидравлических трактах [6]. Так как комплекс Rea= pa/?/[_t зависит и от вязкости, и от радиуса тракта, то приведенные на рис. 3.11 и 3.12 кривые молено относить к трактам разного диаметра, по которым течет одна и та же жидкость, или к тракту одного диаметра, но с жид­ костями разной вязкости. Представленные на рис. 3.11 и 3.12

частотные характеристики относятся к тракту, на входе которого- (z = 0) заданы колебания давления öp = bp\ (т. е. фі = 0), а на выходе (£=1) имеется Местное гидравлическое сопротивление,

136