книги из ГПНТБ / Гликман Б.Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей

эпюры скорости при колебаниях достаточно резко отличается от стационарной. При неустановившемся движении в отдельные моменты времени возможно обратное движение жидкости у стен­ ки, хотя средняя скорость не меняет своего знака при любых фазах колебаний.

Если средний расход жидкости равен нулю, а мгновенное зна­ чение расхода изменяется по гармоническому закону, то картина распределения скорости по радиусу изменяется (рис. 3.22). Так же как и для ламинарного течения, максимум скорости смещает­ ся к стенке, причем с ростом без­ размерного параметра Ф макси­ мум скорости приближается все ближе к стенке. В ядре потока скорость практически не меняет­ ся по радиусу.

Таким образом, для турбулент­ ного режима течения в трубе, так же как и для ламинарного, при колебаниях образуется присте­ ночный пограничный слой, кото­ рый занимает незначительную часть сечения трубы.

Влияние трения сконцентриро­ вано вблизи стенки, и по мере роста частоты колебаний жидко­ сти уменьшается толщина слоя, на который оказывает влияние

рость в ядре, где определяющую роль играют инерционные

СИЛЫ.

Изменение эпюры скорости приводит к изменению и силы трения на стенке трубы. На рис. 3.23 представлены результаты

— 1 dw

расчетов относительной силы треният0= -------- р-

г0 дг

(где То — сила трения на стационарном режиме) при различных значениях параметра 9 = — (2/?)2(Re = 105). Здесь же приве­

ден график изм£нения среднего расхода G. Сопоставление кри­ вых для низкой частоты (■&=1 0 4 — кривая 2) и высокой частоты (■6'= ІО6 — кривая 1) показывает, что при низкой частоте относи­ тельная сила трения изменяется в такт .с изменением расхода практически без сдвига фазы. При высокой частоте появляется явный фазовый сдвиг (сила трения опережает по фазе средний расход), изменяется амплитуда колебаний силы трения и в неко-

147

торые моменты появляется отрицательное трение, т. е. жидкость у стенки двигается в направлении, противоположном течению основного потока (см. рис. 3.21).

3.6. АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ТРАКТОВ

Одним из удобных способов представления динамических ха­ рактеристик объекта является построение его амплитудно-фазо­ вых характеристик (АФХ). Вид АФХ гидравлического тракта зависит от того, для какого места тракта (по отношению к месту внесения возмущения) определяются вариации параметров. При этом принципиально отличаются формы кривых АФХ, построен­ ных для вариации параметра у конца трубы, со стороны которого вносится возмущение, от кривых для вариаций параметров у противоположного конца. На рис. 3.24 и 3.25 приведены кривые АФХ гидравлической магистрали бніг/бі/і и ЬШг/буо без учета вязкого трения (5= 0) при одинаковых значениях граничных импедансов (фі = 0 ; фг = 2 ) и при разных значениях волнового со­ противления а. Из общей зависимости (3.47) после несложных преобразований находим соотношение для амплитуды колебаний

Из выражений (3.93) и (3.94) следует, что для АФХ биіг/бг/і и

бгсг/бг/г положение точек, соответствующих со = /гя, не зависит от волнового сопротивления а. Для вариации параметра на конце тракта, противоположного месту внесения возмущения с часто­

той ш = я/2 , амплитуда колебаний зависит от соотношения между

колебаний жидкости и частоте со = я/ 2 будет соответствовать ми­ нимуму амплитуды. Максимум на АФХ в этом случае имеет место

при частоте ш = я. Все кривые АФХ бгИг/бі/і симметричны относи­ тельно мнимой и действительной оси.

Совершенно иной характер имеют кривые АФХ для колеба­ ний параметров на конце тракта, со стороны которого вносится

149

На рис. 3.27 приведены кривые АФХ гидравлического тракта при согласованной нагрузке на одном из концов тракта. АФХ для колебаний на конце тракта, противоположном месту внесе­ ния возмущений (кривые / и 2), относятся к двум случаям со­ гласованной нагрузки: на входе в тракт (кривая 1), т. е. на кон­ це тракта, со стороны которого вносится возмущение, и на дру­ гом конце (кривая 2) — на выходе из тракта. В обоих случаях АФХ имеет форму окружности с центром в начале координат, т. е. по виду это АФХ звена с чистым временным запаздыванием [21]. Кривая АФХ бйУг/бг/г при согласованной нагрузке на выходе

Все приведенные выше кривые АФХ относились к вариациям скорости на выходе или входе в гидравлический тракт. В нашем случае колебания скорости связаны с колебаниями давления на концах труб статической связью — граничными нмпедансами і|ч и ф>2 - В связи с этим кривые АФХ для колебаний давления на концах труб отличаются от приведенных выше кривых АФХ для колебаний скорости только масштабом.

Если сила трения жидкости о стенки относительно невелика, то ее влияние на динамические характеристики гидравлического тракта незначительно. Из анализа уравнений гидромеханики [см. формулы (3.19) и (3.24)] следует, что если

Ьрір

рwo. а

величина малая, то влиянием трения можно пренебречь.

Для определения масштаба малости этого параметра необхо­ димо сравнить потери на трение с гидравлическими потерями на концах тракта, т. е. величину ab с граничными нмпедансами. Ес­ ли величина_5 сама существенно меньше единицы и соблюдают­

На рис. 3.28 приведенные кривые АФХ гидравлического трак­ та бйіг/бг/і при достаточно больших значениях граничных импедансов (фі = —0,5; фг = 2) с учетом трения (кривая 1) и без учета трения (5= 0 — кривая 2). Сопоставление этих кривых показы­ вает, что ошибка из-за пренебрежения трением не превышает Ш—15% даже в том случае, когда коэффициент вязкого трения 5 всего в пять раз меньше граничного импеданса фі/а. Для исключения этих ошибок можно ввести компенсацию распреде­

152

Для чисто активного граничного импеданса в виде местного гид­ равлического сопротивления, если [см. формулу (3.40)] |ф;| = = 2Дрі/р, формула (3.95) может быть сведена к виду

где Дртр — гидравлические потери по длине тракта на трение;

Apt — гидравлические потери на местном сопротивлении на границе тракта.

Рис. 3.29. АФХ гидравлической магистрали с учетом н без учета трения

1

для случая I 4/ 1< — (а = 1)

а

Если импеданс на одном из концов меньше (по модулю), чем на другом, то добавочное сопротивление трения Дртр целесооб­ разно прибавлять целиком к гидравлическому сопротивлению конца с меньшим импедансом. Если фі и фг одного порядка, то можно сопротивление трения Артр разделить пополам и приба­ вить к обоим местным сопротивлениям на концах.

На рис. 3.28 приведена кривая АФХ тракта без трения (кри­ вая 3), но с компенсацией трения изменением граничного импе­

153

данса на входе в тракт грі — его величина изменена с —0,5 на —0,7 (5= 0,1; а = 1). При такой компенсации трения кривая АФХ тракта, рассчитанная по более простой формуле без учета трения (5= 0), практически совпадает с кривой 1 АФХ, рассчитанной с учетом трения.

Если условие |і|н |< (5 а) не соблюдаются, т. е. в случае ма­ лых значений обоих граничных нмпедансов, компенсация трения изменением граничных нмпедансов дает худшие результаты. На рис. 3.29 приведены кривые АФХ гидравлического тракта 6г52/6г/2

ем обоих граничных нмпедансов, совпадает с кривой 2, рассчи­ танной с учетом трения только в области относительно низких

безразмерных частот ш ^я/2. При этом кривые АФХ с компен­ сацией трения изменением граничных нмпедансов находятся по одну сторону от кривых для решения с учетом трения, а кривые 1 без учета трения (5= 0) и без его компенсации — по другую сторону..

Таким образом, использовать решение без трения с компен­ сацией трения изменением граничных нмпедансов можно во всех случаях в диапазоне относительно невысокой частоты со<я/2, а для любых частот — только при достаточно больших значениях граничных нмпедансов ф,У'а по сравнению с безразмерным коэф­ фициентом трения 5. Подобные выводы можно сделать и непо­ средственно из анализа выражений (3.47) — (3.48), приводя их (с учетом коэффициента Б) к форме соотношения (3.93) и (3.94) для резонансных частот, для которых влияние трения наиболее ощутимо.

3.7. УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ В ТРАКТЕ

Уравнения (3.47) и (3.48) для вынужденных колебаний жид­ кости в тракте .с учетом акустических эффектов оказываются слишком громоздкими и в связи с этим неудобными для исполь­ зования, в расчетах динамических характеристик двигателя. С другой стороны, в ряде случаев уравнения с учетом акустиче­ ских эффектов для гидравлических трактов двигателя не нужны, так как для них частота первого тона собственных колебаний [см.'формулы (3.52) и (3.53)] существенно выше частот, пред­ ставляющих интерес для рассматриваемой задачи. В этом случае динамические характеристики гидравлического тракта могут быть описаны с достаточной точностью более простыми зависи­ мостями, если рассматривать тракт как систему с сосредоточен­ ными параметрами. В нашем случае для получения упрощенных соотношений можно воспользоваться решениями (3.47) — (3.48)^

разложив в ряд экспоненциальные члены, приняв 5= 0, k = a,

іо4

компенсировав при этом трение в тракте изменением граничных импедаисов по формуле (3.95). При разложении экспоненциаль­ ных членов учтем два члена ряда:

Подставив это соотношение в уравнения (3.47) и (3.48), после несложных .преобразований получим приближенную зависимость с учетом двух членов разложения в ряд:

для амплитуды вариации скорости

и для амплитуды вариации давления

72 (а + 4і) (1 — — m2 х 2— ш х ) — (а — 40 X

Ь р =

1 (4і — 4г) 2 (4і — Фг)“2 —

1 ----

X ( 1 — — о)2 X 2 + і о) х j j 5 г/ 2

7і |(а + 4г) 1 ---- “ о)2 (1 —х)2 -{- іи» (1 —х) —

2 (4і — 4г) — ~ (4і — 4 2 ) о)2 —

155

Для выяснения физического смысла входящих в приближенные зависимости членов можно воспользоваться следующими оче­ видными соотношениями:

Эти же постоянные времени тц и те можно получить, проделав вывод уравнения гидравлического тракта отдельно как инерци­ онного или как емкостного звена.

Рис. 3.30. Схема упрощенной модели гидравлического тракта:

а — как инерционного звена; б — как емкостного звена

Если учитывать только инерцию столба жидкости в тракте, до уравнение его движения запишется (рис. 3.30, а) так:

d t

где, ри Р2 — давление на входе и выходе тракта;

Дг, I —' площадь поперечного сечения и длина тракта;

155