книги из ГПНТБ / Гликман Б.Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей

Г Л A B А . V

ДИНАМИКА ТУРБОНАСОСНОГО АГРЕГАТА

5.1.УРАВНЕНИЯ ТУРБИНЫ

Основной зависимостью, описывающей работу турбины как в статике, так и в динамике, является уравнение мощности тур­ бины

сі

где LaR= — -----адиабатическая работа газа в турбине;

Сі — абсолютная скорость истечения газа из сопел турбины;

GT — расход газа через турбину;

г]т — коэффициент полезного действия турбины. Адиабатическая работа определяется соотношением [66]

а расход газа через турбину (при докритическом режиме истече­ ния)

где рс — давление на срезе сопла турбины, зависящее от степе­ ни реактивности турбины р:

\ Ртт J

Степень реактивности турбины обычно определяется полуэмпиричѳской зависимостью

а, Ь, с — константы.

После линеаризации соотношений (5.1), (5.2) и (5.5) и приве­ дения вариаций параметров к 'безразмерному виду получаем сле­ дующие линейные уравнения для вариаций:

сопел ßTприведены на рис. 5.1 в зависимости от перепада давле­ ния на сопле р м/ргг для различных значений показателя адиаба­ ты газа к. При критическом и сверхкритическом режимах исте­ чения газа коэффициент ßT принимается равным нулю. Подста­

Р + (1 — р) (Рм/Ргг)

,х-1

(1 -- р) (Рм/Ргг)________.

Р + (1 — р) (РиІРгт)

219

р

Рс 1

8п = Ыі— относительная вариация частоты вращения ТНА. Давление за Соплами турбины дрс — 'параметр промежуточ­

ный; его можно исключить, подставив вариацию брс из соотно-

Рис. 5.1. Зависимость коэффициента скорости ßT от перепада давления Рм/Ргг и показателя адиабаты х

шения (5.10) в уравнение расхода (5.8). В результате получаем другую форму уравнения .расхода:

\_

Для коэффициента полезного действия турбины используют один из двух видов зависимостей:

или % = / 2 яг,

Ѵтт

ГД8 Ят РггІРм-

Линеаризация этих зависимостей привадит к следующим соотно­ шениям для івариации к. и. д. турбины:

Если турбина имеет заметную (реактивность, то аналогичное уравнение с учетом реактивности можно получить, подставив в уравнение (5.6) вместо соотношения (5.8) зависимость (5.12).

Приведенное выше уравнение мощности турбины относится к случаю, когда временем пребывания газа в коллекторе турбины (см. § 4.7) можно пренебречь или когда в коллектор газ подво­ дится по всему периметру. В случае необходимости учитывать

(5.7) запишем для струйки таза, проходящей через элементар­

Учтя, что согласно принятым условиям (см. § 4.7) давление вдоль коллектора в каждый момент считается постоянным, и исполь­ зовав для вариации температуры 6Ттсоотношение (4.62), проин­ тегрировав уравнение (5.16) по л: от 0 до /КОл, получаем оконча-

* Координата х отсчитывается (см. рис. 4.14) от входного сечения кол­ лектора соплового аппарата. Высота соплового аппарата постоянна,'площадь элементарной струйки'пропорциональна dx/lKол, где'7К0л — длина соплового аппарата.

221

тельно следующую зависимость для амплитуды вариации сред­ ней по колесу турбины адиабатической работы газа:

которую с учетом термодинамического соотношения (4.62) мож­ но переписать в других переменных:

— %-- 1 —

Подставив соотношение (5.18) в уравнение (5.6) и (5.13), нахо­ дим зависимость для амплитуды вариации мощности турбины с учетом распределенности выхода из 'газогенератора:

В случае распределенного выхода из газогенератора уравнение для вариации мощности турбины оказывается уже дифферен­ циальным, причем в уравнение входит производная от вариации мощности турбины.

5.2. УРАВНЕНИЯ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ НАСОСОВ

Уравнения насосов ТНА устанавливают связи между часто­ той вращения крыльчатки насоса, расходом жидкости через него с напором, развиваемым насосом, и потребляемой им мощ­ ностью. Изменение момента количества движения жидкости в колесе насоса определяется уравнением [53] (рис. 5.2)*

Vf

*То же воспринимается и в любой другой неподвижной точке внутри крыльчатки.

222

где Rz — составляющая главного момента ‘количества дви­ жения жидкости относительно оси z, совпадающей

сосью насоса;

г— радиус кольцевого элемента в потоке жидкости;

Будем рассматривать абсолютное движение, так как в от­

ла: по поверхности колеса fKи по сечениям потока на входе и вы­ ходе из колеса f і и f2. Для того, чтобы не учитывать нестационарность поля абсолютной скорости, А. А. Ломакин [53] вводит понятие среднего момента скорости на входе и выходе из колеса:

* На рис. 5.2 треугольник скоростей построен для выходного сечения 2 крыльчатки насоса. Соответственно ко всем индексам добавлена цифра 2.

223

Следует еще раз подчеркнуть, что абсолютная скорость дви­ жения жидкости в крыльчатке зависит как от угла поворота крыльчатки ■0 ', так и от времени. Для того чтобы избежать труд­ ностей с вычислением интегралов, необходимо сделать предпо­ ложение, что при изменении среднего расхода эпюра скоростей в крыльчатке не изменяется. С учетом этого предположения и фор­ мулы (5.21) первый интеграл в уравнении (5.20) принимает вид

S,

где s — элемент пути потока в крыльчатке. При интегрировании учли, что <?«/с№ = 0.

В работе [53] показано, что последние интегралы в соотноше­ ниях (5.22) и (5.23) равны и поэтому при суммировании взаим­ но уничтожаются. Интеграл от объемных сил (т. е. силы тяже­ сти) в правой части уравнения (5.20) из условий симметрии течения жидкости в колесе равен нулю. Последний интеграл в уравнении (5.20) дает момент сил взаимодействия колеса с пото­

Подставив значения интегралов из соотношений (5.22), (5.23) и (5.24) в уравнение (5.20), .находим новую запись уравнения мо­ мента количества движения для жидкости в колесе насоса:

224

Секундная работа сил (т. е. мощность), действующих на жид­ кость в крыльчатке, определяется крутящим моментом и рабо­ той сил давления на входе р\ и на выходе из колеса р2:

N—Л4крш-f-p xF xw^ — p2F2w2.

Сдругой стороны, работа сил связана с изменением кинетиче­ ской энергии жидкости. Использовав уравнение (5.26), находим

Sl

Учтя, что (йг= п; pwF = G, а для cu имеется соотношение (5.21), уравнение (5.28) преобразуем в зависимость, определяющую те­ оретический напор, развиваемый крыльчаткой:

Р2 —Р1 = -* -[(« “ — ™!) — (и? — ®і)] —

В действительности, в крыльчатке и в других элементах имеются потери на утечки, трение', удары, повороты жидкости и т. д., ко­ торые зависят от частоты вращения насоса и от расхода жидко­ сти через него. От этих же составляющих зависит и теоретичее-

кин напор (5.29), развиваемый насосом. Напорную характери­ стику насоса в статике удобно представлять [6 6 ] в виде многочлена

AA..CT= -Afts + ß№G+ CG2.

В динамике вследствие инерции жидкости в уравнении должны появиться дополнительные составляющие, описываемые интегра­ лом в уравнении (5.29). Кроме того, необходимо учитывать инер­ цию жидкости в неподвижных элементах насоса: входном пат­ рубке, спиральном отводе, диффузоре. Для этих элементов инер­ ционный член определяется так же, как и для гидравлического

.тракта с переменной площадью (см. гл. Ill):

где Fh — проходное сечение k-ro участка проточной части. Интег­ рал в уравнении (5.29) можно привести к более удобному виду

(см. рис. 5.2):

Окончательно уравнение напорной характеристики насоса мож­ но записать так:

dt dt

где коэффициенты Аа и Ап находятся с помощью интегралов в соотношениях (5.30) и (5.31). Для вычисления интегралов необ­ ходимо знать геометрические характеристики проточной части насоса. Линеаризовав уравнение напорных характеристик насо­ са (5.32), находим

?2 6

Сумма интегралов в выражении (5.34) берется по всем непод­ вижным элементам проточной части насоса (кроме крыльчатки).

В уравнение ТНА входит момент сопротивления, создаваемый насосами, который определяется уравнением (5.25). В это урав­ нение входят первый член, определяющий момент сопротивления в статике М„.Ст и интеграл, характеризующий инерцию жидко­ сти в насосе. По аналогии с соотношением (5.31) преобразуем интеграл в уравнении (5.25):

При выводе уравнений динамики для напорных характерис­ тик и момента сопротивления насоса не принимались во ‘внима­ ние кавитационные явления, которые могут иметь место в виде местной кавитации на шнеке или на входных кромках крыльчатки [3, 6 6 ]. Имеющиеся расчетные методики по динамике кавитации в насосе [73] носят полуэмпирический характер и требуют дальней­ шей экспериментальной проверки. Поэтому использование их при расчетах динамических характеристик двигателя в настоящее время не целесообразно.