книги из ГПНТБ / Гликман Б.Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей

и из второго граничного условия (3.38)

Здесь а' = і ^ - А = а і _ .

РCO

Для свободных колебаний жидкости, т. е. колебаний .без внеш­ них возмущающих воздействий, если в соотношениях (3.43) и (3.44) принять буі=бу2 = 0, то из них определяется связь между параметрами на входе и выходе тракта:

трі, находим соотношение для входного сопротивления тракта длиной I:

Из уравнений (3.43) и (3.44) определяем соотношения для коэффициентов С и D:

Тг (д' — Фі) ву2 — Ті (а' —г Фг) е !Нуі . (а' + Фі) (а' - ф2) е~/й - (а' - <h) (а' + Фг) е,й ’

Т2 (а' + Фі) 8#г — Ті (Д' + ф2) егй8ух_____

(а' + Фі) (“' — Фг) е~г* — (а' — фц) (а' + ф2) е/й

Подставив значения коэффициентов С и fl в решения (3.34) и (3.35), после преобразований получаем

(Д' + Фі) (а' — Фг) е~'й —.(а' — Фі) (а' + фг) еій

117

зависят от свойств жидкости, длины тракта и граничных импедансов -фі « фг-

При свободных колебаниях öyi = 6 г/ 2 = 0, и в то же время ам­ плитуды колебаний давления и скорости в общем случае отлич­ ны от нуля. Это возможно, если знаменатель в решениях (3.47) и (3.48) равен нулю. Условие равенства нулю характеристического

рактеристическое уравнение (знаменатель уравнений (3.45) и (3.46)) запишется так:

тельной и мнимой частей, решение которых возможно только чис­ ленно. Оценим величину

жидкости можно пренебречь. Этот факт хорошо известен в тео­ рии колебаний [75]. Без учета трения характеристическое урав­ нение существенно упрощается. Если принять, что собственные

числа системы — величины комплексные ß= v-t-ico, то после

119

ния, т. е. система не имеет собственной частоты. Это условие является граничным [см. формулу (3.52)] для перехода * системы от собственной частоты, соответствующей симметричным гра­ ничным условиям, к собственной частоте, соответствующей несимметричным граничным условиям, т. е. соответствующей пе­ реходу от тракта с обоими открытыми или обоими закрытыми (в акустическом смысле) концами к трубе с одним открытым, а другим — закрытым концом.

120

Таким образом, в зависимости от значений ірі/а и ф2/а по сравнению е единицей изменяется собственная частота и форма свободных колебаний жидкости в трубопроводе. Условие равен­ ства одного из граничных импедансов волновому сопротивлению, т. е. ф2 = а или фі = —а, является одновременно условием полно­ го выноса из системы (без отражения) акустической энергии. Этот режим работы магистрали аналогичен режиму электриче­ ской цепи с согласованной нагрузкой [76].

В отличие от электрических цепей в трубопроводе возможен режим с полным выносом колебательной энергии не только в сторону движения жидкости, но и против потока, в сторону вхо­ да в тракт при совпадении величины — а с входным импедансом фі, который для устойчивой системы обычно имеет отрицатель­ ный знак.

При согласованной нагрузке и вынужденных колебаниях в системе имеют место колебания с бегущими волнами, амплиту­ да которых постоянна вдоль тракта. Наиболее простое объясне­ ние эффекта отсутствия отражения заключается в том, что при совпадении величины волнового сопротивления со значением граничного импеданса (т. е. со значением местного сопротивле­ ния) на конце падающие волны «не замечают» местной неодно­ родности и выходят из трубы без отражения на конце. Этот ре­ жим как раз соответствует случаю бегущих волн, т. е. режиму согласованной нагрузки или полному поглощению колебаний на соответствующем конце трубопровода.

При изменении значений параметров фі/а и ф2/а по сравнению с единицей собственная частота колебаний жидкости скачком изменяется в два раза. В плоскости параметров фі/а и ф2/а можно выделить области с различными значениями собственной частоты .(рис. 3.4).

Собственная частота со = дя (п= 1, 2, 3, ...) в акустике [71] соответствует трубе с обоими открытыми или обоими закрытыми концами. В плоскости параметров фі/а и ф2/а этой частоты соот­ ветствуют области |ф і/а| < 1 и |ф2/а | < 1 или [фі/а| > 1 и |ф2/ а | > 1 , т. е. также симметричные (по отношению модуля им­

педансов к единице) граничные условия. Собственной частоте а — = (2п+1)л/2 (п = 0 , 1 , 2 , 3, ...), так же как и в акустике соответ­ ствуют несимметричные граничные условия:

I фіja I < 1 и I ф2/а I > 1 или | ф,/а | > 1 и | <]>2/а | < 1.

Это показывает, что для гидравлических трактов с протоком жидкости открытым в акустическом смысле является тот конец, для которого модуль отношения граничного импеданса к волно­ вому сопротивлению меньше единицы, и закрытым — для кото­ рого модуль этого отношения 'больше единицы.

В частных случаях (в том числе и в трактах двигателя) воз­ можны и простейшие граничные, условия, рассматриваемые

121

обычно в акустике. Например, если на входе в тракт из баллона или бака (рис. 3.5) отсутствует местное сопротивление (ворон­ когаситель, фильтр, шайба, клапан и т. д.), то в первом приближении * можно принять, что при х = 0 öp « 0 , т. г. фі « 0 .

Другой случай — закрытого конца тракта (сфг->-оо) — осуще­ ствляется во входных трактах перед насосом (рис. 3.6). Так как насос создает большой напор и давление за насосом существен­ но больше, чем давление перед насосом, то колебания давления

4

3 =

іперед насосом (сечение х = 1), передаваясь по тракту в насосе на выход, оказываются очень маленькими по сравнению со средним уровнем давления за насосом. Так как расход через насос опре­ деляется условиями за насосом, то при малом уровне колебаний давления за насосом соответственно будут малы и колебания рас­ хода и скорости жидкости на входе в насос. Благодаря этому в первом приближении ** можно_принять, что на входе в насос

(х=1) выполняется условие бау»0, т. е. ф2-ѵоо. При определен­ ном сочетании параметров фі/а и ф2/а система может потерять

152

устойчивость [27], т. е. амплитуда одной из гармоник начнет не­ ограниченно (в линейном приближении) возрастать. •

Приведенное выше соотношение (3.54) определяет условия устойчивости системы, т. е. условия устойчивого течения жидко­

сти в тракте. Так как величина ѵ определяет затухание свобод­

ных колебаний жидкости в тракте, то ѵ = 0 соответствует границе устойчивости системы — в этом случае свободные колебания не

затухают. При ѵ>0 система неустойчива, амплитуда колебаний увеличивается; при ѵ< 0 система устойчива, так как свободные колебания затухают.

Из соотношения (3.54), приравняв ѵ нулю, находим условие на границе устойчивости

Выражение (3.55) распадается на два равенства, определяющие границу устойчивости гидравлического тракта в плоскости па­ раметров дрі/а и фг/а:

а. Ф1 Ф2 . . 1

На рис. 3.7 приведены кривые границ устойчивости в параметрах

123

фі/а и фг/а, причем штриховка направлена в сторону области ус­ тойчивости. Здесь же пунктиром проведены прямые

ЬІа = ± [ и ф2/а — ± 1 ,

отделяющие области с одной формой и собственной частотой колебаний от областей с другими формами и собственными час­

фг>0. Неустойчивые режимы возможны также при одинаковых знаках граничных импедансов фі и ф2 — положительных или от­ рицательных.

ется форма колебаний, так как выходное сечение трубопровода оказывается в акустическом -смысле закрытым концом. По мере роста ф2/а уменьшается амплитуда колебаний скорости, а вместе с ней уменьшается и вынос акустической энергии, что приводит к сужению области устойчивости по ф2/а. Аналогичные рассуж­ дения можно провести и для области, в .которой

ф]/а< ^ 0 и Ф2/а< ^ 0 .

Примером неустойчивой системы может служить гидравличе­ ский тракт с центробежным насосом на входе. При работе насоса на небольшом расходе G тангенс угла наклона напорной харак­ теристики иногда бывает положительным (рис. 3.8). Согласно граничному условию на входе в тракт (3.42) для этого случая входной импеданс фі оказывается положительным. При малом гидравлическом сопротивлении на выходе, т. е. при малом зна­ чении выходного импеданса фг, как это видно по кривым границ устойчивости (см. рис. 3.7), в системе возможно возникновение колебаний. Природа этих колебаний аналогична природе помпажных автоколебаний в вентиляторах и компрессорах [40].

124

3.4.ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

ВДЛИННЫХ ИМПУЛЬСНЫХ г и д р а в л и ч е с к и х линиях

Вприведенных выше уравнениях (3.47) -4- (3.48) для вынуж­ денных колебаний жидкости в гидравлическом тракте учитыва­ ются потери энергии, связанные с вязкостью жидкости, однако при этом используется зависимость величины трения от скорости

для стационарного потока жесткости.

Имеющиеся экспериментальные данные по распространению колебаний в гидравлическом тракте показывают, что гармоники более высокого порядка затухают быстрее, чем низкочастотные

■составляющие волн.

На рис. 3.9 приведены результаты экспериментов Холмбоу и Руло [39, 77] проведенные на гидравлическом тракте диаметром 25,4 мм и длиной 36,1 м, заполненном маслом. На конце трубы

Рис. 3.9. Колебания давления в длинном Гидравлическом трак­ те после мгновенного закрытия клапана

был установлен быстродействующий клапан. Изменение давле­ ния Ар отнесено к росту давления при прямом гидроударе awo, а время — к длительности прохождения волной всего тракта Ца. Кривая пульсаций давления после мгновенного закрытия клапа­ на (кривая 1) резко (кроме первого периода) отличается от теоретической кривой 2, полученной путем расчета методом характеристик с использованием квазистатического трения, в соответствии с которой волна, вызванная гидроударом, после многократного отражения не меняет своей формы, а из-за трения уменьшается только амплитуда.

Форма волны в эксперименте заметно изменяется, так как высокочастотные составляющие затухают быстрее, чем низкочас­ тотные. Кривая 3 представляет собой теоретическое решение Зилке [39] для неустановившегося ламинарного движения с уче­ том зависимости трения от частоты. Введение в уравнения коэф­ фициента трения, зависящего от частоты, позволяет достаточно точно учесть особенности искажения формы волны в силу зату­ хания гармоник высокого порядка.' Ниже будет показано, что

125

аналогичное положение имеет место с вынужденными колебани­ ями жидкости.

Рассмотренная ранее модель течения жидкости в тракте — одномерная, учитывающая изменения параметров потока только вдоль тракта и во времени. В действительности течение жидко­ сти в гидравлическом тракте заведомо неодномерное. Из-за дей­ ствия вязкости скорость жидкости уменьшается по мере .прибли­ жения к стенке и на самой стенке равна нулю. Кроме того, эпюра скорости зависит от условий течения. При ламинарном устано­ вившемся течении эпюра скорости параболическая, при разви­ том стационарном турбулентном течении в ядре потока скорость изменяется незначительно, а у стенки резко падает. При неуста­ новившемся режиме эпюра скорости изменяется, а вместе с ней — и силы .вязкого трения жидкости о стенки.

Задача о неустановнвшемся течении вязкой жидкости в тракте впервые была поставлена И. С. Громека [33]. Вынужденные колебания несжимаемой

[36]. Некоторые особенности распространения колебаний в длинных трактах рассмотрены в работе [6].

С вынужденными колебаниями жидкости в длинных гидрав­ лических трактах при ламинарном режиме течения приходится сталкиваться при анализе особенностей динамических характери­ стик импульсных трубок, идущих к регуляторам и измеритель­ ным приборам, а также в линиях питания гидропривода поворот­ ных двигателей или камер.

3.4.1. Исходные уравнения

Движение сжимаемой жидкости с постоянной вязкостью * в однородной цилиндрической трубе с жесткими стенками описы­ вается уравнениями Навье-Стокса в цилиндрических координа­ тах (пренебрегая окружной составляющей скорости) [52].

Уравнения двиоюения

(3.56)

(3.57)

* Вязкость можно принимать постоянной, если колебания температуры жидкости невелики.

126