книги из ГПНТБ / Гликман Б.Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей

или, иными словами, система устойчива, если суммарный угол поворота вектора при изменении р по прямым

0 <^cu<;Q при с — 0 и О -^ с -^ + оо при (о = й

равен нулю и кривая годографа не проходит через начало ко­ ординат.

Геометрическая интерпретация 'критерия (2.18) удобна для практического использования: объект устойчив, если годограф, соответствующий уравнениям .(2.18), не охватывает и не касает­ ся начала координат.

На рис. 2.13 показан пример применения данного критерия для объекта со многими запаздываниями [19]: по оси ординат отложен угол поворота характеристического вектора, на оси

Авторы работы [19] формулируют также критерий, аналогич­ ный критерию Найквиста, для системы, уравнения которой мож­ но использовать только в ограниченном диапазоне частот. Если задана передаточная функция разомкнутой системы

W ( р ) = , * Ш - ,

0(Р )

не имеющая корней в правой полуплоскости (т. е. незамкнутая система устойчива), то для устойчивости замкнутой системы не­ обходимо и достаточно, чтобы характеристическая кривая в

(—1,0). Если в разомкнутом состоянии объект имеет п пар кор­ ней с положительной вещественной частью на интервале частот (0 , Q), то замкнутая система устойчива, если характеристиче­ ская кривая охватывает точку (—1 ,0 ) в положительном направ­ лении (против часовой стрелки) п раз.

Таким образом, единственное отличие сформулированного критерия от критерия Найквиста состоит в том, что вместо ча­ стотной характеристики разомкнутой системы необходимо ис­ пользовать характеристическую кривую, построенную при изме­ нении комплексного аргумента вдоль контура с.

* Т. е. вначале (с=0) со изменяется от нуля до £2; затем ш = Й, а с изме­ няется от нуля до бесконечности.

Г ЛА В А III

ДИНАМИКА ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ТРАКТОВ

3.1. УРАВНЕНИЯ ГИДРОМЕХАНИКИ

Во всех агрегатах Ж РД имеются тракты с протоком жидко­ сти или газа, и между собой агрегаты связаны гидравлическими или газовыми трубопроводами. Основные этапы рабочих про­ цессов, определяющих характеристики (в том числе и динами­ ческие) агрегатов двигателя, протекают как раз в их проточных частях.

Движение среды в трактах подчиняется уравнениям гидро­ механики, которые являются математическим выражением за­ конов сохранения массы, количества движения и энергии. Урав­ нение неразрывности (сохранения массы), уравнение движения (сохранения количества движения) и уравнение состояния пол­ ностью определяют движение по тракту жидкости или газа без обмена теплом с внешней средой. При решении задач о движе­ нии газа с подводом тепла или о двиягении газа, имеющего на входе в тракт переменную температуру, необходимо, кроме то­ го, использовать уравнение сохранения энергии (см. § 4.1).

Форма решения уравнений гидромеханики существенно упро­ щается, если предположить, что движущаяся среда (жидкость или газ) является идеальной, т. е. не имеет ни вязкости, ни теп­ лопроводности. В большинстве случаев такая упрощенная по­ становка оказывается достаточно точной и позволяет ограни­ читься учетом влияния вязкости только в элементах с сосредото­ ченными местными гидравлическими сопротивлениями: форсунках, дросселирующих и регулирующих устройствах и т. д.

Наиболее полно особенности динамики объекта описывают его амплитудно-фазовые частотные характеристики, показы­ вающие, как система реагирует на гармонические сигналы ма­ лой амплитуды различной частоты. Возможность ограничиться малой амплитудой колебаний существенно упрощает решение

При решении в общем случае задачи о распространении ко­ лебаний в каналах, заполненных жидкостью или газом, нельзя забывать о конечном времени распространения возмущения по среде, т. е. необходимо учитывать распределенность параметров системы. Система с распределенными параметрами описывается дифференциальными уравнениями в частных производных в от­ личие от системы с сосредоточенными параметрами, описывае­ мой обыкновенными дифференциальными уравнениями. При рас­ смотрений гидромеханической системы как системы с распреде­ ленными параметрами учитывается равномерная ' распределен­ ность на все элементарные объемы жидкости по длине тракта таких ее свойств, как инерционность и сжимаемость.

Возмущения, поступающие из внешней среды в систему с рас­ пределенными параметрами, порождают волны, которые в фор­ ме возмущений (отклонений) скорости и давления распростра­ няются вдоль тракта от места их возникновения с конечной ско­ ростью — скоростью звука. Для каждой среды в зависимости от ее сжимаемости имеется своя скорость звука. Скорость звука., кроме того, зависит также от податливости стенок канала.

Законы распространения звуковых волн в различных средах

иканалах рассматриваются акустикой [58, 71] на основе реше­ ния волнового уравнения, которое выводится из уравнений не­ разрывности н движения гидродинамики. Волновое уравнение является одним из основных уравнений математической физики. Оно описывает распространение волн не только в акустике, но

ив оптике, радиотехнике [76], в длинных электрических линиях

[8 ] и т. д.

Форма дифференциального уравнения, описывающего неус­ тановившееся движение жидкости в канале, зависит от приня­ тых упрощающих предположений. Для гидравлических трактов

простой цилиндрической формы основные трудности возникают при достаточно строгом описании течения с учетом вязкости жидкости. Вязкость приводит к появлению пограничного слоя, в котором скорость изменяется от нуля до скорости в ядре потока.

Для случая турбулентного течения существуют только при­ ближенные, полуэмпирические и достаточно сложные методы описания стационарного течения в трубе [81]. Еще большие труд­ ности возникают при решении задачи о нестационарном движе­ нии жидкости. В имеющихся работах [13, 14] решения очень сложные, в то же время они не получили достаточного экспери­ ментального подтверждения. В связи с этим приходится пользо­ ваться предположением, что при относительно малой вязкости (т. е. при большом числе Рейнольдса) можно пренебречь влия­ нием нестационарное™ движения на коэффициент трения.

Имеющееся достаточно строгое и в то же время подтверж­ денное экспериментами решение для вынужденных колебаний жидкости при ламинарном течении (см. § 3.4) показывает, что

100

3.1.2. Уравнение движения

Разность сил давления, действующих со стороны соседних слоев жидкости на границы рассматриваемого элемента и рав­

ных: слева pF и справа— ( р - j—— d x \ F , определяет суммар-

\dx J

ную силу, действующую на выделенный элемент в направлении оси X:

p F — ( p r \ - ^ - d x \ F — —F ^ - d x .

\ д х ] д х

Составляющие от сил давления со стороны стенок канала друг друга уравновешивают.

Кроме сил давления, на выделенный элемент действуют мас­ совые силы (силы тяжести, сила, связанная с ускорением раке­ ты и т. д.). Величина этих сил определяется произведением мас­ сы элемента рF dx на суммарное ускорение /. Для движения в канале представляет интерес только проекция суммарного ус­ корения на ось X, так как другие составляющие направлены перпендикулярно скорости жидкости и никакой работы при дви­ жении жидкости не совершают.

При движении реальной жидкости на выделенный элемент действуют также силы трения, возникающие при взаимодейст­ вии вязкой жидкости со стенками канала. Для простоты при­ мем, что сила трения вдоль стенки канала выражается через произведение напряжения трения ттр на площадь поверхности элемента, соприкасающейся со стенкой, TIdx: —тТрTIdx, где П — периметр поперечного (смачиваемого) сечения канала. Знак минус взят в связи с тем, что направление силы трения всегда противоположно направлению движения жидкости.

Использование в уравнении движения непосредственно сум­ марной характеристики вязкого трения — силы трения о поверх­ ность— упрощает уравнение движения, так как исключает из рассмотрения поле скорости в потоке. Дак уже отмечалось, си­ ла вязкого трения при неустановившемся движении , определя­ лась по зависимостям для установившегося движения, как это

времени. Количество движения определяется скоростью элемен­ та, которая изменяется как во времени, так и в пространстве, т. е. при перемещении элемента.

За время dt скорость в точке О (см. рис. 3.1) изменилась на dw'. За это же время точка О переместилась в точку О' на рас­ стояние dx' = wdt, причем в точке О' скорость отлична от скоро­

102

сти в точке О на величину

Общее изменение скорости элемента складывается из изменения скорости за единицу времени в данной точке

Название субстанциональной производной указывает, что уско­ рение относится к движущемуся элементу среды (субстанция). При установившемся движении dw/dt = 0, но ускорение движу­ щейся среды все же может иметь место вследствие влияния вто­ рого члена, характеризующего изменение скорости вдоль потока.

Приравняем изменение количества движения элемента сум­ ме действующих на элемент сил:

го режима течения обычно выражается через коэффициент тре­ ния g, т. е.

103

Полученные уравнения являются • нелинейными, и, кроме того, эта система уравнений незамкнутая, так как в качестве перемен­ ных в два уравнения входят три величины: р, р и w. ■

Для замыкания системы необходимо к полученным двум уравнениям добавить третье — уравнение состояния среды. В об­ щем случае в уравнение состояния входят не только давление и плотность, но и температура среды. Для капельной жидкости в

где ро — плотность жидкости при давлении р0\

Кт — модуль объемной упругости жидкости.

Вобщем случае модуль объемной упругости зависит от темпе­

ратуры жидкости. Однако в условиях двигателя в проточной части элементов (кроме зарубашечной полости камеры сгора­ ния) температура компонентов изменяется незначительно. По­ этому можно принять К т величиной постоянной. Для исключе­ ния из уравнений (3.1) и (3.5) плотности чаще пользуются не законом Гука, а соотношением, определяющим скорость рас­ пространения звука в среде. Эта скорость в общем случае опре­ деляется уравнением [79]

где а — скорость распространения малых возмущений в непод­ вижной среде. Подставив в уравнение (3.7) соотношение закона Гука (3.6), найдем зависимость для скорости звука в капельной жидкости:

Для идеального газа скорость распространения звука (т. е. скорость распространения малых возмущений) находится из условия, что процесс сжатия газа в звуковой волне — адиабати­ ческий, т. е. 'без теплообмена. Тогда

Эта форма соотношения для скорости звука может быть исполь­ зована в качестве третьего уравнения системы уравнений дви­ жения среды в канале.

104

Вряде случаев можно упростить задачу о колебаниях жидко­ сти в трактах, пренебрегая распределенностью параметров. При этом расчетные зависимости существенно упрощаются. Такие упрощения допустимы в .случае, если частота колебаний невели­ ка, т. е. существенно меньше, чем собственная частота (первый тон) колебаний жидкости.

Вопрос о колебаниях жидкости в трактах в литературе осве­ щен недостаточно, поэтому особенности распространения волн давления и скорости по трактам (акустика труб) рассмотрены ниже подробно.

3.2.УРАВНЕНИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИИ ЖИДКОСТИ В ГИДРАВЛИЧЕСКОМ ТРАКТЕ

Вуравнение движения (3.5) входит нелинейный член с квад­ ратичным трением. При анализе неустановившегося движения

жидкости обычно квадратичный член линеаризуют [79]. В этом случае система уравнений гидромеханики, описывающая дви­ жение в однородном цилиндрическом тракте, принимает такой вид (в пренебрежении массовыми силами):

Величину параметров можно связать с перепадом давления Ар из-за гидравлических потерь на трение жидкости о стенки на всей длине тракта. Учтя соотношение гидравлики

где 1 — длина тракта, находим

(3.14)

р w l

Для замыкания системы уравнений (3.11) —(3.12) можно вос­ пользоваться соотношением (3.7) для скорости звука, записав

* В книге И. А. Чарного [79] при определении коэффициента Ь при члене

•с вязким трением используется не гидравлический диаметр, а гидравлический радиус.

105

его в следующей форме:

др_ д?

Использовав последнюю зависимость, исключим производ­ ные от величины плотности в уравнении (3.12). В результате находим окончательную форму уравнения неразрывности:

(3.15)

Скорость распространения звука в тракте зависит как от моду­ ля объемного сжатия жидкости Кя<, так и от характеристик тру­ бы [79]:

где Е — модуль упругости материала стенок трубы; р — плотность жидкости;

11 — параметр, зависящий от формы поперечного сечения трубы.

Для тонкостенных труб круглого сечения Н. Е. Жуковским по­ казано, что T) = D/6 ,

где D — внутренний диаметр трубы; б — толщина стенки трубы.

Для труб большой толщины имеются более сложные зависи­ мости, определяющие коэффициент т) [26]:

где V — коэффициент Пуассона. Влиянием продольных дефор­ маций трубы, возникающих при колебаниях давления внутри трубы, и инерцией стенок трубы, как показано в работах [26, 42],. можно пренебречь.

Трубы, идущие от баков ракеты, к двигателю, тонкостенные и благодаря этому могут легко изменять форму поперечного сече­ ния. Изменение профиля поперечного сечения трубы сказывает­ ся на скорости распространения звука. В работе [35] показано,, что скорость распространения звука у труб некруглого сечения уменьшается из-за увеличения податливости стенок, которые в этом случае работают не только на растяжение, но и на изгиб. Для тонкостенных труб некруглого сечения коэффициент формы

106