книги из ГПНТБ / Гликман Б.Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей

где Tn — время пребывания данной порции газа в коллекторе до

к длине газовода Д= шгТг, находим кривую профиля волны энтро­ пии в газоводе:

V -)—Пі£і- pi (1 — х), (4.58)

Іг

1 де X х}Ікая.

На рис. 4.16 приведены кривые форм волн энтропии в газоводе, рассчитанные по формуле (4.58) для различных-значений Ткол/тгВсе кривые пересекают ось х при ,т<1, т. е. волны энтропии «растягиваются» по всей длине коллектора, причем к моменту прихода головной части волны к выходу из газовода (у=і\) неко­ торая часть волны не поступила

Вариация плотности связана с другими параметрами соотноше­ нием (4.44), зависимость вариации энтропии от поперечной ко­ ординаты X определяется зависимостью. (4.55). Для вариации энтропии, кроме того, необходимо учесть транспортное запазды­ вание при движении газа по газоводу. Тогда для точки газовода с координатами (х, у) изменение энтропии связано следующим

2 0 8

соотношением с изменением энтропии на входе в коллектор тур­ бины *:

Ао

где 6sT— амплитуда относительной вариации энтропии газа на выходе из соплового аппарата турбины.

Распределенность выхода из газогенератора влияет также на уравнение расхода таза через сопла турбины, так как при нали­ чии энтропийных волн температура газа у различных сопел по длине коллектора будет различной. Запишем уравнение расхода для элементарной струйки газа, проходящей через участок соп­ лового аппарата длиной dx [по аналогии с уравнением (4.18)]:

Амплитуда вариации температуры связана термодинамической зависимостью (4.8) и соотношением (4.55) с амплитудой вариа­ ции энтропии перед коллектором:

(4.62)

Подставив выражение (4.62) в уравнение расхода газа (4.61) и проинтегрировав его по длине коллектора, находим

Таким же образом можно получить соотношение для вариации расхода газа на выходе из газовода:

8/?н— амплитуда относительной вариации давления за местным сопротивлением на выходе из газовода.

Вариация температуры газа на выходе из газовода связана е вариацией энтропии, а последняя определяется соотношением

* При этом пренебрегаем изменением температуры и энтропии газа в тур­ бине. . •

209

(4.55) с учетом транспортного запаздываіния из-за движения газа по тракту газовода:

*\ Кол/

Подставив вариацию температуры из соотношения (4.65) в урав­ нение (4.64) и проинтегрировав по координате поперек газово­ да X, получаем

Зная соотношения для вариации расходов газа на входе и вы­ ходе из газовода (4.63) и (4.66), подставив зависимости (4.44) и (4.60); можно проинтегрировать уравнение неразрывности (4.58) по координате вдоль тракта у и координате поперек трак­ та X. В итоге находим окончательную форму уравнения газовода с учетом распределенности выхода из газогенератора:

На рис. 4.17 представлены .кривые АФХ газовода брм/6ргг с учетом распределенного выхода из газогенератора при различ­ ных отношениях между временами пребывания т2 и тКол. Как вид­ но, эти кривые отличаются незначительно, что естественно, так как колебания давления перед соплами турбины (без колебаний температуры) приводят только к колебаниям расхода газа, и в этом случае тракт работает как обычная проточная емкость. Вклад колебаний давления в колебания энтропии [член с коэф­ фициентом (к — 1 )/к в соотношении (4.65) и др.] мал и соответ­ ственно слабо влияет на АФХ тракта.

Кривые АФХ газовода при воздействии изменением темпера­ туры на входе в коллектор турбины бТт (рис. 4.18) резко изме­ няются при изменении отношения ткол/т2 . По мере увеличения отношения Ткол/т2 существенно уменьшается размах резонансных максимумов, фазовые же характеристики отличаются меньше.

Таким образом, можно констатировать, что наличие распре­

тракта за турбиной. Фактором, определяющим степень влияния

210

Рис. 4.17. АФХ брм/бргг газовода с учетом распределенного івыхода из газогенератора

Рігс. 4.18. АФХ брм/б7т газовода с учетом распреде­ ленного выхода из газогенератора

211

распределенности выхода из газогенератора на динамику тазово­ го тракта, является соотношение между условным временем 'пре­ бывания в коллекторе ткол и временами пребывания газа в газо­ генераторе и тазоводе Ті и Т2 - Если эти величины соизмеримы, то коллектор турбины оказывает достаточно существенное влияние и его необходимо учитывать при расчетах динамики тазового тракта.

4.S. ВЛИЯНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОЦЕССОВ В ПОТОКЕ ГАЗА НА АФХ ГАЗОВОГО ТРАКТА

Приведенные выше уравнения динамики газового тракта (4.15) и (4.21) получены путем упрощения более точных уравне­

безразмерная частота связана с безразмерной частотой со — аі/а, характерной для акустических эффектов, очевидной зависимо­ стью

21.‘2

Соответственно при достаточно больших значениях' со, т. е. при больших значениях 0 и М, когда акустические эффекты начи­ нают оказывать заметное влияние, кривые для приближенного и более точного решения начинают расходиться. В первую очередь это относится к числу Маха: при М = 0,5 кривые резко расходят­ ся уже при Ѳ>2. Таким образом, для газовых трактов с М>0,4 необходимо с осторожностью относиться к расчетам динамиче­ ских характеристик по приближенным зависимостям, без учета акустических эффектов. С другой стороны, при небольших зна­

Переходя к анализу допущений, которые были сделаны при выводе исходной системы уравнений (4.2), остановимся «а пред­ положении об отсутствии диффузии и теплообмена между от­ дельными слоями газа с различной температурой и составом, которые образуются при сгорании компонентов у головки.

Учет диссипативных процессов приводит к изменению уравне­ ния энергии [47]:

нения системы (4.2)' остаются без изменения. Линеаризовав урав­

Учет теплопроводности привел к тому, что в уравнении '(4.69) в отличие от третьего уравнения системы (4.3) появилась' новая переменная — вариация температуры газа бТ. Используя термо­ динамическое соотношение (4.7), выразим вариацию' бГ через вариации энтропии и давления:

8Г = 8 s - j--— - 8/7.

%

Подставив эту зависимость в уравнение (4.69), находим

213

Последний член в уравнении >(4.70) можно отбросить, так «лк коэффициент перед ним мал и, кроме того, в большинстве случа­ ев акустическими эффектами в газовом тракте пренебрегаем. В итоге уравнение (4.70) опять оказывается независимым от двух других уравнений системы (4.3) и его можно решать отдельно. Как обычно, будем искать решение уравнения (4.70) в форме

8s= 8se'“'.

После подстановки решения в уравнение (4.70) (пренебрегая последним членом) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение для амплитуды вариации 6s:

Характеристическое уравнение для него имеет вид

ш-\-ч£)г —аг~ = 0,

корни которого находятся из соотношения

w + \ w2 + 4тш

одновременно. Так же будет при к —2,3 и т. д. Благодаря этому достаточно использовать только значение k — 0.

Для анализа эффектов, рассеивания волн энтропии .несколь­ ко упростим граничные условия, считая, что на входе и выходе из тракта соблюдаются условия открытых концов, т. е. при х —0 и x = l öp = 0. На входе в тракт задаем колебания температуры газа и условие для производной dös/dx, которое находится из очевидного соотношения, определяемого формой заданного ре­ шения,

С учетом последнего соотношения граничные условия для урав­ нения (4.71) принимают вид

214

но решать независимо от двух других уравнений системы в сле­ дующей форме:

тракте до сечения с координатой х. Параметр Ѳопределяет чис­ ло периодов волн энтропии на длине х.

Окончательные зависимости получаются слишком громоздки­ ми, неудобными для расчетов. Поэтому для оценки влияния теп­ лопроводности целесообразно разложить в ряд выражение для корней характеристического уравнения (4.72) по малому пара­ метру aa/w2 н с точностью до членов первого порядка малости

Первый член определяет распространение энтропийных волн со скоростью w, второй — характеризует темп их затухания. Ампли­ туда энтропийных волн уменьшится в е раз при aa>2x/w3 = 1. Это соответствует длине тракта x = w 3/(аа>2). Приняв для турбулент­ ного потока в газовом тракте а = 0,05 м/с, частоту со = 300 1/с (50 Гц) и w = 100 м/с, находим, что длина х имеет порядок 200 м. Таким образом, для цилиндрических трактов двигателя, не име­ ющих зон с обратными токами, рассеиванием энтропийных волн можно пренебречь и считать условия для каждого слоя газа адиабатическими.

В заключение остановимся на другом предельном случае про­ цесса в потоке газа —-на случае полного мгновенного перемеши­ вания каждой вновь поступившей порции' газа со всей массой

215

газа, находящейся в тракте. Этот вариант процеоса соответству­ ет 'бесконечным значениям коэффициентов диффузии и тепло­ проводности. Приведенные выше оценки показали, что для ци­ линдрического тракта 'без обратных токов наиболее вероятным является тот предельный случай, когда эти коэффициенты рав­ ны нулю. Однако в ряде случаев ради простоты при расчетах динамических характеристик двигателей используют вариант с полным перемешиванием. Поэтому сопоставление результатов расчетов динамических характеристик цилиндрического тракта для этих двух вариантов будет полезным для оценки погрешно­ стей, вносимых упрощенным описанием процесса.

Если пренебречь акустическими эффектами и гидравлическим сопротивлением в газовом тракте, то процесс в тракте е полным перемешиванием описывается двумя уравнениями:

уравнением баланса массы в тракте

(4.76)

~ d t ~ = G* * ~ ° T

Здесь Q - V p l ( R T )— количество газа в тракте;

Т — температура газа в тракте;

Тм— температура газа, образовавшегося (по­

ступившего) в данный момент на входе в тракт;

сѵ, сп— теплоемкости газа; С?вХ, Ог— количество поступившего и уходящего из

тракта газа.

После линеаризации уравнений (4.76) и (4.77) и переходя к от­

Подставив уравнение (4.78) в уравнение (4.79), использовав оп­ ределение для величины Q и выражения для бGВХ (4.17), 6GT (4.18) и бГвх (4.16), окончательно получаем

G0 4 - G1

На рис. 4.20 приведены кривые АФХ окислительного газогенера­ тора при (воздействии изменения расходов окислителя и горюче­ го для двух предельных вариантов процесса: адиабатического [по формуле (4.24)] и с полным перемешиванием газа [по форму­ лам (4.80) и (4.81)]. Кривые АФХ отличаются даже по характе-

Рис. '4.20. Сопоставление кривых АФХ газогенератора:

ру — для варианта с полным перемешиванием на кривых АФХ отсутствуют петли, а амплитуда при одинаковых 0 меньше, чем для адиабатического варианта; сдвиг фазы при малых Ѳ— одното порядка, а при больших 0 — меньше, чем у адиабатического варианта. Такое существенное различие в характере АФХ пока­ зывает, что даже при чисто качественном рассмотрении динами­ ки Ж РД использование уравнений типа (4.80) и (4.81) может привести к ощутимым ошибкам.