книги из ГПНТБ / Гоберман Л.А. Прикладная механика колесных машин

г) при учете демпфирующих сопротивлений, вызывающих рас­ сеивание энергии, найти диссипативную функцию и вычислить частные производные этой функции по обобщенным скоростям; д) полученные выражения подставить в уравнения Лагранжа.

Для рассматриваемой системы имеем

Т = -^-тххг -Ь -у т 2*2; П = - у с (хх — х2)2\

Qi — ^V> Qi — —Pc-

Отсюда находим

Подставляя указанные выражения в уравнения Лагранжа (IV.5), получим дифференциальные уравнения, найденные выше по методу Даламбера.

Если в системе учитывается демпфирующее сопротивление (рис. 17, б), то следует вычислять также диссипативную функцию

Ф= $r(xi — XiY

иее частные производные по обобщенным скоростям

стоящей из трех масс — ведущей тД, к которой приложена движу­ щая сила Рд, и двух ведомых тх и т2, нагруженных силами со­ противления Я1с и Л2с. Система имеет два упругих звена с жест­ костями сх и с2.

Применяя уже описанный прием составления дифференциаль­ ных уравнений по принципу Даламбера, т. е. рассматривая от-

78

дельно равновесие каждой массы под действием приложенных

кней сил, получаем

т‘хл + сх (хд — лу) + с2 (хд — х2) = Р д; '

ЩХх — сх(хд — хх) = — Р 1с;

т2х2 — с2(хд — х2) = Р2с.

Кинетическая и потенциальная энергии этой системы будут

Подставляя эти выражения в уравнение Лагранжа, получим те же дифференциальные уравнения движения.

Найдем теперь математическую модель, описывающую наибо­ лее общий случай движения пневмоколесного хода в горизонталь­ ной плоскости (рис. 18). В отличие от рассмотренной выше задачи Чаплыгина—Каратеодори сделаем допущение, что данная си­ стема является голономной.

Исследуемая механическая система имеет три степени свободы: поступательное движение (под углом ß к оси (Ж), вращательное движение относительно центра поворота и поперечное движение, обусловленное боковым уводом колесных шин (углы бх и б2 бокового увода в расчете приняты одинаковыми для внешних и внутренних колес).

79

Все колеса являются ведущими и нагружены тангенциальными реакциями поверхности качения Т х — ТА + ТБ и Т 2 = Тв + + Тг, совпадающими с направлением движения соответственно передних и задних колес, и боковыми реакциями S x = SA + SB и S 2 = SB + Sr, перпендикулярными плоскости колес. Сум­ марные силы, действующие на передние и задние колеса, считаем приложенными в центре каждой оси колесного хода; эти силы раз­ ложим на продольные и поперечные составляющие:

Кинетическая энергия системы

т = 4 - mx2 + 4 " + 4 ”

Применяя для нахождения дифференциальных уравнений дви­ жения принцип Лагранжа, соответственно числу степеней свободы системы получим следующие три уравнения движения:

80

Это кинематическое условие не интегрируется и поэтому яв­ ляется неголономным.

Для наглядности плоскость колеса (рис. 19) рассечем двумя взаимно перпендикулярными плоскостями, проходящими через его центр, — вертикальной, нормальной к плоскости колеса, и

движную, жестко связанную с колесом, — систему Се^тр В центре колеса построим также вспомогательную систему OX1Z 1Y 1, оси

Рис. 19. Взаимодействие колеса с жестким ободом с по­ верхностью качения

которой при движении колеса остаются параллельными соответ­ ствующим осям неподвижной системы. Последние две координат­ ные системы введены для отсчета углов Эйлера ср, ар и Ѳ.

При качении колеса по идеально гладкой поверхности центр колеса будет находиться от нее на расстоянии, равном z, причем

z — zc = г sin Ѳ;

это условие является голономным.

Как видим, обобщенные координаты 2 и Ѳдля данной системы взаимозависимы.

В остальном колесо совершенно свободно и имеет пять степеней свободы при пяти обобщенных координатах х, у, ср, і|з и Ѳ. При не­ прерывном движении системы производные по времени углов <р, г]) и Ѳ определяют соответствующие угловые скорости системы.

Векторы скоростей ср, яр и Ѳ направлены соответственно по осям

СІ, CZ и CN.

82

Проекции векторов этих скоростей на неподвижные оси коор­ динат будут

dy + r sin ф dq> + r sin Ѳcos ф dQ -f- rcos Ѳsin ф еіф = 0,

или, переходя к вариациям, окончательно получим

бх + г cos фбф — г sin Ѳsin фбѲ + г cos Ѳcos фбф = 0;

(IV.8 )

by + г sin фбф + г sin 0 cos фбѲ + г cos Ѳsin фбф = 0.

Рассмотрим теперь составление дифференциальных уравнений движения, воспользовавшись уравнениями Лагранжа (IV.6 ).

Кинетическая энергия исследуемой системы определяется здесь как сумма кинетической энергии колеса в переносном дви­ жении относительно неподвижных осей координат и кинетической энергии в относительном (вращательном) движении:

где m — масса колеса;

—момент инерции колеса относительно оси его вра­ щения;

ствующие радиусы инерции колеса, и заменяя со?, о>п, (о8 и z через их значения, получим следующее выражение кинетической энергии:

Т = -i- m [(х2 + у2+ г2Ѳ2 cos2 Ѳ) +

84

Теперь остается найти выражения производных кинетической энергии по обобщенным скоростям, по времени и обобщенным перемещениям и подставить их в уравнение Лагранжа. Произведя эти действия, получим следующую систему дифференциальных уравнений, описывающих движение колеса:

m x A K — Qx\

m (pi -|- r2 cos2 Ѳ) Ѳ4- m sin Ѳ[cos Ѳ(г2 Ѳ2 — р2ф2) + р2ф2 cos Ѳ4-

+ Ргфф] + Г sin Ѳ(Я2 cos ф — Я,і sin ф) = Qe!

т(pi sin20 4- р2 cos2 Ѳ) ф 4~ трі фcos Ö4- 2/ифѲ (р2 —p2)cos Ѳsin Ѳ—

—mp2 фѲsin Ѳ4- г cos Ѳ(А,і cos ф 4- К sin ф) =

Для решения этой системы сюда следует присоединить два уравнения связей (IV.8 ).

15. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ КИНЕМАТИЧЕСКИХ

СВЯЗЕЙ ДЛЯ КОЛЕС С ПНЕВМАТИЧЕСКОЙ ШИНОЙ

Упругие свойства пневматических шин обуславливают сме­ щение точки контакта k шины с поверхностью качения от геоме­ трического центра Сф площадки контакта, находящегося на пере­ сечении линии C1N' наибольшего ската колеса с его опорной плоскостью (рис. 2 0 ).

Как и для колеса с жестким ободом, построим неподвижную систему координат Oxyz (образующую с некоторой неподвижной горизонтальной системой Oxay0Z0, которая не показана на рисунке, угол, соответствующий наклону опорной плоскости к горизонту),

85

и подвижную систему координат Cx1z1tj1 в центре колеса, оси которой всегда параллельны системе Охху.

Затем поворотом оси Czl на угол Ѳ относительно линии уз­ лов CN находим положение оси Cz2, перпендикулярной плоскости колеса и являющейся осью его вращения; поворотом оси Схг вначале на угол ф относительно вертикальной оси Czlt а затем на угол ер относительно оси вращения колеса находим положение

к вертикали. При этом деформацию шины в нормальной плоскости

X и у .

Если обратить движение колеса, т. е. повернуть систему «ко­ лесо—поверхность качения» на угол % и сместить ее на це2, где е3 — единичный вектор оси Сфтц то общая деформация шины образуется смещением точки контакта К в нормальном направ­ лении на величину h (t), в поперечном и тангенциальном направ'

86

лениях — на величины £ (t) и ц (t) и поворотом на углы % и у относительно оси С1т).

Предположим, что приложенные в точке К силы, кроме реак­ ций связей, являются частными производными от некоторой сило­ вой функции U (энергии деформации), зависящей от координат данной точки и ее скоростей. Тогда выражения, определяющие поперечную и тангенциальные силы Fх и Frl, действующие в зоне контакта колеса с поверхностью качения, и моменты М 1 и Lx, возникающие при смещении колеса на углы у и %, в общем виде запишем так:

где a,-/ = й/i, üij = ctj’i— коэффициенты, зависящие от h (t) и,

вчастности, от величины нормальной нагрузки на колесо и давления воздуха

вшине.

Эти выражения могут быть упрощены, если учесть, что мо­ мент М х зависит только от у, сила Fx и момент L x — только от \ и X и сила Frl — только от тр В этом случае

F1 = апі + ап -! + Й12Х + avrX',

FTx — а22ц + а2 '2'Гі; U = a3Xl -f а3 ’і'І + аззХ Д «з'з'Х;

Mi = a44y -f a4'4'Y-

Нормальная реакция

Для составления дифференциальных уравнений движения ко­ лесных машин указанные силы целесообразно спроектировать на оси Схуг, связанные с осью колеса и через нее с корпусом машины.

Для этого приведем силы в точку Сх площадки контакта

(рис. 20). Силу Р разложим на нормальную Рп и касательную Рх составляющие, первая из которых перпендикулярна опорной плоскости, а вторая — лежит в ней:

ІЛ ,| = |P |c o sx = M; |Р Т| = ] Z31sin X-

Перенося силу Рп в точку Съ заменяем ее действие силой,

численно равной Р„, и парой, момент которой Мр = Рп\. Силу Рх переносим по линии ее действия в точку Сх.

Силу Fx также раскладываем на нормальную Fm и касатель­ ную Flx составляющие; \ Fln\ = | F х | sin Xi I Fix I = | Fx | cos %.

87