тогда
^IV
Фф = Фф = о.
Подставляя эти величины в исходное уравнение (VI.99) и приравнивая в полученном выражении соответственные коэф фициенты в левой и правой его частях, находим
^ _ Q. ß |
«^Mpmax |
I |
Ji/Vfc |
__ |
J2^изб____ i_ |
M c |
|
сф(^і + ^г) |
|
сф(^і + ^2) |
|
сф(^і + ^г) |
сф |
Следовательно,
~^2^ИЗб__ I Мс
Ф Сф (Jl + Сф
и общее решение уравнения (VI.99) запишем так:
Фф = Схcos kxt + С2 sin kxt -f- C3 cos k2t -)- C4 sin k2t -f-
|
|
+ |
__^Лизб----- (VI. 100) |
|
|
С Ф V 1 + |
' о ) |
с ф |
|
|
Вычисляя далее значения производных фф (t), фф (f) и фф (t) |
|
по начальным условиям |
( t = |
0, ф ф |
= |
Фф = фф — ф ф = 0 |
|
находим значения |
постоянных |
|
Ч |
|
|
интегрирования |
|
Сг = |
С4 = 0; |
Сх |
j 2^изб |
k\ |
|
сфіУі + ^г) |
k\ — ^2 |
|
|
|
|
|
|
Ся = |
j 2‘Ѵззб |
|
|
|
|
Сф ( J 1 + ^o) |
k\ — k\ |
|
|
|
Подставляя эти значения постоянных интегрирования в общее
решение (VI. 100), |
получаем |
|
|
|
ФФ = |
J2“Ѵ:30 |
|
[kl cos kxt 4 - k\ cos k2t] -f |
|
|
|
|
Сф ( Л + J 2) (Щ. — *1) |
|
|
|
|
j___ |
’4 ;Ѵізб |
. + 4 i - , |
(VI.101) |
|
|
_ . |
|
СФ(А + ^2 ) |
сф |
|
Умножив выражение (VI. 101) |
на сф, найдем момент Мф, на |
гружающий основание (фундамент) |
конструкции: |
|
Мрф l h |
J2^ИЗб |
[kt COS kit — k\ cos k2t] |
|
+ h ) { k \ - k l) |
|
|
|
|
I |
Л-Мизб |
I |
** |
(VI. 102) |
|
I |
J A_ I |
+ |
M C |
|
|
Ä + J\ |
|
|
|
Динамический момент, нагружающий конструкцию,
= Со (фо фі )l |
J ффф ~I“ (C0 Сф) фф» |
Дважды дифференцируя
Д^изб
фф
сф(Л + ^г)
зависимость (VI. 102), находим
k \k \
(cos k2i — cos kJ) .
k\ — k\
Подставляя значения фф и фф в выражение динамического мо мента М Р1, получаем
J |
ф ^нзб |
k\k\ |
(cos k2t — cos kJ) -j- |
|
МF1 |
|
|
|
Сф ( Д + Д ) |
k l — k l |
|
|
|
|
J 2Alизб |
° Сф |
\k\ COS h t — k\ COS k2t\ -f- |
|
(J\ +Jj) (k\ —kl) |
|
+ |
JаАІизб |
с0 + сф |
C0 + C4 |
(VI. 103) |
Д + Д |
|
I l v l C |
Выражения для моментов МРф и МРЪ нагружающих привод и металлоконструкцию, можно упростить, если принять во вни
мание малость |
значения k2 и считать, что kl — k2 ^ kl. Тогда |
при cos k 2t = |
— 1 и cos k xt = 0 получим |
|
|
МГф шах |
2«/2Мизб I |
jut . |
|
|
Ji + h |
° |
|
|
|
|
|
мFI max ' |
2J2Alизб |
|
(VI. 104) |
|
|
Д + Д ѵФ-г ^сУФ; |
|
здесь коэффициентом
характеризуется влияние жесткости несущей конструкции на ди намическое нагружение элементов привода.
В частном случае, при сф = оо, значение уф = 1 и тогда фор мула (VI. 104) совпадает с полученной выше формулой (Ѵ.ЗО).
Влияние жесткости конструкции при учете качания груза на подвесе. Для этого случая исходными дифференциальными урав нениями движения системы будут
Jіфі + с0(фі — ф2) —с0фф = Мр; |
|
h фо —Со(фі — ф2) + Софф = — Мс |
(VI. 105) |
J ффф — Со (фі — ф2) -f- (со -f- сф) фф = |
0, |
Система дифференциальных уравнений (VI. 105) приводится к дифференциальному неоднородному уравнению четвертого по рядка:
IV |
, С0 + Сф |
•• |
, |
со ( Д + |
70) |
С0Сф ( / і + ^2) |
|
Фф |
Уф |
|
+ |
|
УіУ2 |
|
■Фф + |
Фф |
|
|
|
С> Р . с0М с , |
со Щ ё L |
|
(VI. 106) |
|
“ |
ДУф ^ |
У2УФ |
1 |
J 2^Ф • — |
х 0. |
Решая у р а в н ен и е |
при |
t = 0, |
Мс |
|
Фф = / |
; фф = |
|
получаем |
после некоторых |
упрощений |
|
|
Фф = |
^ и з б J2------------ [^2 COS kit — kl COS k-21\ -j- |
|
|
сф (^ l + |
^2) (^l “ *2) |
|
|
|
|
+ T Мизб^2 _j_ |
4 |
I |
___________ ■Ѵтзб'Л. |
( 1 — |
COS « 0 ; |
4 (■'.+•'•) |
|
4 (Л+(р+-,ф+і)(А + ^) |
|
здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
(VI. 107) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k\,2 — |
|
|
С0 + Сф , С0 ( Д + ^2) |
|
|
|
|
|
' ф |
|
JXJ2 |
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
со + |
сф |
со ( Д |
+ |
^2) 2 |
4сосф ( Д + 72) |
|
|
|
Уф |
|
J |
2 |
4 |
ДД7ф |
|
Динамическая нагрузка на несущей конструкции, равная произведению жесткости сф на величину <рф, определяется урав нением
|
Мрф = |
t i |
+ 72) (* 1 |
------^2 \ 1$ COS h i |
— |
kl COS k2t] + |
|
|
|
|
|
— ^2) |
|
|
|
|
|
|
+ |
^2 ^ и з б |
I |
|
^ І ^ и з б |
|
|
( 1 |
— cos nt) + |
MC. |
|
j l + j 2 |
|
( J1+^ |
- + 1) (/1 + J,) |
|
|
|
|
Динамическая |
нагрузка для |
привода |
|
|
|
|
|
|
|
= |
Со (ф і — |
фг) = |
/ффф + |
(со + |
сф) Фф- |
|
|
Значение срф определяется здесь как вторая производная по |
времени |
функции |
(VI. 107). |
|
|
|
|
|
|
Подставляя в последнее выражение значения Фф и фф, после |
соответствующих упрощений при cos k 2t |
= |
— 1 , cos k ±t |
|
= 0 , на |
ходим, |
что |
|
|
|
2JхАУизб |
|
|
|
|
yu |
_2 У2УИизб„ |
|
|
Ѵф- |
|
|
^Flmax — Jl + J ^ Ф' ' J1H~ 7a ~Ь 7ф |
|
|
Л ^ с Т ф - |
|
|
|
|
|
|
|
, |
m0L2 |
'j (Д + У2) |
|
(VI. 108) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тормозной режим. При торможении механизма масса Jx нагру жается тормозным моментом М т, и уравнения движения рассма триваемой системы приобретают вид
|
J іфі —Со(фг — Фі) —-софф = — Мт; |
(VI.109а) |
|
Лф2 + с0 (ф2 — фі) + |
|
софф = — Мс; |
(VI.1096) |
|
. JфФф -)- Со(ф2 — фі) Ч- |
(сф “Ь со)фф = 0. |
(VI. 109в) |
Решая |
систему этих уравнений, |
получим |
|
|
|
|
J2 (Мт+ Мс) |
■ф' |
|
(VI. ПО) |
|
|
Д + ^2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДІ . J ф (Мт-[- Мс) ^ |
^1^2 |
|
(cos k2t — COS k-yt) |
|
|
АН' ^2 |
|
/г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
J2 (MT + MC) |
с0 + сф |
Г/,2 |
/, t |
cos щ |
I |
+ |
p ; + ^ ) ( S; _ ^ j ■ |
|
|
|
cos |
+ |
|
J2 (MT+ |
Mc) |
co + |
сф |
co + |
Сф |
(VI. Ill) |
|
Д + ^2 |
7 |
|
|
|
|
|
Ф |
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Принимая те же допущения, что и для зависимостей (VI. 108), находим максимальные значения моментов М Рф и M Fl при тор можении механизма:
\Л |
__ 2^2 (Мт+ |
Мс) |
дд . |
|
'^ Г ф т а х |
— ------------------------------- т сі |
|
= |
-- 4 ^ =7^ |
С) Ѵф ~^сТф . |
(VI. 1 12) |
При абсолютно жестком основании поворотной части кон струкции (сф = оо и Уф = 1) формула (VI. 112) совпадает с фор мулой (Ѵ.50).
Как видим, влияние жесткости несущей конструкции на динамическое нагружение привода в полученных выше зависимо стях оценивается коэффициентом уф. Значение этого коэффициента зависит от отношения жесткости со части конструкции, к которой подвешен груз, к жесткости Сф несущей конструкции. Для сниже ния " динамических нагрузок на привод целесообразно, чтобы
отношение -г- было по возможности меньшим. Поэтому можно С»
ф
ожидать, что, например, с уменьшением жесткости головки стрелы в башенных или других кранах по сравнению с жесткостью колонны или иного элемента, несущего ось стрелы, снизятся дина мические тангенциальные нагрузки.
Гл а в а VII. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ИКИНЕТОСТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ МЕХАНИЗМОВ НАВЕСНОГО
ОБОРУДОВАНИЯ ПОГРУЗЧИКОВ
Одним из приемов решения динамических задач является кинетостатический расчет механизмов. Такому расчету предшествует кинематический анализ механизма и определение ускорений на его звеньях. По найденным ускорениям вычисляют соответству ющие силы инерции. Присоединяя последние к действующим внешним нагрузкам и к силам реакции связи, составляют динами ческие уравнения «равновесия», которые от статических уравне ний равновесия отличаются только наличием фиктивных сил инерции.
Основные методы кинематического и силового расчетов меха низмов достаточно подробно изложены в общих курсах механики. Ниже рассмотрено применение этих методов при исследовании механизмов рабочих органов погрузочных машин.
31. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ И КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ
Первым этапом проектирования механизмов является их структурный анализ.
Структурная схема должна обеспечить заданные движения соответствующих звеньев механизма. Выполнение этого условия зависит от правильного соотношения между числом звеньев и числом кинематических пар различных типов и от правильного порядка соединения отдельных звеньев в механизм посредством кинематических пар.
Необходимое соотношение между числом звеньев и числом кинематических пар устанавливается соответствующими струк турными формулами, определяющими число степеней свободы W механизма. Для плоских механизмов структурная формула имеет вид
W = Зп — 2р — к,
где п — число подвижных звеньев или число всех звеньев за исключением неподвижного звена, обращенного
в«стойку»;
р— число низших пар (т. е. пар, звенья которых соприка
саются по поверхности); |
k — число высших пар (звенья соприкасаются по линии или |
в |
точке). |
На рис. |
32, а—с показаны структурные схемы различных ме |
ханизмов рабочих органов погрузочных машин. Римскими цифрами
обозначены звенья, |
а арабскими ■— их кинематические пары |
(все пары являются |
здесь низшими). |
Значение W для механизма, изображенного на рис. 32, с, равно пяти, а число движений, соответствующих числу его ве дущих звеньев (гидроцилиндров), равно четырем. Лишняя сте пень свободы позволяет грейферному захвату данного механизма качаться относительно оси 7, сохраняя тем самым вертикальное положение при различных углах наклона стрелы, к которой он подвешен. Для остальных механизмов значения W равны числу заданных движений или числу их ведущих звеньев.
Вслед за структурной составляют кинематическую схему механизма, отличающуюся от первой определенными размерами звеньев. По кинематической схеме производят кинематическое исследование механизма, имеющее целью найти траектории, ско рости и ускорения отдельных звеньев. Эти параметры определяют аналитическим или графо-аналитическим методами.
Аналитический метод определения кинематических параметров.
Применение этого метода рассмотрим на примере механизмов, изображенных на рис. 33. Такие механизмы получили широкое распространение для подъема стрелы и управления рабочими органами погрузочных машин и кранов с гидроприводом.
Из геометрических соотношений и допущения, что скорость поршня ѵп гидроцилиндра является величиной постоянной, по лучены следующие формулы углов поворота стрелы Ѳ и гидро цилиндров ß:
механизм с нижним расположением гидроцилиндров (рис. 33, а)
Ѳ = |
b2 + l c2 - ( s 0 + |
arccos |
2Ыс |
|
|
ß = |
b2- s 2o ~ l 2c |
arccos - |
2 bs„ |
vnt f |
b2 + t |
so |
1 |
arccos■ |
|
2 |
|
Ыс |
|
|
|
2 |
|
|
arccos b2 - l 2c + ( s 0 ± v nt f ~ 2b (s0 ± vnt)
механизм с верхним расположением гидроцилиндров (рис. 33, б)
|
|
r |
+ i; |
|
;2 |
■ |
(so + V ) |
2 |
1 |
|
|
|
l c |
|
|
Ѳ: |
arccos■ |
2Ыс |
arccos - |
|
2 Ыс |
|
|
ß=± |
arccos |
b2 — l2c ~T (so + |
vn ) |
|
* |
+ *o — ( |
|
|
2b |
|
arccos - |
2bs„ |
|
|
Верхние знаки в этих и последующих выражениях относятся к случаю подъема стрелы, а нижние — к ее опусканию.
Угловые скорости поворота стрелы ыѳ и качания гидроцилин дров сор определяют из выражений
_ dQ |
d& |
du |
_ dß |
__ dß |
dz |
dt ~ |
du |
dt ’ |
dt |
dz |
dt |
Значения величин и и 2 и скорости движения звеньев механизма определяют по следующим формулам:
Рис. 32. Структурные схемы навесного оборудования погрузчиков
Касательное и нормальное ускорения точки С стрелы опреде ляют соответственно по формулам
0-с = е/с> о!с = ЩІ-
Геометрическая сумма этих ускорений равна абсолютному уско рению точки С.
Абсолютное ускорение точки F, принадлежащей поршню,
При ПОСТОЯННОЙ относительной скорости |
Ѵп = VF2/F3 Для данного |
механизма численно равна кориолисову ускорению |
ap./F. = 2( W f,/f, sin (со2ѵРг/Рз) = |
2(oßün sin (coßnn). |
Графо-аналитический метод определения кинематических пара метров. Основные приемы этого метода подробно рассмотрены в общих курсах механики; они сводятся к составлению векторных уравнений скоростей и ускорений точек плоского механизма и построению по этим уравнениям планов скоростей и ускорений.
Исходными данными для графо-аналитического расчета меха низма, показанного на рис. 34, являются размеры отдельных звеньев механизма, угол Ѳподъема стрелы и скорость поршня ѵ„. Последняя может быть определена по заданным значениям вре мени tn, подъема стрелы и хода s поршня цилиндра подъема.
План скоростей для определения скорости точки В механизма строят по векторным уравнениям
Ѵ В — ѵ п ~ Ь Ѵ В / А >
Ѵв — Ѵс + ѴВ/с.
Абсолютную скорость точки В определяют умножением отрезка
рѵВ, найденного из |
плана |
скоростей, |
на величину |
принятого |
масштаба скоростей |
|
|
|
|
|
Скорости точек Е, |
О и К, принадлежащих стреле, |
определяют |
из условия подобия |
|
|
|
|
|
ѵ в _ _ С В _ . |
% _ _ С О _ . ѵк |
с к |
|
ѵЕ ~ |
С Е ’ |
ѵв |
С В ’ ѵв ' ~ С В ' |
|
Для определения абсолютной скорости точки 3 конца ковша следует вначале найти скорости точек М, N , Р, F и G, воспользо вавшись для этого векторными уравнениями
&М “Ь Ѵм/D»
Ѵм == Vß 4~ Ѵм/Е>
где ѵ'п — скорость штока механизма управления ковшом;
Нр — По ~Ь Ѵр/о>
Ѵр — Vn - 1- Vp/ ң ,
Vg = VK + ѴС/к\
Vg — VF + VG/F j
