книги из ГПНТБ / Гоберман Л.А. Прикладная механика колесных машин

Из совместного решения третьего и первого уравнений находим

из совместного решения второго и третьего уравнении следует, что

Уравнение (И.7), определяющее возможные частоты р, назы­

Отсюда приходим к тому же уравнению частот (II.7). Обо­ значим корни этого уравнения через р г и р 2. Значения этих корней определяют характер движения системы и влияют на соотношения амплитуд ее колебаний.

Следовательно, с изменением частот будет изменяться и форма самих колебаний (рис. 6). Кривые динамических нагрузок ко­ леблются около некоторой оси симметрии, образующей с осью абсцисс угол а. При малых значениях частоты р кривая колеба­ ний имеет ступенчатую форму и значительно отклоняется от оси симметрии. С повышением частоты колебания приобретают волно­ образную форму, причем кривая колебаний отклоняется от своей оси симметрии тем меньше, чем больше значения частот. Это озна­

38

чает, что влияние собственных колебаний конструкции на вели­ чину динамических нагрузок становится малым. Поэтому в тех случаях, когда наблюдаются только высокочастотные колебания, исследуемая механическая система может быть принята абсо­ лютно жесткой.

+ Яі2 )Л{2) sin (p2t -(- a2);

s = Л3 ^Sin(pi* -)- ai) -)- Л3 *sin (p2t -j- ct2) —

= Яг^Л^ sin (pit -f- ai) + Я(22)Л22) sin (p2t + a 2).

Рис. 6. Кривые динамических нагрузок при раз­ личных значениях частот собственных колебаний

стотам колебаний (рг и р2). Колебания, соответствующие этим частотам, принято называть первыми и вторыми главными коле­ баниями системы.

Определение частоты собственных колебаний методом динами­ ческих жесткостей. При проектировании машин необходимость расчета собственных колебаний системы обусловлена стремлением избежать совпадения частот возмущающих сил с частотами соб­ ственных колебаний системы. Совпадение этих частот вызывает явление резонанса, когда амплитуды колебаний и, следовательно, нагрузки на элементы конструкции резко возрастают.

39

Аналитические выражения для частот собственных колебаний находят из уравнений частот либо решением дифференциальных уравнений, описывающих движение исследуемой системы.

Рассмотрим еще один метод нахождения частот собственных колебаний системы, который основан на определении так назы­ ваемых динамических жесткостей упругих звеньев.

Этот метод дает возможность определять значение частот не­ посредственно по эквивалентным схемам без решения дифферен­ циальных уравнений.

Если движение системы описывается уравнением ms + cs — Р0cos соt,

где Р 0 — амплитуда периодической возмущающей силы; со — частота возмущающей силы; с — статическая жесткость системы,

то частное решение этого уравнения имеет вид s = s0cos соt.

Подставляя значения s и s = —s0co2 cos аД в исходное диф­ ференциальное уравнение и приравнивая затем соответственные коэффициенты в его левой и правой частях, находим

—m 0s0со2 cos соt + csQcos a)t = P 0 cos соt,

отсюда

Динамическая жесткость сд определяется отношением ампли­ туды возмущающей силы к амплитуде смещения:

Сд - —та>2.

Последнее означает, что при действии на массу возмущающей силы она оказывает сопротивление, подобное обычной пружине. Поэтому величина (—тсо2) может быть названа условной жест­ костью массы.

Если система совершает собственные колебания с частотой р, то условная жесткость массы равна (—тр2).

С применением метода динамических жесткостей для определе­ ния частот собственных колебаний познакомимся на примере не­ которых механических систем (рис. 7).

40

На рис. 7, а показана система, состоящая из массы т и упру­ гого звена со статической жесткостью с; верхний конец этого звена в точке А соединен с опорой, а нижний конец в точке Б связан с массой. Для точки В, свободной от всякого закрепления, динамическая жесткость

сдВ О- Чтобы найти динамическую жесткость в точке Б, принадлежа­

щей этой массе, нужно к жесткости точки В прибавить условную жесткость массы, равную (—т р 2 ) :

Д е = с д в — т р 2 = — т р 2 .

Динамическую жесткость упругого звена в точке А можно рассматривать как приведенную жесткость двух последовательно соединенных упругих элементов с жесткостями сдБ и с:

Д

Рис. 7. Схемы для определения частот собственных колебаний методом динами­ ческих жесткостей:

а — о д н о м а с с о в а я с и с т е м а с о д н о й у п р у г о й с в я з ь ю ; б, г — д в у х м а с с о в а я с и с т е м а с о д н о й у п р у г о й с в я з ь ю ; в, д — д в у х м а с с о в а я с и с т е м а с д в у м я у п р у г и м и с в я з я м и

Однако точка А одновременно принадлежит и опоре, которую принимаем абсолютно жесткой, т. е.

С д А = ° ° -

Но, как следует из предыдущего выражения, величина сдА мо­ жет равняться бесконечности, если

с — т р 2 = 0 .

Отсюда находим значение частоты собственных колебаний си­ стемы

р - Ѵ Т -

Для двухмассо'вой системы (рис. 7, б), следуя тем же прави­ лам, находим:

для левой части системы Сдв = 0; Сда = Сдв — /пір2 = —/тир2;

41

для правой части системы

с д г = 0 ; с дБ = с д Г — т 2р 2 = — ш 2р 2 ;

динамическая жесткость упругого звена в точке А равна при­ веденной жесткости последовательно соединенных упругих эле­ ментов, имеющих жесткости сдВ и с:

Далее принимаем во внимание, что от массы т 2 точка А полу­ чает смещение в одну сторону, а от массы т х — в противополож­ ную, в результате чего точка А как бы находится под действием двух равных и противоположно направленных периодических сил Р. Поэтому справедливы отношения

или

ОдА ~ Ь ОдА — 0 .

Заменяя здесь с'дА и с"лА через их значения, получим

Двухмассовая система (рис. 7, в) имеет два упругих звена со

Ода = Одг — пцр2 = сі — тір2.

Согласно условиям, о которых говорилось в предыдущем при­ мере,

ОдА ОдА = 0.

42

После подстановки сюда значений Сд а и Сд а получим

Щ Р 2*с 2

сі — ЩР2 — о

с 2 — т 2р 2

или

Решая это биквадратное уравнение, находим его корни, соот­ ветствующие высокой и низкой частотам собственных колебаний системы:

Рі

Если в рассматриваемой системе с1 = 0, с2 = с, т. е. верхнее

этот результат, как и получаемая при сг = 0 эквивалентная схема, аналогичны предыдущему примеру.

Для двухмассовой системы (рис. 7, г), рассматривая ее верх­ нюю часть, имеем

Сдб = 0; Сда = сДБ — /щр2 = —т\р\

для нижней части

сдГ = °°; сдВ = СдГ — т2р2= оо;

динамическая жесткость упругого звена в точке А

Из условия

СдА Н~ СдА — 0

следует, что

—т 2р2 + с = 0,

откуда

с

Р =

43

К такому же результату можно прийти, составив следующие выражения:

Но жесткость в точке Г, принадлежащей абсолютно жесткой опоре, равна бесконечности (сдГ — оо), что возможно при

с — т хр2 = 0;

отсюда

Для двухмассовой системы (рис. 7, д) имеем:

то

тіргс1

Отсюда находим значения частот собственных колебаний си­ стемы

Таким образом, частотные характеристики систем, изображен­ ных на рис. 7, в, д, одинаковы.

Определение частот собственных колебаний элементов гидро­ привода. Так как жесткость, заполняющая гидросистему, сжи­ маема, ее можно уподобить механической системе в виде массы, укрепленной на пружине.

44

то величина перемещения поршня при действии на него силы Р

Дифференциальное уравнение движения поршня в цилиндре можно записать так:

ms + c.Ms + pnFn = О,

где т — масса, приводимая в движение поршнем, и масса самого поршня, включая жидкость в гидроцилиндре;

рп — избыточное давление жидкости на поршень.

По этому уравнению определяем частоту собственных коле­ баний системы

р = Ѵ ^ = \ / Г ^ - <пЛ1>

Средние значения изотермического модуля упругости при тем­ пературе 15° С и давлении 200 кгс/см2 для различных жидкостей

При быстрых изменениях давления в гидросистеме, что на­ блюдается, например, при резком торможении навесного обору­ дования, процесс сжатия жидкости протекает адиабатически и не охватывает всего объема жидкости в цилиндре. По данным В. Н. Прокофьева и И. А. Лузановой, для применяемых в гидро­ системах масел и синтетических жидкостей в диапазоне давлений 50—200 ат адиабатический модуль упругости жидкости примерно на 15% выше значения изотермического модуля.

Снижение температуры и повышение давления несколько уве­ личивают значение модуля упругости жидкости, но наибольшее влияние на его величину оказывают степень заполнения полости цилиндра жидкостью и объем содержащихся в цилиндре воздуха

игазов. Последние несколько снижают жесткость гидропривода

иодновременно ухудшают его быстродействие.

45

Частота собственных поперечных колебаний трубопровода, за­ деланного по концам и заполненного жидкостью, может быть определена по формуле

dx и d2— наружный и внутренний диаметры трубы.

При определении частоты собственных колебаний гибких шлан­ гов значение их модуля упругости может быть принято равным

Еш = (1,0-г-І.І) ІО3 кгс/см2 (98,1 ч-1,08) ІО3 кН/м2.

Частоту собственных колебаний системы, состоящей из ци­ линдра, трубопроводов и гибких шлангов, определяем по значению приведенной жесткости спр гидросистемы и приведенной массы mnp механических элементов гидропривода и рабочей жидкости

Р = V Сир

т пр

Определение частоты собственных колебаний цистерн, напол­ ненных жидкостью. Несколько упрощая явление гидравлического удара при резком торможении машины с цистерной, наполненной жидкостью, ее движение можно описать уравнением

жидкости; / — длина цистерны;

Fx — площадь поперечного сечения жидкости в цистерне; с — жесткость днища цистерны.

Решив это уравнение при t = 0, х = 0 я х = ѵ (и — скорость движения машины-цистерны перед торможением), получим зави­ симость

sin k t,

46

где частота собственных колебаний системы

к=Ѵтк- <ІМ 2>

Величина динамического давления жидкости на днище ци* стерны при гидравлическом ударе

7.ВЛИЯНИЕ ДЕМПФИРУЮЩИХ СОПРОТИВЛЕНИЙ

Наличие трения в элементах системы, являясь причиной рас­ сеивания энергии, приводит к затуханию колебаний. В технике этот эффект называют демпфированием, а силы трения, его вызы­ вающие, — демпфирующими сопротивлениями.

Имеются два вида демпфирования: искусственное, специально вводимое в систему (амортизаторы), и естественное, обусловлен­ ное внутренним трением в материале. Если первое с той или иной степенью точности можно вычислить аналитически, то естественное демпфирование не поддается расчету и определяется экспери­ ментально.

В большинстве случаев демпфирующие сопротивления имеют нелинейный характер, что значительно усложняет решение задач динамики. Поэтому в инженерной практике принимают величину сопротивления демпфирования Rr в процессе движения системы постоянной либо пропорциональной перемещению или скорости первой степени:

Яг=РгЯі,

где — обобщенная скорость;

ßr — коэффициент пропорциональности, называемый также коэффициентом демпфирования, в кг-с/м.

Наряду с коэффициентом ßr в математических моделях исполь­ зуют также величину kr, равную отношению коэффициента демп­ фирования к удвоенной массе рассматриваемого элемента; ее на­ зывают удельным сопротивлением демпфирования. Величина kT имеет размерность круговой частоты.

Для характеристики демпфирования используют и безразмер­ ный параметр фг, равный отношению удельного демпфирования kr к частоте k собственных колебаний системы.

47