книги из ГПНТБ / Гоберман Л.А. Прикладная механика колесных машин

ким стержнем, другой конец которого шарнирно закреплен на плоскости, может в каждый момент времени совершать движения только по дуге окружности с радиусом, равным длине стержня, в ту или другую сторону.

На рис. 15 представлен график, иллюстрирующий отличие между вариацией функции (бг) и ее дифференциалом (dz). Вариа­ ция представляет собой бесконечно малое приращение коорди­

идеальным стационарным связям, формулируется так: для равно­ весия системы необходимо и достаточно, чтобы сумма работ зада­ ваемых сил на любых возможных перемещениях точек системы равнялась нулю:

Так как идеальными называют связи, для которых сумма работ реакций связей на любом возможном перемещении системы равна нулю, то в это уравнение силы реакции связей не входят.

При выражении принципа возможных перемещений для голономных систем через обобщенные координаты задаваемые силы заменяют так называемыми обобщенными силами Q±, Q2, . . ., Qk', в этом случае принцип возможных перемещений получает вид

Так как здесь обобщенные перемещения как угоднб произ­ вольны, то из последнего выражения вытекает и другая формули-

68

ровка принципа обобщенных перемещений: для равновесия си­ стемы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы системы были равны.

Обобщенные силы, как следует из этого уравнения, есть по­ стоянные коэффициенты при обобщенных перемещениях системы. Для определения обобщенных сил нужно вычислить сумму эле­ ментарных работ всех заданных сил, действующих на систему, и из полученного таким образом выражения найти обобщенные силы.

Пусть, например, задана система, состоящая из двигателя, ведущих валов, муфты сцепления и расположенных за ней ведо­ мых валов привода и исполнительного органа.

От двигателя к ведущей части муфты подводится момент Мд, ведомая часть муфты при условии проскальзывания ее элементов нагружена моментом М ф, отличным от значения МА, и, наконец, на исполнительном органе действует момент сопротивления М с. Выбирая для данной системы в качестве обобщенных координат углы фх и ф2 поворота частей системы, расположенных до и после

Если силы, действующие на систему, имеют потенциал (силы веса, силы упругости), то обобщенные силы равны взятым с обрат­ ным знаком частным производным от потенциальной энергии системы по соответствующим обобщенным координатам:

Заметим, что как обобщенные координаты могут не иметь измерения обычных линейных координат, так и обобщенные силы могут иметь измерение не силы, а момента силы.

Принцип Даламбера. Сущность принципа Даламбера состоит в том, что если к каждой материальной точке движущейся системы приложить силу инерции этой точки, то вся система, на которую действуют заданные (внешние) силы и реакции связи, окажется уравновешенной. Аналитически этот принцип выражается так:

Рі + Fi + = 0 ( i= 1 , 2 , . . . , п),

где Рі, Fi и Р[а) — соответственно заданная сила, реакция связи и сила инерции, приложенные к f-й точке системы,

69

По модулю сила инерции материальной точки равна произве­ дению массы точки на ее ускорение и направлена противоположно ускорению.

Как видим, принцип Даламбера дает общий прием составле­ ния уравнений динамики, которые по форме аналогичны уравне­ ниям статики.

Общие уравнения динамики. Применяя к движущейся системе совместно принцип возможных перемещений и принцип Далам­ бера, можно сформулировать следующее правило: для движущейся системы, на которую наложены идеальные связи, сумма элемен­ тарных работ всех заданных сил, действующих на систему, и сил инерции материальных точек равна нулю при любом возможном перемещении системы.

Это правило выражается соотношением, получившим название общего уравнения динамики, или уравнения Даламбера—Лаг­

и бz, независимы, и в этом случае из общего уравнения механики получим

Х( — т ^і = 0 ;

у I — "4^ = 0-,

z i — 'К Л = о.

Из общего уравнения динамики получаем дифференциальные уравнения, в которые не входят силы реакций идеальных связей.

Уравнения Лагранжа первого рода. Для несвободной системы,

на точки которой наложено k стационарных, идеальных, голономных связей, могут быть применены выражения, аналогичные пре­ дыдущим, но с добавлением членов, содержащих неопределенные множители Лагранжа Яу:

k

Эти уравнения называют уравнениями Лагранжа первого рода. Приведем пример использования этих уравнений.

'70

Пусть какое-либо тело, имеющее форму шара, перемещается по гладкой плоскости, задаваемой уравнением

ах + by + cz + d = 0 .

Тело находится под действием вертикальной силы веса X = 0,

Y = 0, Z = G и силы реакции связи F, проекции которой на оси декартовых координат равны Fx, Fy, Fz.

Уравнения Лагранжа первого рода для рассматриваемой си­ стемы запишем так:

Таким образом, имеем четыре уравнения для определения че­ тырех неизвестных х, у, г и К.

Преобразуем эти уравнения, для чего из последнего найдем

м. = с,

d z

и подставим в первые три уравнения:

и умножим это выражение на т:

тха + tnyb -f- mzc — 0 .

Заменив здесь тх, ту и mz через их значения, получим

Ха2 + ХЬ2 + Хс2 — cG = 0;

отсюда находим неизвестный множитель

71

Интегрируя эти выражения, находим

1

Входящие сюда постоянные интегрирования определенным об­ разом связаны между собой, так как движение тела не является свободным. Для определения постоянных подставим значения х, у и z в уравнение связи

<P? + pb* + pc' - cG) /2 + (flCi + ЬСз + сСй) + (Са + с 4 + С6 + d) = 0 .

Так как член, стоящий при t2, числитель которого соответ­ ствует уравнению связи, равен нулю, то из последнего выраже­ ния следует, что

аС! + ЬС3~{- сС5 = 0; 1

Сг + С4 + С6 + d = 0. I

Остальные четыре уравнения для определения постоянных интегрирования можно найти из начальных условий, задаваясь

значениями х, у, z и х, у, z при t = 0 и воспользовавшись для этого указанными выше выражениями для х, у и z.

Если Fi есть реакция связи, действующая на г-ю точку несво­ бодной системы, то уравнения ее движения запишем так:

Отсюда находим значения составляющих реакции связи, имея в виду, что Gx = 0, Gy — 0:

Fx = ра\ Fy = pb\ Fz = pc.

Уравнения Лагранжа второго рода. Из общего уравнения ди­ намики можно получить соотношения, известные в механике как

72

уравнения Лагранжа второго рода; для голономных систем эти уравнения записываются так:

где Т — кинетическая энергия системы.

Эти уравнения описывают движение системы в обобщенных координатах, что представляет определенные преимущества при составлении дифференциальных уравнений движения сложных механических систем. При наличии k голономных связей, нало­ женных на систему, число уравнений Лагранжа равно числу обоб­ щенных координат и, следовательно, числу степеней свободы системы.

Для неконсервативных систем, в которых часть энергии дис-

Для решения задач динамики неголономных систем исполь­ зуют уравнение Лагранжа с неопределенными множителями

и неголономных систем могут быть использованы уравнения Аппеля

= Q ( / = 1 , 2 , ...,£ ) .

Величину S называют здесь энергией ускорения. Для полу­ чения выражения этой величины можно пользоваться теорией, аналогичной теореме Кенига для кинетической энергии: энергия ускорения системы складывается из энергии ускорения центра

73

масс системы ас и энергии ускорения системы в ее относительном движении вокруг центра масс S':

S = ~ S Wittl + S = ~ тсОс + S .

Поясним определение энергии ускорения системы на примере, взятом из задачи Чаплыгина—Каратеодори. Пусть по плоскости происходит движение тела, опирающегося на тонкие полозья, которые не позволяют некоторой точке этого тела перемещаться

Так как по условию задачи точка D не может перемещаться вдоль оси Dг), то vDn = 0 и тогда

— х0 sin ф + у0cos ф = 0 ;

отсюда

■— = tg ф.

X q

Связь, определяемая этим уравнением, — неголономная, так' как это отношение не интегрируется.

Применим формулу Ривальса для плоского движения для определения ускорения центра масс рассматриваемой системы:

= «о +

где е — угловое ускорение системы; со — ее угловая скорость;

ес — вектор DC.

74

Обозначим через і0, / 0 и k0 орты неподвижной системы коор­ динат, направленных соответственно вдоль осей ОХ0, OY0 и в плоскости, перпендикулярной плоскости этих осей.

Для нахождения величины г-ес составим определитель

= [0 • 0 — ф (/ sin ф Д- b cos ф)] t'o Д- [ф (/ cos ф — b sin ф) — 0-0] / 0 Д

-Д [0 (/ sin ф — b cos ф) — 0 (/ «жф — b sin ф)]Ао = = — ф (/ sin ф -|- b cos ф) і0 ф (/ cos ф — Ъsin ф) /0.

Аналогично находим

со0 ес = — ф (/ sin ф Д- b соэф) і Д- ф (/ cos ф — b sin ф) /;

тогда

© 2 • ес = — ф 2(/ sin ф + b cos ф ) і - | - ф 2 ( / cos ф — b sin ф ) / .

С учетом полученных выражений находим проекции вектора ас на оси неподвижных координат:

Для вычисления энергии ускорений в относительном движе­ нии по отношению к центру масс С найдем ускорение некоторой точки т тела в ее относительном вращении вокруг точки С

аіс = е X гі — со гі\ аіс = фV- Д- фѴ-,

но здесь mirl — Je — момент инерции тела относительно оси, проходящей через ее центр тяжести, поэтому

5 = - ^ ^ ф 2 + -тг,/с ф 4 = 4 _ т с Р ^ (*)2 + <Р4)’

где рг- — радиус инерции тела относительно точки С. Таким образом, полная энергия ускорения системы

S — ~2 ~ т с ( а сх„ + а сув) + ~2 ~ J c( (p Ч ' ф )•

75

Теперь для составления дифференциальных уравнений Дви­ жения системы можно воспользоваться уравнениями Аппеля.

Рассматриваемая система имеет три обобщенные координаты, но только две степени свободы, так как между координатами х0 и у0 имеется дифференциальная связь, выражаемая отношением

J/o = tg ф.

X

Число уравнений Аппеля равно числу степеней свободы си­ стемы. Поэтому для нашего примера уравнения Аппеля запишутся так:

Все последующие действия не представляют каких-либо труд­ ностей, и мы не будем их рассматривать.

13. ПРИМЕРЫ СОСТАВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ

ПРИНЦИПА ДАЛАМБЕРА И УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА

Принцип Даламбера и уравнения Лагранжа второго рода (в дальнейшем мы будем называть их уравнениями Лагранжа) получили наибольшее распространение при решении различных задач динамики голономных систем. Рассмотрим основные приемы составления дифференциальных уравнений движения некоторых механических систем с использованием принципа Даламбера и уравнений Лагранжа.

Для получения дифференциальных уравнений движения по принципу Даламбера движение каждой массы, входящей в си­ стему, следует рассматривать отдельно, заменяя действие одной массы на другую силами упругости или моментами от этих сил. После этого каждая масса будет в равновесии под действием заданных сил, сил упругости и сил инерции.

На рис. 17, а показана эквивалентная схема двухмассовой системы. Массы т 1 и т 2 находятся соответственно под действием движущей силы РД и силы сопротивления Рс и связаны между собой упругим звеном с жесткостью с. Мысленно разъединяя эти

т 1 и т 2, и силы инерции т хх и т 2х 2.

Направление сил инерции или моментов от этих сил рекомен­ дуется выбирать против движения механизма (машины), незави­ симо от того, работает механизм в силовом или тормозном ре­ жиме.

76

Рассматривая теперь отдельно равновесие масс т х и т 2, получим два дифференциальных уравнения, описывающих дви­ жение данной системы:

т1х1 + с(х1 — х2) = Рл\

т2х2— с (лу — х2) = — Рс.

Эти же уравнения можно получить, применяя соотношения Лагранжа. В этом случае нужно:

а) определить число степеней свободы системы и в соответ­ ствии с этим числом выбрать независимые обобщенные коорди­ наты;

77 7 7 7 7 7 7 7 К 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 ^7 7 7 7 Т 7 .7

Рис. 17. Эквивалентные схемы:

связями

б) найти кинетическую энергию системы и вычислить затем частные производные кинетической энергии по обобщенным ско­ ростям, производные этих результатов по времени, а также част­ ные производные кинетической энергии по обобщенным переме­ щениям;

в) найти обобщенные силы системы, а при наличии сил веса и сил упругости — также и потенциальную энергию системы и вычислить частные производные потенциальной энергии по обоб­ щенным перемещениям;

77