книги из ГПНТБ / Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие
.pdfВОЕННО-МОРСКАЯ орденов ЛЕНИНА
и УШАКОВА АКАДЕМИЯ
V
'В. С. БОЛДЫРЕВ
і
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
ВГИДРОГРАФИИ
ИКОРАБЛЕВОЖДЕНИИ
ЛЕНИНГРАД
1 9 7 4
/
*чф»'■ |
1 |
+
■%
ВОЕННО-МОРСКАЯ орденов ЛЕНИНА н УШАКОВА АКАДЕМ И Я
Кандидат технических наук доцент В. С. БОЛДЫРЕВ
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
ВГИДРОГРАФИИ
ИКОРАБЛЕВОЖДЕНИИ
Утверждено начальником Академия |
■ |
в качестве учебного пособия для |
( л |
слушателей Академия |
|
ЛЕНИНГРАД
1 |
9 |
7 |
4 |
В учебно« пособии изложены вопросы математической обрабвтки результатов измерений,встре
чающихся в навигационной и гидрографической практике.
Предназначено для слушателей Академии.Может быть использовано преподавателями высиих »вен но-морских училищ ВМФ.
Ответственный редактор кандидат географических наук доцент Е.В.АЛТЫКИС
© Военно-иорская орденов Ленина и Ушакова Академик
19?** г.
В в е д е н и е
Первые сведения о математических методах обработки результатов измерений относятся ко второй половине Ш І века, когда соотечественник и современник Ньютона - Коте {Cotes ) занимался разработкой зачатков развития
теории |
ошибок. В частности, |
Коте предложил формулу для |
|
случая |
измерения функции с одним неизвестным: |
||
|
агх ^ |
^ |
•, |
|
г = |
/ , 2 , п |
|
В настоящее время эта формула практически забыта, так как она позволяет обрабатывать измерения в одном редко встречающемся частном случае и, кроме того, спра--
ведлива только тогда, когда коэффициенты Qt |
во всех |
|
уравнениях примерно одинаковы. |
' |
* с- |
Опыт измерений ХУШ века привел теорию Ньютона вѴ. столкновение с практикой. По данным измерений оказалось, что Земля не сплюснута у пелвсов, как это следует из теории Ньютона, а , наоборот, вытянута. Потребовалось более тцательно изготовлять измерительные инструменты, и возник вопрос о разработке более совериенной теории ошибок измерений. В связи с этим предложенный Мейером для обработки результатов измерения метод средних уже не мог удовлетворить потребности науки и практики. Нужно было научиться обоснованно производить оценку точности полученных результатов измерений и основанных
на этих измерениях вычислений. В ТУШ веке изучением ошибок измерений занимались такие крупные ученые, как Бернулли » Лагранж и затем на рубеже ХУШ и XIX столетий - Лежандр, Лаплас и Гаусс.
А.Лежандр в 1806 г . опубликовал статью, в которой чисто алгебраическим путем развернул основные положения
способа наименьпих квадратов, |
положив в основу простоту |
|
и удобство. |
Статья была посвящена вычислению кометных |
|
орбит, и в |
ней впервые было дано название нового метода |
|
определения |
неизвестных. |
|
Очень много работал в области теории вероятностей |
||
Лаплас, который еще в 1799 г . |
разработал метод нахожде |
|
ния значений неизвестных по уравнениям ошибок
при условии наименьшего значения наибольшего по абсолют
ной величине |
уклонения г/- . Но |
этот способ |
оказался |
|
непрактичным из-за сложности вычислений. |
|
|||
В 1809 г . |
Гаусс |
дал первое |
вероятностное |
обоснование |
метода наименьиих |
квадратов, а |
в 1810 г . он |
же глубоко |
|
разработал вычислительную сторону вопроса |
и ввел симво |
||
лы и обозначения, |
сохранившиеся и поныне. |
Гаусс |
вывел |
формулу вероятности нахождения ошибки измерения |
в пре |
||
делах от Л до |
4 + сІЛ : |
|
|
т .е . формулу нормального распределения.
При этом он исходил из следующих положений:
- вероятнейшим значением многократно измеренной ве
личины при любом числе измерений является арифметичес кая середина;
и
- до измерения все гипотезы о неизвестной велиииие равновероятны.
Б IRI2 г . Лаплас в фундаментальном трактате но теории вероятностей показал, что наилучшим значением линейной функции измеренных величин будет то, которое находится по методу наименьших квадратов. Это значение обладает наибольшим весом.
л ТП2Т г . Гаусс опубликовал другое обоснование спосо ба наименьших квадратов. Он исходил из условия, что для случайной ошибки Л
М( Л ) = 0 ,
ииз требования, чтобы окончательное значение искомой
величины обладало наименьшим значением интеграла
-г х э
т.е . квадрата средней квадратичен#;’, ошибки.
В1841 г . при помощи метод« наименьших квадратов Бессель произв- л ов»а#«тку результатов европейской триангуляционной сети и получил размеры полуосей' зем ного эллипсоид«, мт«рме в течение ICO лет использова
лись в нишей строке. Дальнейшие важные результаты были получены в теории метода наименьших квадратов в 1859 г. П.Л.чебышевым, разработавшим теории интерполирования по ѵетвду наименьших квадратов с помощью ортогональных полиномов, носящих его иѵя. '-.А.Барков в . іяор г . в ра боте "Закон больших чисел и метод наименьших квадра
тов" внес в математическую статистику ряд весьма важных идей, пояснивших суть метода наименьших квадратов.После работ Баркова с двадцатых годов нынешнего века метод наименьших квадратов включен в математическую статисти ку как ватная и естественная часть теории оценивания параметров.
5
Внастоящее время в области математической статистики
иприменения вероятностных методов для обработки резуль татов измерений работают крупнейшие советские ученые, такие, например, как Колмогоров, Линншс и др.
Что касается теории ошибок измерений, то в соответст
вии с конечной целью тех или иных изысканий необходимо заранее рассчитать точность потребных для этей цели,
например, |
геодезических работ и обеспечить соответствие |
|
точности |
исполненных работ и точности, |
предусмотренной |
проектом. |
Если действительная точность |
окажется ниже |
проектной, то такая геодезическая работа непригодна для использования. Если геодезическая сеть окажется точнее, чем нужно, то будут затрачены излияние силы, средства и время. Все это ставит достаточно сложив задачи как перед непосредственными исполнителями, так и перед руководителями соответствующих работ. Особое
значение перечисленные полокимя имеют нри ограниченном времени и средствах, выделенных для производства работ.
В области гидрографии и океанографии наиболее из вестные работы по математической статистике принадлежат известным ученым В.В.Каврайскому, А.П.СЦенко и др., Фундаментальные труды которых положены в основу боль шинства современных методов производства гидрографичес ких и океанографических работ. Следует заметить, что до самого последнего времени в практике гидрографии и океанографии рассматривались только случайные величины, причем, как правило, только независимые случайные ве личины. Однако оказалось, что такой аппарат не позволя ет объяснить ряд закономерностей, встречающихся в прак тике, и в ряде случаев ведет к ошибочным выводам. Ваиболее яркий пример в данной области относится к погреш
ностям навигационных приборов. Если считать, что пягреш-
6