книги из ГПНТБ / Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие

P i)m e J F

4 P

47

'•loecLG^. . По результатам обработки различных наблюде­

ний, встречающихся в практике гидрографии и кораблевоздения, установлено, что d* имеет порядок — 0 ,3 . Следовательно, в среднем арифметическом обычно содер­ жится систематическая ошибка, равная примерно 1/3 от величины стандарта. Очевидно, что при увеличении числа наблюдений величина этой систематической ошибки не уменьшается. Это дает возможность поставить условия, связывающие число измерений и ожидаемую величину систе­ матической погрешности:

Как уже отмечалось, отличие реального распреде -ения от нориального приводит к нарушению соотношения между величиной стандарта и предельной ошибки. В теории ве­ роятностей доказывается, что при любом законе распре­ деления вероятность выхода случайной величины за пре­ делы 3(j ограничена величиной 1/9 (неравенство

Чебышева).

Для того чтобы решить вопрос о величине реальной предельной ошибки, рассмотрим распределение, имеющее эксцесс. Одним из таких распределений является распре­ деление Субботина, имеющее плотность распределения

Другим распределением, для которого можно учесть влияние эксцесса, является распределение Грама-Шарлье. Плотность этого распределения

Для закона равномерного распределения предельная ошибка

50

Таким образом, -4? представляет собой среднее квад­ ро

ратическое отклонение правой части (І.І0 5 ) от нуля. Последнее условие было выведено в предположении, что

измерения не содержат систематических ошибок. Таким об­ разом, можно написать, что

Этот критерий носит специальное название критерия Аббе.

Уточненный критерий Аббе

Итак, использование критерия Аббе основано на сравне­ нии квадратов случайных ошибок измерений и квадратов их последовательных разностей.

Рассмотрим полученные раньше соотношения:

Со2

При п > Ю распределение дроби приблииенно нормаль­ ное. Поэтому можно составить таблицу для вычисления

53

полученное при расчете по экспериментальным данным. Итак, для решения задачи необходимо: по результатам

наблюдений вычислить £ 5 и (j 2 ; вычислить дробь і= Q2

§8. Неравноточные изменения

Вслучае неравноточных измерений результаты измере­ ний обладают различной степенью надежности, что необ­ ходимо учитывать при их обработке. Надежность результа­ та измерения выражают числом, называемым весом(Я) это­ го результата.

Вкачестве веса чаще всего используется величина,

обратно пропорциональная дисперсии,

54

( I . I I I )

Коэффициент к назначается произвольно. Это позволя­ ет выбирать его таким, чтобы было удобно оперировать с весами Р . Удобно какому-либо из измерений придать

К геодезической литературе принято обозначать сред­ нее квадратическое отклонение единицы весаут*(у?г =&})•

Т'сли наблидение со средней квадратической ошибкой

Так как вес - величина, обратная дисперсии, к нему могут быть применены все теоремы, применимые к лиспер-

■/

к = .і •

55

Определим среднюю квадратическую ошибку среднего арифметического:

( І .И 5 )

р ,* р 2

Вес этой арифметической середины:

Отсюда следует, что среджее квадратическое отклоне­ ние среднего взвененного всегда меньше, чем наименьшее Of отдельного измерения. Таким образом, теоретически осреднение всегда полезно. Однако на практике осредне­ ние не всегда целесообразно, так как результирующее уменьшение погрешности может быть очень незначительным. Кроме того, следует иметь в виду, что величии средних квадратических отклонений на практике обычно известны неточно. Поэтому кажущееся улучшение точности среднего взвешенного результата может оказаться в пределах по­ грешности исходных данных.

Для оценок параметров неравноточных измерений можно использовать те же формулы, что и для равноточных из­ мерений, но с учетом весов отдельных измерений, например:

56