книги из ГПНТБ / Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие
.pdfмощью механических, электро-механических и электронных счетно-решающих устройств.
Независимо от технической реализации указанный выше принцип работы коррелятора остается одним и тем же. Следовательно, формулы для оценки точности математиче ского одидания и корреляционной функции остаются в силе и в данном случае. Однако надо помнить, что эти формулы получены в предположении стационарности случайной функ ции. Пусть, например, нестационарность вызвана тем, что математическое ожидание процесса непостоянно, т . е .
|
X ( t ) = a +g t . |
Тогда |
т |
M [X (i)Y j\ x (t)c tt = a + j t T .
о
Так же возникает систематическая ошибка и при вы
числении корреляционной функции:
т-г
м [ к ( Ѵ ] - К ( Т ) ^ ( Т - Т - Т , ) [ к %) +
о
г К{г- rt )]dz,+ ~ і\т - z f - j a S r .
Второе слагаемое (для эргодических процессов) здесь будет стремиться к нулю, а третье будет расти по квад ратичному закону. Таким образом, если мы считаем, что
X — c o n s t |
» а в Действительности |
* то в |
определении К(Т) возникнет систематическая ошибка,ко-«
торая будет расти с ростом Т и будет зависеть от Z . Кроме схемы корреляторов, пригодных для обработки любых стационарных случайных функций, существуют кор реляторы, специально предназначенные для обработч
217
реализаций только стационарных нормальных процессов.
Учитывая, что ординаты x ( t ) |
и х { і + Т ) |
образуют систему |
|||||
нормальных случайных |
величин, обозначим для краткости |
||||||
x , = x ( t ) - X ; |
x2= x ( t r T ) - X y |
K (J))~<32. |
|||||
Для плотности |
вероятности f ( x t х 2 ) |
получим |
|||||
|
|
|
|
|
' 2 в 2(!-'^) |
[x^tx^-ZK. |
|
Л |
|
|
|
|
|
||
4 J' |
|
|
,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность |
того, |
что х , |
|
и х 2 |
будут иметь про |
||
тивоположные знаки, определится формулой |
|||||||
О |
|
|
|
ос |
О |
|
|
f( * ,* s )d x ,d x 2' \ ^ f ( x t x 2) с/х/ d x 2 |
|||||||
- оо О |
значение f ( x t x 2 ) |
|
|
||||
Подставив |
и переходя к полярным |
||||||
координатам, |
найдем, |
что |
|
|
|
||
|
г- |
|
/ спс с£< |
|
к |
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
Это выражение |
эквивалентно |
следующему: |
|||||
|
« |
ѵ - Ш |
■*ъ ■ |
(4.21) |
|||
|
|
||||||
Вычисление оценки нормированной корреляционной функ ции по (4.21) чояет быть автоматизировано следующим образом. Пусть дана реализация центрированной стацио нарной случайной функции и эта реализация записана ча подвижной лепте. Предположим, что в точках А и 6 , отстоящих друг от друга на расстоянии *27 , имеются
?Т8
устройства, фиксирующие знак ординат. Если перемещать ленту с постоянной скоростью и замыкать цепь счетчика времени только тогда, когда знаки функции в точках А и ß разные, то отношение времени Г , отсчитанного
счетчиком, ко всему времени движения ленты даст оценку искомой вероятности £ :
Устройство такого коррелятора значительно проще,чем устройство коррелятора предыдущего типа. После получе ния корреляционной функции в виде таблицы или графика возникает задача аппроксимации данной характеристики с помощью какого-либо подходящего выражения. Выражения,
используемые для такой аппроксимации, должны удовлетво рять общим свойствам корреляционных функций и отображать характерные особенности полученной кривой К(Т) .Однако высокая точность приближения к найденному значению
К ( і ) в большинство случаев |
бывает |
не нужна для |
даль |
нейшего использования. Кроме того, |
следует иметь |
в виду |
|
и малую точность полученной |
Кі'с) . |
Поэтому выбор типа |
|
аппроксимирующего выражения и необходимая точность аппроксимации 7?(Ѵ) определяются той задачей, для ре шения которой требуется значение корреляционной функ ции.
Например, если случайная функция, характеристики которой определяются из опыта, входит в правую часть дифференциального уравнения, решение которого и являет ся объектом исследования, то обычно имеет значение только общий характер Л'('Г) • Если же требуется опре делить корреляционную функцию производной случайного процесса, то в качестве аппроксимирующего выражения
2 1 9
следует подбирать формулы, соответствующие дифферен цируемому процессу.
При подборе могут быть использованы следующие по нятия приближения.
I . В ряде указанных точек разность между корреляцио ной функцией и аппроксимирующим выражением должна об
ращаться в нуль:
п
E W i C V - x W - o .
і=0
Здесь - некоторые постоянные вещественные числа і
-заданная система линейно-независимых функций.
2. В случае степенных приближений задаются условием, чтобы на заданном интервале интеграл
принимал значения, мало отличающиеся от 0 . При т - 2 приходим к так называемому квадратическому приближению. 3. В случае равномерного (наилучшего) приближения
исходят из условия малой величины разности
п
^ С і % ( т ) - К ( г ) ч е
в любой точке. С практической точки зрения интересна аппроксимация корреляционной функции в виде суммы
п
г=о
220
где i cL; t “ параметры, подлежащие определе
нию. При подборе параметров основное внимание уделяет ся начальной части кривой, а расхождение аппроксимирую щего выражения с корреляционной функцией при больших Z может считаться допустимым.
Например, пусть в качестве аппроксимирующего выраже ния принято
Потребуем, чтобы (4.22) |
совпадала с корреляционной |
|||
функцией в начальной |
точке |
и имела нуль в той желточке, |
||
что и К (Т ) |
при £"= % |
, и чтобы в точке Т = Т 2 К (Т г ) |
||
имела |
ту же ординату, что |
и К (с). Выполнение этих ус |
||
ловий |
дает |
уравнения: |
|
|
Из первого уравнения следует, что
d .~ ß c t < ^ ß \ i , I •
И задача сводится к решению одного уравнения с одним неизвестным, что может быть осуществлено графически. Возможны и другие способы подбора значений с*, и ß по найденному графику К (Т ) . Кроме корреляционной функции
на практике часто пользуются так называемой структур ной функцией, которая вычисляется по следующей формуле:
о
Эта характеристика показывает, как неняется разброс ординат случайной функции при увеличении интеграла Z.
6 отличие от корреляционной функции структурная функция является ограниченно возрастающей. В самой общем слу чае ее график имеет вид, представленный на рис.25.
ß т
Рис.25
С помощью структурной функции в гидрометеорологии и океанографии характеризуют изменчивость гидрометеоэлемента по времени или в пространстве. По известной корреляционной функции структурная функция находится просто:
ß (Т) = М [x(t) ~cc(t +'Г)]2',
О». 2*0
ß (T ) = 2 [к(0)~К(<с)] .
Таким образом, зная корреляционную функцию, можно легко получить значение структурной функции для любого Z . Однако на практике иногда бывает целесообразно непосредственно определять структурную функцию по ре
222
зультатам опытов, так как такой образ действий имеет некоторые преимущества.
Предположим, что в нашем распоряжении имеется за пись нескольких реализаций стационарной случайной^
функцииx(t) за интервал |
0,Т |
. Вычислим значение ß(T ) |
по каждой реализации, а |
затем |
осредним его по всем за |
писям. Теперь |
|
|
В ( T h ^ [x(t)~x(t+T)J alt,
Т-Т
где черта обозначает осреднение по большому числу за
писей
г-Г
ß(Th |
\x 2(t) ~ 2 x ( t ) x ( t + Т) + X |
t . |
|
U |
|
|
О |
|
Здесь х Ч і) =x 2( t * T) = R j p ) у т х2 |
- среднее зна |
|
чение дисперсии, а
x ( t ) x ( t + T ) = Kx (Z )+ m 2x
и, таким образом, окончательно
№ ) = 2[кх (О) - КХ(Т)] -
Как видим, с точностьп до постоянного множителя, значение структурной функции при увеличении числа за писей стремится к истинному значение этой характери
стики.
Помимо автокорреляционной функции, которая показыва ет, как изменяется связь между ординатами одной и той же реализации, на практике представляет интерес опре деление взаимных корреляционных функций, показывающих
223
изменение связи между ординатами различных случайных функций, например между проекциями вектора скорости течения на меридиан и параллель в одной точке и на одном горизонте, между проекциями вектора скорости течения на разных горизонтах или в разных точках.
Получать взаимные корреляционные функции можно с помощью тех же методов, что и автокорреляционные.Един ственный разницей здесь будет то, что вместо ординат одной и той же случайной функции, разделенных проме^т- ком 7 , используются ординаты двух различных случай ных функций.
Б отношении аппроксимации взаимной корреляционной функции действуют те же правила, что и для автокорреля ционной. Изучение этой важной характеристики позволяет выполнять прогноз какого-либо элемента, фиксация кото рого невозможна по измеренным значениям другого элемен та.
Для определения оценки спектральной плотности можно или предварительно найти оценку К(Т) и затем вычислить
S(co) с помощью преобразования по Фурье или с самого начала вести обработку реализаций случайной^функции так, чтобы сразу находить ординаты оценки S (со) .
Если оценка S(co) определяется по предварительно най
денной К (7 ) , то возможно или предварительно аппрокси
мировать К(7) соответствующим аналитическим выражением,
или исходить непосредственно из графика К (7 ) •
Первый способ представляется наиболее практичным в том случае, когда из общих соображений'вид корреляцион ной функции не вызывает сомнения и нет опасности при ее аппроксимации упустить какие-то существенные подроб
ности спектральной плотности. Однако часто возникают задачи, при которых оценка должна быть найдена с боль шой точностью. К таким задачам относятся, например, задачи прогнозирования ординаты случайной функции на некоторый срок вперед, задачи интерполяции и т .п . При этом следует обратиться к оценке S(co) до ее аппроксима ции или к самой реализации x ( t ) . В первом случае воз никает принципиальная трудность, связанная с тем, что
К (7) известна на ограниченном участке изменения ее
аргумента, причем точность оценки уменьшается с при ближением к границам интервала. Поэтому при вычислении
$(со) по формуле |
|
|
п |
е |
- fw r] _ |
S (со)' |
К ('Z)ol'ö |
2 Я .
возможны большие ошибки, так как неучет ординат K(Z)
при \т \> Т может существенно исказить ординатыS(co)
при малых со . Столь же неэффективным оказывается и
непосредственное применение преобразования Фурье к реализации x(t) для получения оценки S(cu) . в качестве оценки S(co) здесь принимается выражение
|
т |
7(со) = |
е |
|
23ГТ |
2
я? (і ) с і і |
О».26) |
Проверка этого соотношения на несмещенность и со стоятельность показывает, что
15 |
225 |
и
rfz-*i£[ü(co)] = S 2(cv) ,
Г-— 00 .
Следовательно, V(со) не является состоятельна* оцен
кой спектральной плотности, так как точность ее опре деления не повышается с увеличением интервала записи
Т . Несостоятельность оценки связана |
с |
тем, |
что |
число |
|
оценивавшее ординат S(co) |
бесконечно и |
поэтому |
дисперсия |
||
оценки каадой ординаты не |
уменьшается |
с |
ростом |
Т |
.По |
ложение изменится, если вместо оценки дисперсии ординат спектральной плотности, мы будем искать оценку интегра ла от этой спектральной плотности, взятого в пределах
от и), До со2 , или (что то |
же самое) |
разность спектраль |
ных функций S(co2)~ S(co,) |
. В этом |
случае |
(AS |
|
|
S(co2) - S ( uj |
e tu>tx ( t ) d t \ |
|
2'Ж |
|
|
и ).
будет асимптотически несмещенной и состоятельной.Однако если мы будем использое.г о.гученные усредненные по со оценки для харак1< гкстн^и . $(сО) , то неизбежно
получим систематическую ошибку. Для преодоления возни кающей таким образом трудности применяются различные способы, основанные на рациональном усреднении ординат спектральной плотности.
Например может быть рекомендован и такой способ. Разобьем интервал G J на п интервалов длиной Jc . Тогда
226