Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

6.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 304 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Подынтегральная функция является функцией Лапласа и интеграл ыохно вычислить с ее помощь*:

№	і	.	J V
№	2Ср-dü	.	J V	‘b i ß ' ) .
			f( x )

Ветви композиционного закона распределения поднялись относительно первоначального закона нормального распре деления (рис.10). Величина этого поднятия зависит от соотноиения параметров первоначальных законов.

§3. Определение закона распреіеления случайных величин на осдове опытных данных.Критерии

согласия

На практике всегда приходится иметь дело с ограни ченным количеством экспериментальных данных, поэтому результаты обработки могут содержать некоторые погреш ности.

Статистической функцией распределения случайной ве

личины X называется	частота появления событияХ< х в
данном статистическом	материале.

Для удобства обработки весь опытный материал делится на разряды, а затем вычисляется статистическая вероят ность нахождения случайной величины з пределах данного

равряда:		*
		Р* = “	7	(1.42)
где р *	-	частота;
/7?г-	-	число случаев, попавних в пределы		і -го
п		разряда;
п	-	общее число опытов.

На основе этих расчетов составляется статистический

ряд

3	X х~	Х2Х3	. . . .	X	х~
3	12	Х2Х3		/?-/	ъ
к	Р,*	P f	* ' * *	р:
На практике	т і	берется	равным	5-10.

По данным статистического ряда строится гистограмма распределения (рис.11):

Г( х ,) = 0 ;

г'м -і р ;

Полученная гистограмма нуждается в выравнивании с помощью какого-либо закона распределения. Вид закона выбираете* на основе теоретических раееуждений или ранее полученных данных.

f(x)

Р ис.II

Количественную оценку степени согласия эмпирическо го и теоретического распределения можно получить с по мощью критериев согласия, которые являются некоторой Функцией разности этих распределений. В качестве такой Функции чаще всего используется выражение

‘' - i ' i C f r f i i ? ■	( І -43)
i=t

Взависимости от выбора весового коэффициента

иполучаются различные критерии согласия. Наибольшее распространение получил критерий Пирсона, или так на

зываемый критерий	- квадрат.
В этом случае

			\!--Ъ(р:-ю 2						( 1 . 4 4 )
					P i
Для практических расчетов						п	вносят под		знак суммы.
Учитывая,			что
получим
				( т г	п Р іУ				(1.45)
				п Pi					(1.45)
				п Pi
Закон		распределения величины					^	имеет	следующий
ВИД«			г	{		е	2	U > 0 \
				U2		е	2	U > 0 \
			г і г (т)						(1.4*)
			г і г (т)					С / > 0 ,
			о					С / > 0 ,
где	%	-	число	степеней	свободы,			которое	определяется
			исходными данными и наложенными условиями.
НН практике для вычисления критерия >(г необходимо
выполнить			следующие действия«
- составить статистический ряд и вычислить моменты
предполагаемого				распределения (			т	и (э ) ;
-	по формулам			(таблицам'/		теоретического			распределе

ния при условии равенства моментов эмпирического и тео ретического распределений вычислить теоретические ве

роятности ft; попадания			случайных	величин	в соответст
вующие разряды;				/	^ >
-	по формуле	(1.45)	вычислить	критерий	^ >
-	в таблице	распределения X*		по аргументам z и

значениям , полученным по формуле (1.45), найти вероятность. Если эта вероятность мала, значит принятая гипотеза о соответствии теоретического и эмпирического законов распределения не подтверждается; если вероят ность велика, значит, эмпирическое распределение не про тиворечит теоретическому.

	Все приведенные формулы справедливы, если число опы
тов	велико		(больше		І00-І50).
	Кроме	критерия			2
	Кроме	критерия			может быть использован и крите
рий Колмогорова				Л	:
			D = -m ax f f %			) - F ( x ) j .		(1.47)
	Величина разности связана с критерием Л							следующим
соотношением:					А =Dyfn		,
					А =Dyfn		,	(1.48)
								(1.48)
где	п	-	число	наблюдений.
	Величина		Л	в	свою очередь подчиняется			закону	рас
пределения
					«=	к-1	- 2 к гЛ2	(1.49)
		Л Л - W - E ( - І )					е	(1.49)
		Л Л - W - E ( - І )					е
				к =- °о
Для этого распределения имеются соответствующие
таблицы.
Если вероятность, соответствующая полученному Л									,
мала, то гипотеза отвергается.
Достоинством критерия Колмогорова является простота
вычисления,			однако		при этом не учитываются дополнитель
ные условия.						наблюдений ( п =
Пример. По результатам						наблюдений ( п =		500) со
ставлена		таблице		( т а б л .І .і) .

3	-4-3 -3-2		-2-1 - I 0		0 I I 2		2 3 3 4
3
т і	6	25	72	133	120	88	46	10
т і
п ? і	6,2	26,2	71,2	122,2	131,8	90,5	38,2	10,5
п ? і
(pir n f f 0,04		Т,44	0,64	0,64		6,25	,	° ’25
							,	° ’25
	т .г	= 0,168		( ^ = 1 , ^ 8

Требуется проверить согласие данного распределения с нормальным, параметры которого равны эмпирическим.

Для вычисления функции р^ необходимо использовать

функцию Лапласа

Л	1		,асі+ Г тх	- Ф	(1.50)
Л	2	<Р\ G x { 2 J
или
			т / Х -г+1	-	*Г всГ гпх
	е . ф '		(5Х /- Ф		( І .5 І )
	е . ф '		(5Х /- Ф		(5V.Х

	%г=3,94 ; ъ =8-3=5 .
Число степеней свободы равно числу разрядов минус
число	наложенных связей (в данном случае 3).
Из	табл.4 Приложения [ 5 ] находим для г = 5:

при	X,2	=	3,00	Р	-	0 ,7 0 ;
при	X 2	=	4,35	р	=	0,50.
Следовательно,			искомая	вероятность р при ^			2
Следовательно,			искомая	вероятность р при ^			= 3 ,9 4

приближенно равна 0,56. Эта вероятность велика. Поэтому гипотезу о соответствии нормальному закону распределения можно принять.

§ 4. Опенка параметров закона распределения

Важными характеристиками распределения случайных ве

личин	являются математическое ожидание	т х	и дисперсия
Dx .	Однако количество исходных данных	для	вычисления

этих параметров ограничено, поэтому значения вычислен


ных параметров { m x ,D x )	могут содержать элементы слу
чайности. Таким образом,при обработке		опытных материа
лов мы получаем приближенные значения		параметров, ко
торые называются оценками	соответствующих параметров

(моментов). Чтобы эти оценки были доброкачественными, необходимо выполнение ряда условий.

1. Полученная оценка должна быть состоятельной,т.е. она должна сходиться по вероятности к самой величине параметра при неограниченном увеличении числа измерений.

2. Оценка должна быть несмещенной, т .е . математичес кое ожидание оценки должно равняться самому определяе мому параметру (оценка параметра а обозначается S')'-

(1.52)

3. Полученная оценка должна быть эффективной т .е . Дисперсия этой оценки должна быть минимальной:

(1.54)

(1.53)

m i n .

Проверим выполнение всех этих требований при нахожде

ни« оценим математического окидания по формуле

Х ь х і

				—■	г*/
			тх =— п ----					ш	мк,
Эта оценка является состоятельной,								ш	мк,	согласно
закону	больших чисел,				при увеламмии			*	величина		т х
ехвдвтея		по вероятности				к т х .
Оценка является				талик		неемецеииой,		так	как
						к				(1.55)
			М [т я] т Y j n°x							(1.55)
			М [т я] т Y j n°x
Дисперсия этой оценки						к
Дисперсия этой оценки
				D[™x \ -						(1.5F)
						п
Эффективность или неэффективность оценки зависит от
вида закона распределения величины X								•	?'оио	доказать
что если		величинаX		распределена			по	нормальному			закону
дисперсия		(l.5 fi)	будет		минимально		вовможной, т .е .				оцен
ка та	является		эффективной. Для других законов							распре
деления это может быть и не так.
Проверим оценку				дисперсии Dx			• Ra	иервмй взгляд,

наиболее естественной оцеииой представляется статисти ческая дисперсия п

Статистическую дисперсии нохне записать и в другом виде, черев взарей начальный момент:

- т~ .2 (1.58)

Здесь оба слагавшіе сходятся по вероятности: первое слагаемое - ко второму начальному моменту; второе слагаемое - к первому начальному моменту.

Проверим несмещенность:

I	d	/	y y . l - Y V * .
* * М - Пn	V\ n	/	/п2 ' г L*Xi n 2 Ш t	}
Найдем математичееное			ожидание ебенх чаете1	еумми;

(1.59)

Так как наблюдения независимы, все корреляционные моменты равны нулю, следовательно, второе слагаемое равно нулю.

Такны образом,			мы получили		смещенное значение				дис-
персни.	При	п ^	30	коэффициент		п - і		практически	не
персни.	При	п ^	30	коэффициент			п	практически	не
влияет	на результат,			но при малом			п	оиибиа является
онутшой. Чтобы избаииться от нее,							надо умножить ста
тистическую дисперсию на величину,							обратную коэффициен
ту	.	Тогда		£ ( * г ” у ) г			\
							\
		z>[x]-						(1.50)

				гг-1
				гг-1
				' г		п		(І.6І)
				,*Ѵ		п
		5 Й -		— /7 7 ‘	П -1

Точность измерений можно характеризовать и вариаци ей, или коэффициентом изменчивости,

(1.62)

тX

Спомощью этого показателя удобно определять точность измерения углов, длин, расчета функций и т.п .

£=-5гггв^',		d= coscXolct.y‘	—^ - - c tß c L -		Р	(1.63)
			ѵ	*	Р
ГД# р	-	коэффициент для	перевода углов в радианы.

Все рассмотренные оценки называют точечными, так как они представляют из себя число, показывающее расположе ние данной оценки на числовой оси.

Более подробные характеристики качества выполненных измерений можно получить, применяя метод нахождения доверительных интервалов. В этом методе оценивается ве роятность того, что разность между оценкой и действи тельным значением параметра не выйдет за пределы не которого наперед заданного интервала:

p[(s-a)*e]=ß. (і.бО

Это равенство можно переписать следующим образом:

P [â -£		â + £ ] = ß	,	(1.65)
т .е . значение	параметра а попадает			в интервал Э ± £
с вероятностью	Р	. Интервал величиной t в называется
доверительным	и обозначается		, а	вероятность ß -
доверительной	вероятностью
	=	j а г £ )	■	(1.66)

Величина интервала является неслучайной, случайной оказывается положение самого интервала на числовой оси.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 304 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ