книги из ГПНТБ / Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие

отфильтровать и получить оценку математического ожиданил по возмохиѳсти в "чистом виде” . Иными словами, в данном случае желательно найти наиболее эффективную из возможных оценок.

можно рассматривать как яайденнме из опита значения случайной величины X ( t , ) , оценка математического ожи­

дания для которой определяется формулой

197

п

г=/

Найдем значенія математического ожидания обеих час­ тей посіеднего равенства и, учитывая, что для любого

номера г - реализации М [Х; ( t , ) ] = X ( t , ) ,

получим

/v[X(t,)]=X(t,) .

Таким образом, получили несмещенную оценку математи­ ческого ожидания случайной функции и намли дисперсию обеих частей равенства (4 .1 ). Учитывая, что справа стоит сумма независимых случайных величин, имеющих

одинаковую дисперсию б ^ ((і) =Кх ^ , і , ) >

получим

Таким образом, оценка (4.1) является не только не­ смещенной, но и состоятельной, так как

€ i m l ) [ x ( t , ) ] = 0 ,

/ 7 — 0 0

при любом t, •

Эффективность оценки (4 .1 ) может быть улучпена за счет сглаживания случайных ооибок, возникающих при осреднении реализаций случайной величины X(t,) .Дейст­ вительно, пусть, например, известно, что Х = c o n s t .

Тогда, очевидно, можно надеяться уточнить оценку мате­ матического ожидания, произведя усреднение полученных

198

значений X ( t , ) по времени. Однако эту возможность

на практике можно использовать довольно редко, так как обычно закон изменения математического ожидания ве времени нам неизвестен, а эту зависимость как раэ и нужно определить по результатам измеревий

Перейдем теперь к рассмотрении стационарных едучаЬ ных функций. Здесь основная особенность еемежг > то»,

заметить, что в практике гидрографии, океанографии и метеерологии очень часто двух реализаций какого-либо процесса физически существовать не может, так как больаинство таких процессов протекает в реальном времени.

Лля допустимости замены усреднения по множеству усреднением по времени необходимо, чтобы связь между ординатами случайной функции, взятыми в различные мо­ менты времени, убывала достаточно быстро.,я этом случае одну реализацию можно приближенно рассматривать как совокупность многих независимых реализаций. Таким об­ разом, различие между двумя способами обработки ис­ чезает. Установим количественные признаки возможности

межи допустимо, то за оценку математического ожидания нужно принять выражение

199

Умножим и разделим правую часть (4 .2 ) на А '•

Устремляя интервал А к нулю, замечаем, что сумма,

стоящая справа, обратится в интеграл и мы получим

г

о

Проверим, в каких случаях (4 .4) можно считать не­ смещенной оценкой математического ожидания. Для до­ казательства применим к обеим частям равенства операцию нахождения математического ожидания:

учайного про­

несся - величина постоянная. Поэтому

Такиіі образом, для выполнения условий несмещенности яе требуется никаких добаючных свойств случайной функции, кроме ее стащионарности. Для того чтобы сценка (4 .4 ) была состоятельной, на корреляционную функцию ирощесса К(Т) необходимо наломть добавочные ограниче­ ния. Найдем дисперсию оценки X *

о

или

.XX

0

Если 2) [X i будет стремиться к нулю при росте Т ,то оценка будет состоятельной. Выражение ('+.'5) будет стре­

€ іт К (Т ) —О 1

Чтобы иметь возможность пользоваться усреднением по времени ординат одной реализации, достаточно потребо­ вать, чтобы интеграл ет корреляцией, о? функции, взятый в пределах (£>••) , был конечен, то есть

201

Т~~°° .

Стационарные случайные функции, для которых усред­ нение по реализациям можно заменить усреднением по вре­ мени, носят название эргодических, а доказанная выше теорема об условиях (4 .6 ), обеспечивающих эргодичность, называется эргодической теоремой. Эргодичность случай­ ной функции может быть нарушена в том случае, когда в состав случайного процесса входит случайная величина. Эта случайная величина может появиться, например, за счет случайного смещения нуля регистрирущего прибора. Тогда можно записать, что

где j[ ( t) - записываемая случайная функция;

г- случайная величина.

Теперь Формула (4 .5) будет

€ i m D [ x ] = D ~

г — —

Таким образом, условия эргодичности здесь ие выпол­ няются. На практике обычно эргодичность случайной функции определяется исходя из физических соображений.

202

В теории вероятностей доказывается, что если ѵн не располагаем никакими добавочными сведениями о свойствах случайной функциих (t) , кроме ее стационарности, то

Применение весовой функции для определения мателияир#«- кого ожидания равносильно применению математтЪоШгЬ'

Рассмотрим теперь получение оптимальной оценки мате­ матического ожидания. Б качестве условия оптямгльности

Подставив в это равенство значения оценки математическо­

2 0 3

=м

с

и учитывая, что

и

получим интегральное уравнение для определения весовой функции г

О

О**s < Т •

Решить это уравнение можно, используя спектральное разложение случайной функции. Для того, чтобы оценка математического ожидания не зависела от значений реали­ зации вне интервала (О,Т) , спектральная характеристика должна быть целой функцией со , представляемой в виде

Кроме того, требование обеспечить получение минимума дисперсии оценки позволяет поставить дополнительные условия, которым должна удовлетворять спектральная характеристика Sr (co) . Если спектральная плотность

процесса рациональная, то определение ST(u)) сводится

к нахождению коэффициентов разложения $т(со) . Затем,

используя обратное преобразование ■іурье выражения

204

(4 .7 ), можно найти значение оптимальной весовой функции. Так, например, если

где а - _ вещественные постоянные, а полином, стоящий

в знаменателе, имеет нули, лежащие только в верхней полуплоскости, то наиболее эффективной оценкой будет

где

Таким образом, использование спектральной плотности случайной функции позволяет улучшить оценку математиче­ ского ожидания.

Несмотря на громоздкие и трудоемкие расчеты,изложен­ ный выше метод нахождения математического ожидания мажно рекомендовать для практического применения в тех случаях, когда нужно получить по возможности точное значение этой характеристики. Такая необходимость может возникнуть, например, при непрерывных измерениях на­ вигационного параметра с помощью прибора, имеющего значительные погрешности. Предположим, что имеется п реализаций одной и той же стационарной случайной функ­

2 0 5

Теперь

г ' 2- ? - г 7}( ^ - ~ ) k ( z ) cI z

Gf Ti <

Г Од

Произведя усреднение по всем X j , получим

I

і~г

либо особенностями обработки. При этом необходимо ре­ шить, каким должен быть интервал дискретности для того, чтобы точность получаемых оценок существенно не ухудвалась. Применительно к нахождению оценки математического ожидания вопрос сводится к нахождению такого максималь­

2 0 6