книги из ГПНТБ / Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие

этим обстоятельством, можно вычислить вероятность того, что оценка математического ожидания не выйдет за задан­ ные пределы:

Последняя формула выражает эту вероятность через нормальную функцию распределения. По таблице функции Лапласа, задаваясь определенным уровнем вероятности, можно определять величину интервала, или по величине интервала - доверительную вероятность.

Для упрощения вычислений при нахождении величины интервала существуют специальные таблицы обратной функции Лапласа

37

В большинстве руководств вычислено

Значит величина доверительного интервала может быть построена так:

го отклонения.

Аналогично могут быть построены доверительные интер­ валы для дисперсии и среднего квадратического отклоне­ ния. Для этого так же, как и в предыдущем случае, необ­ ходимо иметь значение среднего квадратического отклоне­ ния самой дисперсии. Данную характеристику можно найти исходя из следующих соображений. Используя соотношения между моментами четвертого и второго порядков, напишем

( м о ;

Здесь D * - точечная оценка дисперсии.

Если пренебречь членами, в знаменателе которых стоит

п 1 и п 3 , то получим приближение

или

для нормального закона распределения

38

д= < Г 2 ;

Л- 3 6 '*-

Подставив эти величины в (1.70), получим

Так как для нормального закона

7

то

бГ

или, учитывая необходимость получения несмещенной оценки, напишем

39

Теперь можно построить доверительный интервал для дисперсии

Излохвнный метод является приближенным, так как он основан на том, что закон распределения оценки диспер­ сии принят нормальным ( t ) . На самом деле при малых п

закон распределения оценки дисперсии подчиняется ^ 2- распределению.

С учетом особенностей - распределения построен точный метод вычисления доверительного интервала для дисперсии.

Рассмотрим несмещенную оценку дисперсии

D

40

Таблица - распределения составлена так, что в каждой строке даются два значения, соответствуйте границам интервала. Входами в эту таблицу являются число степеней свободы и заданная вероятность. При больших /2 (7 ? ;> 4 о ) распределение становится практически симметричным и поэтому оба множителя одинаковы.

Задаваясь вероятностью 0,68, вычислим погрешность в величине стандарта в процентах для различных п,

(табл .1 .2).

4 2

§ 5. Резко выделяющиеся наблюдения

Из закона нормального распределения следует, что ве­

по величине от соседних, необходимо составить безраз­

Считая, что данные измерений распределяются по нор­ мальному закону, можно получить закон распределения дроби V- . Это распределение будет зависеть от объема выборки п . По объему выборки п и заданной вероят­ ности Р можно найти такое число <£ , при котором будет соблюдаться неравенство

43

среднего арифметического, полученного по малому числу измерений, можно применить закон распределения Стьюдента. Это распределение (Т - распределение^выведено для дроби

где X - центрированная случайная величина, распре­ деленная нормально с параметрами 0 |І ;

А- число степеней свободы ( к = п - і ) •

Ценным качеством распределения Стьюдента является то, что сюда не входит дисперсия. Эту дробь иногда за­ писывают в виде

мится к нормальному (рис.14).

Рис. 14

4 5

Как показала практика обработки данных измерений, экспериментальные кривые распределения обычно седержат заметные систематические погрешности. Кроме того, в реальных условиях проявляется несколько иная связь между величиной средней квадратической ошибки и пре­ дельной ошибкой, чем это следует из нормального закона распределения.

Указанные особенности могут быть объяснены наличием в реальных распределениях асимметрии и эксцесса. Так, например, эксцесс погрешности определения поправки ин­

рим обобщение формулы плотности распределения для нор­ мального закона.

Формула нормального закона для центрированной слу­

может быть обобщена в виде

f p x 2

(1.86)

f & h C e ^

Коэффициент С найдем в результате нормировки, так как должно быть справедливо очевидное соотношение

46