книги из ГПНТБ / Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие

взятого методом прямоугольников. То есть приближенно можно написать: Т+&

о

Т+й Г

О

K ( * ) - - g r K ( T ) ■

Так как выражение (4 .II) является полиномом второй степени относительно Л , то при

2 0 8

общий характер зависимости нормированной средней квад­ ратической ошибки оценки математического ожидания вид, представленный на рис.24.

Перейдем к нахождению оценки корреляционной функции X ( t ) • Случайную ф ункциях ^) пока не будем считать стационарной.

По определению,

n(t,t,)= /* {[ x ( t ,) - W ] [ х и ,) - X ( t , )]j >

поэтому для нахождения оценки K(jt~t2) мохно исходить

из тех же соображений, которые были положены в основу

14

209

оценка К (t, t 2 ) может быть найдена по формуле

/='

ЕслиX ( t i ) неизвестно, то в предыдущей формуле вместо

него можно поставить его оценку и тогда

) - * ( & ] > (« -is )

1

где, как и обычно в подобных задачах, множитель — за-

п-1

Выполняя перемножение, получим

Г 1

Рассмотрим теперь методы нахожденія оценки корреля­ ционной функции стационарной случайной функции. Пусть в нашем распоряжении имеется одна реализацияx ( t ) дли­ тельностью (О 7 Т ) , а математическое ожидание X ( t ) из­

вестно. Теперь

т-т

2ГО

г-г

иметь

,2

ф(т)]-/>і{[#(т)]2}-{м [Х(т )]]

включительно. Если же процесс нормальный, то эти мо­ менты можно выразить через математическое ожидание и корреляционную функцию. Так как для любых четырех нор­ мальных величин X, і х 2 і х 3 ; х ^

212

г_

дают

т-і

я[Х(г)]-^^{{T-z-r^^bKCT-zYiztz^dz,.

(4 .19)

213

Из формул (4.18) и (4.19) следует, что при наличии эргодичности нормального процесса x ( t )

-é’im D [Я ('Z ) \ = 0 у

Т ——с*0 1

т .е . оценка К ( Т ) является состоятельной и несмещенной. Вид формулы (4.19) показывает, что точность ординат

214

щей от длины записи Т . При<£-~0 *з (*.20) получается выражение для дисперсии измеряемой величины в зависи­ мости от времени осреднения;

Kx ( 0 ) = K ( 0 ) - j t ( T - t ) K ( t ) c t t .

Рассмотрим особенности оценки корреляционной функп»и по дискретному числу ординат случайного процесса.Пусть

Х = 0 , а X {t) - нормальный процесс. Тогда

К(Z U — V —

т- £ +і

Определяя дисперсию правой части и выполняя преоб­ разования, аналогичные тем, которые были сделаны при нахождении оценки математического ожидания, можно по­ лучить формулы для расчета оптимального интервала дискретности, соответствующего минимальному значению дисперсии 2?[/Г(Т)] . В этом случае оценка, полученная

по дискретным отсчетам, будет точнее оценки, полученной по всей реализации. Однако выигрыш в точности здесь очень быстро уменьшается с ростом Т.

215

использовать непрерывную реализацию случайного процесса. Делается это с помощью специальных приборов - корреля­ торов. Большинство корреляторов вычисляет интегралы, дающие оценки математического ожидания и корреляционной функции стационарного процесса:

T-Z

K(Z) =^ - ^ [ x ( t ) - x ] [ x ( t +Z )-X ]c lt -

О

Некоторые корреляторы вычисляют значение интеграла

Принципиальная схема таких приборов состоит в сле­ дующем. С подвижной ленты, на которой записана реализа­ ция, снимают значения ординат случайной функции, соот­ ветствующих двум моментам времени, сдвинутым относи­ тельно друг друга на интервал 'с • Величину 2Г можно менять в соответствующих .пределах. Затем значения ор­ динат центрируются и перемножаются. Полученное произ­ ведение запоминается в сумматоре и складывается с ос­ тальными парными произведениями. Далее находится сред­ нее значение суммы, которое и будет соответствовать заданной величиной 'ZT , ординате корреляционной функ­ ции. Перечисленные действия могут выполняться с по-

216