книги из ГПНТБ / Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие

п

4 4>To

Находя математическое ожидание обеих частей равенст­ ва, получим

€ im М [S fa )]=€ іт М [Sj (и: )J = S(co)

T —- «»о

О

лучить и с помощью преобразования K(Z) по Фурье,вводя под знак интеграла соответствующую весовую функцию h(Z)-

&(Т)= е ' us(co,)d<j0 ,

и

- о о

и подставим вместо K(Z) его значение:

I

К ( Т ) = x(t)x(t+T)olt .

227

Выполнив необходимые преобразования, окончательно получим

Для применения этой формулы достаточно выбрать весо­

то мы получаем так называемую "усеченную оценку". Независимо от вида h(Z) вычисление по (4.27) ыохно

реализовать путем построения соответствующего фильтра, на вход которого подается случайная функция * 4 1 ) •

§ 28. Выделение периодической составлявшей из состава случайной Функции

Часто в составе гидрометеоэлементов, представляемых случайными функциями, содерхится и периодическая (регу­ лярная) составляющая. Однако только по виду реализации обычно невозможно сделать вывод о наличии или отсутст­ вии периодической компоненты. Тем более невозможно не­ посредственно по реализации получить какие-либо число­ вые характеристики периодической составлялядей. Рассмот-

228

рюі наиболее общий случай, когда в составе реализации находится несколько слагаемых•

y(i)=x(t) + 2(t)+z(t) •

Т

формация и начальной фазе <f оказалась утерянной. В более общем случае, если периодическая составляющая представлена рядом,

оператор нахождения корреляционной функции, получим

к = І

Теперь применим оператор нахождения корреляционной функции к сумме случайной и периодической составляющих:

К^(Т)=&Л7 -J [*(0+z(£)][x(t+T)+?(t+r)]dt;

Т----’

г

П

230

той случайной и периодической составляющими. По условию, оба слагаемых являются независимыми. Поэтому их взаим­ ная корреляционная функция равна нулю. Итак,

незатухающей. Следовательно, при наличии в составеy ( t )

ставе реализации периодической составляющей.Полученная в результате обработки корреляционная функция, точнее ее периодическая часть, может быть в дальнейшем под­ вергнута гармоническому анализу. Итак, для того, чтобы убедиться в наличии или отсутствии в составе реализации периодической составляющей, достаточно найти корреля­ ционную функцию данной реализации. Если корреляционная (функция получится затухающей, то это значит, что перио­ дической составляющей практически не было. Существенное затруднение на практике представляет ограниченность длины корреляционной функции. Это ограничение возникает

за счет конструктивных особенностей большинства корреля­ торов, но его можно обойти, если обрабатывать реализа­ цию на ЭВМ. Однако при этом надо иметь в виду, что точ­ ность получения корреляционной функции падает по мере увеличения Z . Поэтому при больших Z небольшие ко­ лебания корреляционной функции свидетельствуют скорее всего о погрешностях обработки и недостатке исходных данных.

Для выделения периодической составляющей рассмотрим полученный график корреляционной функции при достаточно большом Z . Разлагая (Л.32) по Фурье,

231

= É ^ f c o s U u j Z ,

моники на оси времени, вычитании этой гармоники из ис­ ходной реализации и проверки полученной кривой на перио­ дичность. Очевидно, что этот метод требует больших за­ трат времени и вычислительного труда, так как после каждого вычитания требуется снова определять корреля­ ционную функцию .

Метод Фуриха предполагает повторную обработку кривой (4 .32), которую запишем в нормированном виде»

Б результате обработки первое слагаемое дает

Ф > ~ £ ' 7 ) К ( ^ = н ------- *

Ѵк*І ^ К ( ^ Л + т с/т )Н ({< л)

Здесь с /г ~ конечный эл ем ент а р г у м ен т а 27 . Так как

! к { о ) \ > \ к к~У\ .

0*5 0

можно записать

N N

£ [ К ( Щ 2 £ К(кд+тСІТ)К(1<А)

ограниченном возрастании N самое больное сдагемое стремится к нуле, а значит все остальные слагаемые и подавно стремятся к нуле. Таким образом, при достаточно

ири достаточно большом N толе обращаются в нуль.

Итак, повторная обработка на корреляторе (при пред­ варительном нормировании) дает окончательно

Очевидно, повторная обработка дает

Л

233

ря, многократная обработка приведет к тому, что амплиту­ ды всех гармоник, начиная со второй, резко уменьшатся по сравнению с амплитудой первой гармоники. После п -й

обработки ( Т ) практически будет представлять

собой косинусоиду частоты и) . Определив^ , построим

Al[g(t)coscot]=Al[f(t)coscof]*-A1 ^A^sintycot+^coscât

Lk=l

По условию, первое слагаемое будет равно нулю. Вы­ полнив указанные преобразования, получим

Следовательно,

А

м[у. ({)cosu>t\ = -rjrSinfi

и аналогично

A l [ y ( t ) s z n a ) t] = ^ c o s ff ,

откуда

(4.33)

Sin cot]

234

и

Аг-^\\P\\y(t)coscüt\ +М

В общем те случае

. ф = M[^(t)cosUu)t] ѣ

M \ g ( t ) s i n k c ü i \ ;

^=rf[M\jS(f)coskul?]J + \M{y(t)sin1<u)t]]2| * (Ч.34)

Полученные результаты ыохно применить, например, к исследованию морских течений. Если вектор скорости приливо-отливного течения описывает с постоянной угло­ вой скоростью эллипс, то в составе случайной функции скорости суммарного течения будет синусоидальная перио­ дическая составляющая. Действительно, параметрические

уравнения эллипса в системе координат/’# У , оси кото­ рой совпадают с главными осями эллипса, могут быть за­ писаны в виде:

235

y ( t ) = ^ a 2s in Z^ ^ -â Zcos2f s in (n t i-a r c t^ ß ) ,

где f ~ Y c4 f * * a ¥ " угол

поворота координатной системы ХО 'У относительно х 'о 'Ѵ .

Таким образом, кавдая из проекций дает синусоидаль­

§29. Определение интервала дискретности при

измерении гидрометеоэлементов.представляе­ мых случайными Функциями

Впроцессе изучения различных характеристик океана

иатмосферы довольно часто приходится непрерывные из­ мерения различных элементов заменять дискретными.Прос­ тейший метод расчета интервала дискретности относится к такому случаю, когда никакого предположения о наиболее

вероятных значениях исследуемого элемента в промеуточ­ ные моменты между дискретными отсчетами не делается. Ставится лишь условие, чтобы промежуточные значения

236