книги из ГПНТБ / Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие

Очевидно, что эта вероятность может быть вычислена по формуле

О г М 2

Для всей совокупности случайных величии У общая вероятность будет равна произведению элементов вероят­ ности для всех і , т .е .

ведение плотностей вероятности обращается в максимум. Для этого нужно, чтобы показатель степени был ми­

нимальным,

É [&' У = тіп ■

; */

Таким образом, для нахождения значения измеряемой величины, соответствующей максимуму плотности вероят­ ности, необходимо подобрать это значение так, чтобы сумма квадратов уклонений наблюденных величин -и. от

была минимальной. Ото требование носит специаль­

ное название - предписание или "принцип наименьших квад­ ратов",

67

Покажем, что при соблюдении условия наименьших квад­ ратов в качестве оценки математического ожидания можно взять среднее арифметическое измеряемой величины.

Пусть £' , £2 -£п - результаты измерения;!/ -

истинное значение измеряемой величины. По условию найдем т іп от функции:

% ) ~ 2 ( у - е ,> 1 ң у - е ,у ■ ■ ■ + 2 ( У -е „ h o - ,

я У ’ М ; у - - д г •

Таким образом, при соблюдении предписания наименьших квадратов в качестве значения измеряемой величины, ко­ торому соответствует глазе плотности вероятности, мы должны брать среднее арифметическое из результатов из­ мерений. Последнее равенство точно при п — и прибли­ женно при конечном п . Рассмотренные положения могут быть применены для нахождения любого числа неизвестных, от которых зависит результат измерения. Б практике час­ то измеряют не сами неизвестные величины, а функции от них. Например, неизвестные координаты точки могут быть вычислены по расстояниям до нее от других точек с из­ вестными координатами:

где ^ и У - координаты известной точки;

X *■ t - координаты определяемо* точки.

Бели бы расстояние не имело ожибки, то былм бы справедливы следующие равенства:

6В

f , ( x i% )~ S ,~ 0 ;

/г (* ,у )~ S2= 0 .

Б реальных условиях

/ ;l (x , y ) ~ s ,= ^ t

Эти уравнения называются уравнениями ошибок или урав­ нениями погрешностей.

При непосредственных измерениях неизвестных иногда бывают известны условия, которым должны удовлетворять решения. Так, например, для треугольника, в котором из­

Это уравнение называется условным.

Задачей уравнивания в соответствии с принципом наи­ меньших квадратов будет отыскание таких значений неиз­ вестных, которые в наилучшей степени соответствовали бы всем уравнениям погрешностей или условным уравнениям.

§12. Уравнивание с уравнениями погрешностей

вслучае равноточных измерений

Уравнения ошибок обычно стараются представить в ли­ нейной форме.

Это объясняется тем, что процесс решения системы линейных уравнений сравнительно прост. Кроме того, в практике почти всегда имеется возможность приближенно

69

представить в виде линейной функции зависимость между результатами измерений и определяемыми величинами ..Это достигается разложением функций определяемых величин в ряд Тейлора.

значения неизвестных, а через (*•) , (у ) , ...,( Ѵ ) - ве­ роятнейшие поправки к ним, т.е

Обозначим первое слагаемое и результат измерений через

70

значения производных - через a t — мдх

ит .д .

Тогда

Таким образом, мы получили систему линейных уравне­ ний погрешностей.

Исходя из приведенных соображений будем в дальней­ шем считать, что уравнения ошибок всегда имеет линей­ ный вид.

Запишем систему уравнений погрешностей для случая трех неизвестных:

а2Х} $ 2 У С2і + ^2= "г

аг,*+$пу. + СП2 +^П= <'п ■

где <Уг- - свободный член уравнения погрешностей, а

/ . - измеренное значение функции определяемых вели­

чин.

Для того чтобы решить данную систему под условием = m i n , необходимо, чтобы іг> 3. Решим эту

систему при условии [c /t/J =m i n

71

2

t 2 c^ a nx t ë ny c n zi -£ n ) = 0 •

В каждом из полученных трех уравнений раскроем скоб­ ки и произведем перегруппировку, объединяя слагаемые, включающие одно неизвестное. Тогда получим:

[а а ] х + [ a t ] у + [«^]л t [а€] = О }

число уравнений соответствует числу неизвестных. Эта ив система монет быть записана и в форте, которая сле­ дует непосредственно из уравнений, полученных при взя­ тия производных:

72

[а и ] = 0 ;

(2. 6)

■

C(s]= О.

Из решения нормальной системы могут быть найдены значения неизвестных, подставив которые в исходные уравнения ошибок, мохно получить уравненные значения измеряемых величин.

?> 13. Решение нормальных уравнений

При небольшом числе неизвестных можно применять любой метод решения, например с помохыо определителей, по методу треугольного множителя и т.п .

Однако при большом числе неизвестных и яри ручных вычислениях целесообразно применять спосеб последова­ тельного исключения неизвестных (способ Гаусса).

Сущность способа состоит в следующем.

и ело ім его со вторым:

73

В результате получим

] - W W h - W V H ' W ) - ° -

Введем новые обозначения коэффициентов в круглых скобках«

I -Цг+ [&'*] т°

\fc■{]у+ [e r-i\z+ [ с £ - і\ = 0 .

[ і ] обозначает факт исключения первой неизвестной.Чис­ лите ль вычитаемого при этом получается в результате замены второй буквы знаменателя буквами уменьшаемого. Данное правило называется алгоритмом Гаусса.

Исключение следующего неизвестного делается таким хе образом. Умножим первое преобразованное уравнение

Обозначим коэффициенты в круглых скобках через[сс-2]

Из последнего уравнения найдем

[сС-2]

Проставим найденное значение в уравнение предыдуще­ го преобразования«

74

[аа] ? [ а а ] * ~ [ а а ]

Эти три уравнения называются элиминапионными. Существует формальное правило для проверки построе­

ния алгоритма Гаусса, если убрать знак суммы и значок "цифра", то должно получиться тождество.

Контрольное вычисления. Вычисление коэффициентов нормальных уравнений удобно выполнять, располагая ис­ ходные данные в специальной таблице (табл.2 .1 ). Рас­ смотрим такую таблицу применительно к системе с тремя неизвестными. В этом случае таблица будет иметь

20столбцов.

Последние два столбца нужны для оценки точности. Выпиием контрольные соотношения:

со вторым:

75