книги из ГПНТБ / Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие
.pdfЭмля рввЦМьі**** случайной в » ш ш I известен | требуется еяределить закон распределения случайной ве
йся* X |
Лжет |
принимать только дискретные |
значения |
||||||
tet- |
с вероятностью |
, |
то |
возможными значениями |
|||||
^ДУТ |
значения у ^ =р ( х ^ ) |
. |
Если все ^ различны, то |
||||||
справедливо |
следущее |
соотношение: |
|
||||||
|
|
Р ( У - ? , ) - Р ( Х . х , Ь р { . |
(1.24) |
||||||
Таким образом, |
при задании распределения х - |
в виде |
|||||||
таблицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*1 |
хг |
|
хз |
» |
• |
• |
|
|
|
р< |
рг |
|
Р* |
• |
• |
• Ргг |
|
достаточно |
заменить х і |
на Уі |
|
|
|
||||
У, У* Уз Р, рг Рз
•. .
*# •
У« Рп
Например, при линейной зависимости
У = а X + &
вместо
Если же некоторые значения у |
совпадают, необходим |
мо просуммировать соответствующие |
вероятности. Если |
2 |
1 7 |
случайная величия X является непрерывной, можно про
вести следующие рассуждения.
Рис.4
' I
Рассмотрим непрерывную монотонную строго возрастаю щую функжи. Для этой функции каждый внутренний интер
вал x t x2 |
однозначно отображается интервалом ъ |
.По |
||||
этому вероятное** попадания |
х |
и у |
в соответствующие |
|||
интервалы должен быть одинаковые |
(рис.4): |
|
||||
|
Р ( л < Х < Х г ) = Р ( у , < У < #2)> |
|
||||
|
Р(х< Х < X+&x)=P(g<y<g-t-Atjr) • |
|
||||
Из условия непрерывно«» |
следует, |
что |
|
|||
|
P(x<X<x+Ax)=-fP(x)dx+£/atx у |
(1.25) |
||||
где Ü dx |
- бесконечно малая второго |
порядка |
(рис.5 ). |
|||
|
|
Так как функция <£(х) |
||||
|
|
строго воирастающая и диф |
||||
|
|
ференцируемая, то должна |
||||
|
|
существовать н обратная |
||||
|
|
функция |
(у ) с |
произ |
||
Рис. 5 |
водной^'^) > О |
(потому |
||||
что функция возрастает). |
||||||
|
|
|||||
1 8
Дифферентал d x должен быть того же порядка, что и
c/jt'.
Поэтому вместо равенства (1.28) можно записать
Отсюда плотность вероятности
• |
<*•*> |
В самом общем случае, когда условие строгого возрас тания функции не ставится, для вычисления плотности ве роятности используется формула
|
|
d x I |
(1.27). |
которую можно |
записать и в таком виде |
|
|
/ ( у > - л - 4 |
(1.28) |
||
|
|
|
|
Пвммеп J. Пусть случайная величина X |
имеет м от - |
||
ность распределения |
I |
|
|
|
|
0 < х < 2 j |
|
|
|
х < О fх > 2 . |
|
Требуется определить плотность распределения фдгнкішя |
|||
у - х 2. |
|
|
|
Обратная функция |
^ |
|
|
Х ~ ) / У = У Т , |
|
||
производная функция |
|
|
|
х= 2 /іУ |
( 0 < у < 4 ) |
|
|
1 9
Поэтому плотность распределения величины V равна
«
О |
$ < 0 ; ^ > 4 * |
(Рис. 6 и 7):
|
а ) |
S) |
|
Рнс.б |
|
|
К » ) |
|
? |
|
I |
|
|
|
|
|
I |
|
Рис.7 |
J------------ У |
|
|
|
Пример 2. |
Случайная величина X подчинена закону |
|
нормального |
распределения с |
плотностью |
|
|
(X-rr,xf |
~ ж г
f(x)~
<5x ) ß F
2 0
Случайная величина У связана с X линейной зависи мостью
Омредегить плотность распределения случайной величи
ны У:
Уё
У = П Х )-, У = а Х * ё ; Х = £(У) і Х = — ;
m r = a m t $ . |
|
|
|
|
к |
|
|
|
* |
У подчиняется |
нормаль |
Таким образом, распределение |
|||
ному закону распределения. |
|
|
|
Тля функций двух случайных величин существуют анало |
|||
гичные зависимости, однако их вид и действия над |
ними |
||
значительно сложнее. |
|
|
|
Пусть 2=<f>{x7y) |
. Необходимо |
найти функцию распре |
|
деления случаЛіой |
величины 2 |
(p*e.8)s |
|
(Hz)-P(z< з)=р[у>( |
(1.29) |
|
Для выполнения данного соотношения необходимо,чтобы |
||
случайная |
точка попала в область D |
, ограниченную |
уровнем ? |
: |
|
21
0(2)mfu,jf)e:J>\mj (*,$ )alxc/g, |
(1.30) |
(3 )
TMfi f ( x , y ) - двумерная плотность паспоеделення.
Рнс.8
Рассмотри сумму двух случайных величія X и У и
найдем закон распределения случайной величины
г~х+у.
Для реиения этой задачи на плоскости * °у . построим
график (рис.9)
Эта |
прямая разделит плоскость на две части. Правее |
|
и выше |
этой прямойхт у> л » а левее и нише |
. |
00ластью D является заштрихованная часть плоскости.
Таким образом,
2 2
G =I If(x4 )cix o/^-j -j |
Jy. • t l x . |
(І .З І ) |
|
|
|
-<x> L.M |
|
|
После дифференцирования no |
Z |
|
a* |
|
|
^ (1.32)
у(г')ж f(x ,z - x )d x - G (г)
Это общая формула для плотности распределения суммы
Двух случайных |
величин. |
|
Для независимых случайных велі.чин двумерная плотность |
||
вероятности |
|
|
|
. |
(і.З З ) |
С учетом этого плотность вероятности имеет вид |
||
ев |
во |
|
|
. |
(1 .3 0 |
-ÖO |
- |
|
23
Практическое решение задач по этой формуле достаточно громоздко. Ілл нахождения плотности распределения суммы двух случайных велжчик удобнее воспользоваться аппарамм характеристических функций.
Характеристической функцией случайной величины X иаяралтся выражение
Г Их] |
(1. 35) |
|
ß(t)= M [e |
J ; |
|
, .^(t) можно найти, зная |
закон расиредольше случайной |
|
величины. Так, например, |
если |
|
|
• |
* |
* |
Pf |
P2 • |
• |
• |
xn
Pn
те характер |
ская {уи м м будет |
|
|
2 |
( і ) ^ е г*к/с К - |
( 1 .36) |
|
|
к-=.і |
|
|
а для непрерывных случайных |
величин |
|
|
|
|
itx |
(1.37) |
2 . ( t ) = ^ f ( x )P |
d x • |
||
Эти преобразования называются преобразованиями Фурье.
С помощью обратного преобразования Фурье по харак теристической функции может быть найдена плотность рас
пределения |
|
^ |
|
|
м ~ Ь , |
" И х |
ß (t)d t |
|
|
е |
(1.38) |
|||
Для нормального |
закона |
|
|
|
ß (t)= e |
|
(1.39) |
||
2k
Характеристические функции имеет следующие свойства. 1. Если случайнее величины связаны зависимостью вида
У-аХ,
то их характеристические функции будут
?*(<**)• |
(І«40) |
2. Если
п .
ТО
п
ft
где /7 - произведение.
Пример 3. Найти плотность распределения случайной величины Z -
2 - Х + У ,
если случайные величины X и У распределена ие дер мальному закону с параметрами:
т х = 0 |
9 |
|
=0 |
j |
<5^, . |
Найдем характеристические функции слагаемых, для чего представим каждую случайную величину в виде
где и и сл - случайные величины с математическим
ожиданием, равным нулю, и средним квадратическим от клонением, равным единице; и и ^ распределены по нормальному законуі
25
. Л
2 7
.11
2 .
Всоответствии с первым свойством^
вх і
<£t* zti
2
_ Ф р - і г
Таким образом, мы получили характеристическую функ цию нормального закона с параметрами
|
г |
- |
; |
0 І = в * + & * |
|
|
|
||
|
' |
- г |
- * ? |
|
|
|
|||
Пример В. Составить композицию нормального закона |
|
||||||||
распределения и закона равномерной плотности, |
если X |
|
|||||||
и У независимы: |
|
|
_ |
(х-тх )г |
|
|
|
||
|
№ > ■■ |
‘ |
- |
|
|
|
|
|
|
|
fi~<d |
|
при |
|
У <*-, |
у > р \ |
|
|
|
|
О |
|
при |
|
|
|
|||
і |
і |
|
' г |
^ — j |
а |
26S |
|
||
е |
±\e |
du. |
|||||||
§<*> fo-d. \ e x J2Sr |
|
- |
4 = |
|
|||||
|
|
|
(p -d .)6x ^ W |
|
|
||||
OL
26