Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

6.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3012 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>


Здесь ^	-	известная			функция определяемых неизвест
f a		ных }
f a	-	измеряемая			величина;
? * Г,2 , 3 , . .. ,			г ,	N -	количество измерений.
Будем считать,			что	вид	линейный. Тогда

П'

у = У а				V	.jCs .
cf?	L*			V	}
Обозначим через	/ =/		результат измерения,
Обозначим через			результат измерения,
		Т&		+ Д ~ -
		Т&			Z
Перепишем наши уравнения в виде одностолбцовых мат
риц:
					у.
У	= у		=		ч,
У	= у	іѴ,	=		I- *■
у		іѴ,

У* Через £ обозначим матрицу результатов измерений,

іѵ.

Через £ обозначим матрицу уравненных значений ре зультатов измерений:

	т£,
I	5
I	=
	. Л ,
через Л - матрицу	ошибок ивмерекий:

107

				â = д	=			•>
					N,
через	Л’	-	матрицу неи»вестиых,					найденных по методу
наименьших		квадратов:
					"	X ,	“
				X	=	X ,
				X	=
						X ,
где	п -	число		неизвестных.
Матрицу коэффициентов уравнений погрешностей ебс-
значим через			А	:
				А - А»	Л а у і		•
Основные			уравнения		теперь запишутся в следупцем виде
				У = А Х		і			(2.24)
С учетом			последних				*
С учетом			последних		двух равенств можно записать:
				A X - L = - A .					(2.25)
Предписание метода наименьших квадратов требует вы
бора	матрицы X			таким образом,				чтобы
				[ p v - ts ]		- m i n .
Обозначим через Zr=AX-L							> где		- матрица версят

яейших поправок к результатам измсреииі (под вероятнейвей поправкой как л раньше будем понимать значение по правок соответствующих m a x плотности вероятности).

топ

Так как по условию метода наименьших квадратов наблю дения являются взаимно независимыми, то матрица ошибок измерений будет состоять из независимых случайных вели чин. Известно, что точность системы случайных величин может быть оценена ее корреляционной матрицей. На глав ной -диагонали этой корреляционной матрицы должны стоять дисперсии случайных величин, а остальные элементы мат рицы представляют собой корреляционные моменты.

В рассматриваемом случае в силу независимости случай ных величин корреляционные моменты будут равны нулю,

а на главной	диагонали по-прежнему будут стоять диспер
сии, поэтому	корреляционная матрица будет диагональной.
Диагональной	также будет и обратная ей матрица весов:

	р	О о . . .	. о
Р=Р	о р2 о • * ' '0
г rNN	О	О Р3. . .	- О
	о	о О . . .	.рм

Для оценки точности уравненных значений неизвестных, нам необходимо вычислять сумму квадратов остающихся погрешностей с учетом их веса. В матричной форме это выражение будет т е т ь следующий вид:

Т ^ Р Х - Г Р Ѵ ,

(2.26)

7=1

что соответствует записи так называемой квадратичной Іюрмы. напомним, что квадратичной формой вектора Хп<,

яіляется матрица Q , элементы которой получаются в результате

109

п	п
Q	Z j a 7S х г
7-t	s=l

или

Q=XTAX ,

где /4 - матрица квадратичной формы. С учетом (2.26) требование метода наименьших квадратов можно записать так: _

ѴТРѴ=тіп. (2.27)

Очевидно, что для выполнения (2 .2 7 ' необходимо соблюсти следующее условие:

д— [?ѵ<А=о

(2-

д X^ г1

или в развернутой форме

„ до?

(2.28»)

где

до?

„ = а . .

дх7і

Локажем, что условие (2.28) равносильно условию

А ТР Ѵ ~ 0 .

(2.2Ч)

Запишем матрицу коэффициентов уравнений погрешнос тей:

■//	а /2	а ,з •	• •	а ,п
а гі	а гг	а 23 *	■ *	а ггг

А ~ А Мп~

-	:
1--------

а м	* - а ып_
n2 а* э ‘

ІЮ

Выполним ее транспонирование:

ч аг, аз/ • • • <*м, '

а/2а2°32•• • аЫ2

а2па3п‘• * а /7/Ѵ_

Обратимся еще раз к (2.28):

	Г	Вх/г					f .
	р щ		Ь	*	J	тЕ ъ а *і°ъ-
	L		Ь		J	*=/
Как	видим, коэффициент						а .	в (2.28)	соответствует
транспонированной матрице							А	и поэтому	произведение
•р2 с/г	можно написать					так:
			f t		tA
			f t				- р ѵ
				Ѵ,	ѴІ		- р ѵ

и окончательно
АТРѴ=0 .			(2. 20)
Таким образом, условие (2.2В) равносильна условие
(2 .28).		_	_
Папиием матричное	уравнение	поправок V*=AX~L .Ум
ножим это равенство	слева на А Р

Л ТР Ѵ = А ГР А Х - Л ТП .

Но доказанному ранее левая часть будет равна нули.

Тогда

ATPAX=ATPL .

I ll

Обозначая	А ТР А = С ,
получим	А ТР А = С ,
	С Х = А ТР І	,	(2.30)
откуда
	X = c 'a TP L .		(2.31)
Система (2.30) является системой нормальных уравне
ний. Ее матрица симметрическая
	\ра,° ] [,° аіа2] ■• -\Ра, ап]
Спп =	[Раг а] [ Р аа\-	■ ' [Ра2а*]	1
	...................................................

\ f a*a][p ana2 \ ■ • [Рап а^

а матрица, стоящая в правой части (2.30), есть матрица

и т и л и е ц ,

ATPL

[Ра«*\

Из уравнения

х =с~'а тР I

особенно четко видно, что вектор оценок по методу наи меньших квадратов определяется как линейная комбинация свободных членов.

"ля оценки точности неизвестных нам необходимо найти соответствующую корреляционную матрицу.

ттр

Обозначим

	d =c ~'a tp		( 2, о с;
и тогда
	X = D l ■
Hannen	очевидное	тоідестю
	х = с ~ ' с х .
Вместо	матрицы С	подставим ее	значение

С=АТР А )

х= с ~'а тр а х

исоставим разность

х - х =c 'a tp l - c 'a7РА X =

= C''a tP ( L - A X ) 'у

1 = .

Заменим

X - X = c ' A TP ( & + y - Â X ) •

Из предыдущего

У - А Х = 0

и поэтому

Х - х =с ~'а тр а

или

Х~ Х = І>Д у

Д- нормальный случайный вектор погрешностей из мерений. Его корреляционная матрица вам известна, по

скольку она является матрицей, обратной диагональной матрице весов

И З

	Кл=Cj 2P 4			(2.34)
	а
г	дисперсия	единицы веса, а	б =	б
где <5 -	дисперсия	единицы веса, а	б =	— — •
			z	ѵ_
				/ 7
В теории вероятностей доказывается, что если случай
ный вектор	Z подвергается линейному		преобразованию
вида
	=	t		(2.35)

то его корреляционная матрица должна быть подвергнута следующему преобразованиюг

К = А, Кг А] .

(2.36)

На основании этой теоремы можем записать k~=d k 6d t=c ''a тр б 2р ~'(с 'атр ) т=

= 6 2с ~іа тр а (с , ) г ;

С - матрица симметрич'еская и поэтому операция тран спонирования ничего не изменяет,

Из предыдущего

АГРА = С .

Таким образом, окончательно получим матрицу

К~ = б	2С >, '	(2.37)
X	7

которая выражается через коэффициенты нормальных урав нений.

114

Б случае взаиьо зависимых ошибок наблюдений матрица весов перестает быть диагональной, поэтому применять без оговорок основные положения метода.наименьших квад ратов теперь уже нельзя. Покажем, что с помощью метода наименьших квадратов можно находить вероятнейшие зна чения неизвестных и при зависимых измерениях. Напишем уравнение ошибок AX-L = ~А , где А - вектор оши бок измерений, причем корреляционная матрица его имеет Форму, отличную от диагональной.

Умножим праву» и левую часть уравнений слева на не которую квадратну» матрицу Ѳ :

ѲАХ~ѲІ = ~ 9 А .

При этом случайный вектор ѲА		будет	иметь	корреля
ционную матрицу
* е < Г ѳ к л ѳ Т	■
Преобразование с матрицей	Ѳ	можно	выбрать	так,что

бы новая корреляционная матрица оказалась диагональной, Тогда препятствия к применению метода наименьших квадра тов исчезают и уравнение

ѲАХ-Ѳ1.--Ѳа

может быть решено обычным путем, в том числе и по фор мулам, приведенным ранее.

Обозначим коэффициенты нового уравнения:

Ѳ А = А ' і	; Ѳа = А -
Тогда
AX-L	•

Кроме того, обозначим

a 'x - l ' - v '.

II5

Теперь

ѵ ' = ѳ ѵ .

При этой требование принципа наименьших квадратов

[ р Ѵ Ѵ ] = т і п

будет иметь ікд

[ р ѵ ' ѵ ' 1 =ті/1

ИЛИ

Ѵ ' ТР ' v ' - m i n .

Здесь p ' - матрица, обратная корреляционной,

Р '= « а л -

Система нормальных уравнены! в этом случае запишете* так:

c ' X - f t f p ' L ' ,

откуда

x - p r W W ,

где

C‘ (A')TP W .

Покален, что вместо преобразования исходной системы реиение можно проводить и под условием

Ѵ ТР Ѵ = т і п ,

где Р во всех случаях определяется как матрица, об ратная корреляционной при любом виде исходной корреля ционной матрицы;

ІГб

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3012 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ