книги из ГПНТБ / Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие
.pdfр \ О с , у ) е - А , ] - § |
|
, |
|
|
2Я |
с |
|
|
|
= С' і ^ |
I 6 г Р с< / ^ |
= сг(<~е 2 ) |
‘ |
|
О |
О |
|
|
|
Якобиан преобразованія |
здесь |
мроиерцжеиален jO |
.Коэф |
|
фициент пропорциональности |
с2 |
можно найти исходя из |
||
условий нормировки, так иак прис-»°о вероятность стре
мится к единице н значит |
сг г |
і. |
|
|
|
Итак, |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
-с* |
|
|
p [ ( X } V ) € iD c] = i - e 2 |
• |
( 3 .5 ) |
|||
Величина |
с определяет |
размеры области Д. |
и показы |
||
вает, каково |
соотношение между величиной полуоси эллипса |
||||
оиибок и средним квадратическим отклонением по этому |
|||||
направленно. |
Так, например, при |
с - |
I полуоси эллипса |
||
овибок равны средним квадратическим отклов%нием.Вероят ность нахождения точки внутри такого Эллииеа равно 39,3*, а сам эллипс называется среднеквадратическнм.
При с = 2 Р * 86,5** при с - 3 Р * 98,9*.
Рассмотрим еце два способа вычисления элементов эл липса оиибок. При решении задачи иа нлескести в самом общем виде можно записать следущув систему уравнений оиибок:
аі*+ |
+ |
* |
І * 1 , 2 , . . . , т .
1 5 7
Решая эту систему по методу наименьших квадратов; придем к системе из двух нормальных уравнений:
[ a a j ^ t + f â ] = 0
\ß^]= ^ ‘
Из предыдущего известно, что |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
'•> |
^ = |
fz 2 |
? |
|
|||
где |
5 s |
- |
средняя |
квадратическая |
|
ошибка измерения. |
|||||
|
|
|
Можно показать, |
что |
|
|
|
|
|||
|
|
ѵ _ |
1 * °} |
’ |
р |
|
[ i f ] |
■’ |
|
||
|
|
Л |
27 |
/ гг |
J) |
|
|
|
|||
где |
D |
- определитель |
этой |
системы, |
|
|
|||||
|
|
D = [ a a j \ß g ] - [a 5_] -j |
|
|
|
|
|||||
X |
|
|
|
|
|
(j x |
и (j^ , |
вообще говоря, |
|||
|
|
|
|
|
|
не |
является |
экстремальными |
|||
|
|
|
|
|
|
ошибками в положении дли |
|||||
|
|
|
|
|
|
ной точки. |
Величина D от |
||||
|
|
|
|
|
|
направления |
координатных |
||||
|
|
|
|
|
|
осей не зависит. С измене |
|||||
|
|
|
|
|
|
нием направления координат |
|||||
|
|
|
|
|
|
ных осей |
могут |
изменяться |
|||
|
|
|
|
|
|
только |
величины |
[а а ] и |
|||
|
|
|
|
|
|
[вв ] . |
Поэтому |
для отыска |
|||
ния экстремальных значений ошибок нужно искать экстре мальные значения сумм [аа ] и [ bbJ . Возьмем прямоуголь ную систему координат и выберем точку, координатами
158
которой будут а г- и е>г- . Из теории линий положения
известно, что а г- и могут быть представлены сле
дурщим образом (рис.16):
Здесь ^ г- - градиенты соответствующих линий положе
ния, а £3 - направление этого градиента. Нашей задачей является наховдение такого угла поворота Т осей ко ординат, чтобы величины [ a a j и [ в в ] имели экстре мальные значения:
Относительно новой системы координат эти формулы запишутся так:
r?= QZ.C O S* Т ; COS2Т+ o ] s i |
Stn3T + |
||
г <гг |
г |
а 1 |
і |
tq'.sinZ^cosZisin2 T; |
|
||
Ь9
ja a ] = \cj*cos2<z \c o s 2T+ [ £ s i n z ] s i n T +
+ \jfs in “c COS% ]sin 2 T 7
[ а а ] = [aa]co$2Tt[ ß if] s in T + \a ü ] s in 2 T |
j |
M = [aa]sirt 27+ \é é ]c o s 2T+ \ a o \ s i n 2 T . |
|
Возьмем производную по T и приравняем ее |
нули: |
= - [ а a \s tn 2 Т +[ߣ]sir?2T+ 2 [<*$]co s2 Т = 0.
а Т
Разделим на cos 2 Т ■
. _ _ _
[ « « ] - [ / * ]
Аналогичное выражение получим, дифференцируя \ß é J .
Обозначим экстремальяие ошибки через |
А и ß '• |
||||
* ^ |
[* а У . |
2 |
,2 [ * * ] ' |
|
|
|
В |
~ в € |
І> |
|
|
Выясним, какая из величин А |
|
вли ß |
максимальная, |
||
а какая минимальная |
|
|
|
|
|
|
c o s2 T - |
|
|
|
|
|
]/‘ * |
ф |
Г |
|
|
Вместо Ч г і |
подставим его значение! |
|
|||
cos 2Т=-
« И Г
і+ -(И Г И ]У
160
[<*<*]- 1 & ] __________
cos 2T =
I /([ва] - Й / * 4 [ а *о2 '
Обозначим |
корень через |
^ : |
|
|
|
|
|
W - [ ^ o J |
|
|
|
c o s2 T = ------------ |
|
|
|
||
|
|
% |
2 [ a i ] |
|
|
sin |
|
|
|
||
2Т~ t^ 2 T c o s 2 Т- |
2 |
? |
|||
|
|
|
|
||
|
_ |
/ - ^ 2 Г |
|
|
. |
sin2T = - |
|
|
|
||
2 |
У tcos2 T |
%+f » a ] - |
[éé] |
||
cos T■ ~~2 |
2<f~ |
" |
|||
Полученные |
значения подставим в выражения для сумм |
||||
[ а а ] , [ в в ] |
. Тогда |
|
|
|
|
Н |
|
|
? ) |
і |
|
М |
- f |
( и * [ « ] - г ; |
• |
|
|
величина ^ всегда положительная, поэтому [ аа j максимальная, а [ в в ] - минимальна. Следовательно,/)- больиая полуось, ß - малая полуось. Для вычисления элементов эллипса получим систему формул:
(3 .5 )
|
, |
гС ае ’Л |
|
|
|
[ o a ] - [ e é ] |
’ |
Здесь |
Г - |
лмрекционян* угол |
малой полуоси; |
Т + 90 |
- диреиционный угол большой полуоси. |
||
ш
ГТ
Для определения четверти необходимо вычислять sinZJ
и co s2 T •'
s in 2 T = |
2 [ a t ] |
Ң - [ ^ J . |
c o s2 T = |
||
|
|
% |
6 случае неравноточности измерений необходимо учесть веса. В суммах в этом случае добавится величина веса.
Графоаналитический прием внчисления элементов эл липса оиибок:
jaüij = ^aa]cos2Tf [a£jS in 27 +\ß&\ 3 ir? ~ f |
\ |
|
||||
И —Jacrjsin T~ [&$} Sin2T+[ß'ëJ CO^T |
* |
|
||||
Сложим и вычтем обе |
строки: |
|
|
|
|
|
[öcr] +[éé] - [а а ] +\ié ] |
|
|
|
|
||
|а а ] - [ # ] |
« ( [ а а ] - [ß é ])c o s2 T + 2 [a é ]sin 2 J . |
|
||||
Так как a{ - £ f cos |
* |
a { a { |
cos2'ci |
, то |
||
|
[ora]+■\ß i ] = [^ 2 J• |
|
|
|
||
Обозначим |
[aot]=A |
и |
[߀] = ß |
j |
[a é] = C . |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
H L \é i] - (A -ß )c o s 2 T + 2 C $ in 2 T - |
|
|||||
Вынесем c o s2 T и тогда
( A - B ) j itt p l 2 T ■ \(А-в)‘*4Сг] ■
162
Окончательно
[ee] - \ß t] = ]I(A-B) г+4С* j
или
[aar] - [éi] =)/( [aa]~ \ß^Y+ ^[а€]2'-
Спроектируем на оси координат вектор 7 проведя
его под двойным дирекционным углом к оси координат»
& с о 8 2 Ъ - $ \ с ° б 2 г г £ в г п % >
£ с о з 2 ТГ а } + £ ? ;
sin 2 ТГ |
2 $ \ cos Г; s i n Г г- у |
||
sin 2Z} = 2&І |
. |
||
Возведем обе |
части равенств |
в квадрат и слоям n t |
|
2 \2 |
/ 2 |
J S 2 \ 2 / |
2 /)2 |
В векторной форме |
это равенство |
||
[ / ] = [°°1 ~ ( / £ ] * 2 [ а # ] ;
|
l« « j |
Iой J У |
[ага У » [ ß ^ y |
" экстремальные значения сумм,т.е. |
|
полуоси эляпса |
опбок . |
Для их нахождении имен два |
Уравнения» |
|
|
163
|
|
|
|
|
|
|
|
Угол |
Т |
находится в |
||
|
|
|
|
|
|
|
результате построения |
как |
||||
|
|
|
|
|
|
|
биссектриса угла замыкав |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
шей стороны так называемо |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
го |
квадратичного полигона. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Под квадратичным полигоном |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
понимается векторная |
суш а, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
составленная |
из квадратов |
||||
|
|
|
|
|
|
|
векторов градиентов, про |
|||||
|
|
|
Р и с.17 |
|
|
веденных |
под двойными ди- |
|||||
|
|
|
|
|
рекционными углами (рис.17). |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример. |
Дано |
|
|
^ |
= |
40; |
h |
- І0 * Л |
1 2 ,5 { |
|||
Z, - |
0 ° ; |
Т2 |
= 30°; z 3 |
= |
° ; |
Г* |
» |
1 2 0 ° . |
|
|||
Вычислить элементы эллипса (рис.18): |
|
|
||||||||||
^ f |
= |
400, |
^ = |
1500; |
|
fa |
= |
ЮО; |
» 156; |
|
||
[ j Z] |
= |
2255; |
[ a a } - [ é é ] |
= |
1 0 1 0 ; |
|
1240; |
|
||||
\[ р 2]\ = |
1500; |
|
= |
2255; |
/ - / = |
1600; |
|
|||||
/1 |
= |
44,0; |
В = |
18,0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
сложения нескольких эллипсов необходимо каждый |
из них |
представить в виде двух сопряженных полудмамет- |
ров. В |
результате получим ряд вектормадьимк виибох, |
приложенных к одной точке. Действуя по изложенным ранее правилам, аналитически или графоаналитическим путем получим элементы результирующего эллипса.
§ 22. Опенка точности положения точки на плоскости одним числом
Корреляционная матрица, а также наглядная геометри ческая характеристика рассеяния - эллипс ошибок пол ностью характеризуют точность положения точки на плос кости. Однако для вычисления их элементов необходимо звать, ианример, ориентации исходных линий положения, * эти данные бывают известны не всегда. Кроме того, на практике часто нужно сравнивать точноств определевия отдельных точек на воде или на суше. Выполнить такое сравнение сразу по всем трем элементам корреляционной матрицы затруднительно. По названным соображниям, на Флоте получила широкое распространение такая характе
ристика рассеивания, как "круговая средняя квадретичес-
165
кая опвка" или "средняя квадратическая ошибка места". Термин этот еце не устоялся, однако обычно под ним по нимает радиус круга, определяемый следущии выражением:
ГА= -\ІА2+Вг , |
(3 .8) |
где д и ß - полуоси среднего |
квадратического эллипса. |
Можно предложитъ и другие способы задания радиуса круга. Например,
# = А
или
(3 .9)
Если эллипс опбок ориентирован по направление осей прямоугольной системы координат Х О У • то вероятность попадания случайной точки в пределы области D , огра ниченной среднеквадратическим эллипсом, будет
± .(* L + j £ )
Р= 2 S A ß
Перейдем к полярной системе координат:
x - A j O c o s f ; |
|
ß p s i n p у |
|
a = A ß p |
) |
|
|
f l |
|
2S 2 І |
|
p ~ h [ V e 2 |
1,1 |
2 |
■ |
в |
|
° |
|
вычислим теперь вероятность попадания случайной точки в круг радиуса М :
Ібб